Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Регулярный политоп, двойственный гиперкубу в любом числе измерений + Кроссовый политоп от 2 до 52 измеренийквадрат2 измеренияоктаэдр3 измерения16 ячеек4 измерения5 ортоплекс5 измерений
Regular polytope dual to the hypercube in any number of dimensions
+ Cross polytopes of dimension 2 to 52 dimensionssquare3 dimensionsoctahedron4 dimensions16 cell5 dimensions5 orthoplex
В геометрии кросс-политоп, гипероктаэдр, ортоплекс или кокуб — это регулярный, выпуклый политоп, существующий в n-мерном евклидовом пространстве. Двумерный кросс-политоп — это квадрат, трехмерный кросс-политоп — это правильный октаэдр, а четырехмерный кросс-политоп — это 16-ячейник. Его грани — это симплексы предыдущей размерности, а вершинная фигура кросс-политопа — это другой кросс-политоп из предыдущей размерности. Вершины кросс-политопа можно выбрать как единичные векторы, направленные вдоль каждой координатной оси, то есть все перестановки (±1, 0, 0, …, 0). Кросс-политоп — это выпуклая оболочка его вершин. Кросс-политоп n-мерной размерности также можно определить как замкнутый единичный шар (или, по мнению некоторых авторов, его границу) в ℓ1-норме на Rn:
In geometry, a cross polytope, hyperoctahedron, orthoplex, or cocube is a regular, convex polytope that exists in n dimensional Euclidean space. A 2 dimensional cross polytope is a square, a 3 dimensional cross polytope is a regular octahedron, and a 4 dimensional cross polytope is a 16 cell. Its facets are simplexes of the previous dimension, while the cross polytope's vertex figure is another cross polytope from the previous dimension. The vertices of a cross polytope can be chosen as the unit vectors pointing along each co ordinate axis – i. e. all the permutations of (±1, 0, 0, , 0). The cross polytope is the convex hull of its vertices. The n dimensional cross polytope can also be defined as the closed unit ball (or, according to some authors, its boundary) in the ℓ1 norm on Rn:
В одном измерении кросс-политоп — это просто отрезок [−1, +1], в двух измерениях — это квадрат (или ромб) с вершинами {(±1, 0), (0, ±1)}. В трех измерениях это октаэдр — один из пяти выпуклых правильных многогранников, известных как платоновы тела. Это можно обобщить на более высокие размерности, построив n-ортоплекс как бипирамиду с основанием в виде (n−1)-ортоплекса. Кросс-политоп является двойственным политопом гиперкуба. 1-скелет n-мерного кросс-политопа — это граф Турана T(2n, n) (также известный как граф «коктейльной вечеринки»).
In 1 dimension the cross polytope is simply the line segment [−1, +1], in 2 dimensions it is a square (or diamond) with vertices {(±1, 0), (0, ±1)}. In 3 dimensions it is an octahedron—one of the five convex regular polyhedra known as the Platonic solids. This can be generalised to higher dimensions with an n orthoplex being constructed as a bipyramid with an (n−1) orthoplex base. The cross polytope is the dual polytope of the hypercube. The 1 skeleton of an n dimensional cross polytope is the Turán graph T(2n, n) (also known as a cocktail party graph ).
4 измерения
Четырехмерный кросс-политоп также известен как гексадекахорон или 16-ячейник. Это один из шести выпуклых правильных 4-политопов. Эти четыре политопа были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине XIX века.
The 4 dimensional cross polytope also goes by the name hexadecachoron or 16 cell. It is one of the six convex regular 4 polytopes. These 4 polytopes were first described by the Swiss mathematician Ludwig Schläfli in the mid 19th century.