Кіріспе
Евклид кеңістігіндегі нүктелердің шекті жиынтығының дөңгелек қабығы
A convex polytope is a special case of a polytope, having the additional property that it is also a convex set contained in the dimensional Euclidean space Most texts use the term "polytope" for a bounded convex polytope, and the word "polyhedron" for the more general, possibly unbounded object. Others (including this article) allow polytopes to be unbounded. The terms "bounded/unbounded convex polytope" will be used below whenever the boundedness is critical to the discussed issue. Yet other texts identify a convex polytope with its boundary. Convex polytopes play an important role both in various branches of mathematics and in applied areas, most notably in linear programming. In the influential textbooks of Grünbaum
where is the dimension of the space containing the polytope under consideration. Hence, a closed convex polytope may be regarded as the set of solutions to the system of linear inequalities:
where is the number of half spaces defining the polytope. This can be concisely written as the matrix inequality:
where is an matrix, is an column vector whose coordinates are the variables to , and is an column vector whose coordinates are the right hand sides to of the scalar inequalities. An open convex polytope is defined in the same way, with strict inequalities used in the formulas instead of the non strict ones. The coefficients of each row of and correspond with the coefficients of the linear inequality defining the respective half space. Hence, each row in the matrix corresponds with a supporting hyperplane of the polytope, a hyperplane bounding a half space that contains the polytope. If a supporting hyperplane also intersects the polytope, it is called a bounding hyperplane (since it is a supporting hyperplane, it can only intersect the polytope at the polytope's boundary). The foregoing definition assumes that the polytope is full dimensional. In this case, there is a unique minimal set of defining inequalities (up to multiplication by a positive number). Inequalities belonging to this unique minimal system are called essential. The set of points of a polytope which satisfy an essential inequality with equality is called a facet. If the polytope is not full dimensional, then the solutions of lie in a proper affine subspace of and the polytope can be studied as an object in this subspace. In this case, there exist linear equations which are satisfied by all points of the polytope. Adding one of these equations to any of the defining inequalities does not change the polytope. Therefore, in general there is no unique minimal set of inequalities defining the polytope. In general the intersection of arbitrary half spaces need not be bounded. However if one wishes to have a definition equivalent to that as a convex hull, then bounding must be explicitly required.
Дөңгелек политоп – политоптың ерекше жағдайы, оның қосымша қасиеті – ол өлшемді Евклид кеңістігінде қамтылған дөңгелек жиынтық. Көптеген мәтіндер «политоп» терминін шектелген дөңгелек политоп үшін, ал «полиэдр» сөзін жалпы, мүмкін шексіз объекті үшін қолданады. Басқалары (оның ішінде осы мақала) политоптардың шектелмеуіне мүмкіндік береді. «Шектелген/шексіз дөңгелек политоп» терминдері төменде, егер шектелгендік талқыланған мәселе үшін маңызды болса, қолданылады. Басқа мәтіндерде дөңгелек политоп шекарасымен анықталады. Дөңгелек политоптар математиканың әртүрлі салаларында және қолданбалы салаларда, әсіресе сызықтық бағдарламалауда маңызды рөл атқарады. Грунбаумның ықпалды оқулықтарында политопты қамтитын кеңістіктің өлшемдері қарастырылып жатыр. Сондықтан, жабық дөңгелек политопты сызықтық теңсіздіктер жүйесінің шешімдерінің жиынтығы ретінде қарастыруға болады:
A convex polytope is a special case of a polytope, having the additional property that it is also a convex set contained in the dimensional Euclidean space Most texts use the term "polytope" for a bounded convex polytope, and the word "polyhedron" for the more general, possibly unbounded object. Others (including this article) allow polytopes to be unbounded. The terms "bounded/unbounded convex polytope" will be used below whenever the boundedness is critical to the discussed issue. Yet other texts identify a convex polytope with its boundary. Convex polytopes play an important role both in various branches of mathematics and in applied areas, most notably in linear programming. In the influential textbooks of Grünbaum
where is the dimension of the space containing the polytope under consideration. Hence, a closed convex polytope may be regarded as the set of solutions to the system of linear inequalities:
where is the number of half spaces defining the polytope. This can be concisely written as the matrix inequality:
where is an matrix, is an column vector whose coordinates are the variables to , and is an column vector whose coordinates are the right hand sides to of the scalar inequalities. An open convex polytope is defined in the same way, with strict inequalities used in the formulas instead of the non strict ones. The coefficients of each row of and correspond with the coefficients of the linear inequality defining the respective half space. Hence, each row in the matrix corresponds with a supporting hyperplane of the polytope, a hyperplane bounding a half space that contains the polytope. If a supporting hyperplane also intersects the polytope, it is called a bounding hyperplane (since it is a supporting hyperplane, it can only intersect the polytope at the polytope's boundary). The foregoing definition assumes that the polytope is full dimensional. In this case, there is a unique minimal set of defining inequalities (up to multiplication by a positive number). Inequalities belonging to this unique minimal system are called essential. The set of points of a polytope which satisfy an essential inequality with equality is called a facet. If the polytope is not full dimensional, then the solutions of lie in a proper affine subspace of and the polytope can be studied as an object in this subspace. In this case, there exist linear equations which are satisfied by all points of the polytope. Adding one of these equations to any of the defining inequalities does not change the polytope. Therefore, in general there is no unique minimal set of inequalities defining the polytope. In general the intersection of arbitrary half spaces need not be bounded. However if one wishes to have a definition equivalent to that as a convex hull, then bounding must be explicitly required.
қайда – политопты анықтайтын жарты кеңістіктердің саны. Бұл матрицалық теңсіздік ретінде қысқаша жазылуы мүмкін:
A convex polytope is a special case of a polytope, having the additional property that it is also a convex set contained in the dimensional Euclidean space Most texts use the term "polytope" for a bounded convex polytope, and the word "polyhedron" for the more general, possibly unbounded object. Others (including this article) allow polytopes to be unbounded. The terms "bounded/unbounded convex polytope" will be used below whenever the boundedness is critical to the discussed issue. Yet other texts identify a convex polytope with its boundary. Convex polytopes play an important role both in various branches of mathematics and in applied areas, most notably in linear programming. In the influential textbooks of Grünbaum
where is the dimension of the space containing the polytope under consideration. Hence, a closed convex polytope may be regarded as the set of solutions to the system of linear inequalities:
where is the number of half spaces defining the polytope. This can be concisely written as the matrix inequality:
where is an matrix, is an column vector whose coordinates are the variables to , and is an column vector whose coordinates are the right hand sides to of the scalar inequalities. An open convex polytope is defined in the same way, with strict inequalities used in the formulas instead of the non strict ones. The coefficients of each row of and correspond with the coefficients of the linear inequality defining the respective half space. Hence, each row in the matrix corresponds with a supporting hyperplane of the polytope, a hyperplane bounding a half space that contains the polytope. If a supporting hyperplane also intersects the polytope, it is called a bounding hyperplane (since it is a supporting hyperplane, it can only intersect the polytope at the polytope's boundary). The foregoing definition assumes that the polytope is full dimensional. In this case, there is a unique minimal set of defining inequalities (up to multiplication by a positive number). Inequalities belonging to this unique minimal system are called essential. The set of points of a polytope which satisfy an essential inequality with equality is called a facet. If the polytope is not full dimensional, then the solutions of lie in a proper affine subspace of and the polytope can be studied as an object in this subspace. In this case, there exist linear equations which are satisfied by all points of the polytope. Adding one of these equations to any of the defining inequalities does not change the polytope. Therefore, in general there is no unique minimal set of inequalities defining the polytope. In general the intersection of arbitrary half spaces need not be bounded. However if one wishes to have a definition equivalent to that as a convex hull, then bounding must be explicitly required.
мұнда – матрица, – бағаналық вектор, оның координаттары айнымалыларына тең, ал – бағаналық вектор, оның координаттары скалярлық теңсіздіктердің оң жағындағы мүшелеріне тең. Ашық дөңгелек политоп дәл осылай анықталады, формулаларда қатаң емес теңсіздіктер орнына қатаң теңсіздіктер қолданылады. және матрицаларының әрбір қатары тиісті жарты кеңістікті анықтайтын сызықтық теңсіздіктің коэффициенттерімен сәйкес келеді. Сондықтан матрицадағы әрбір жол политопты қамтитын жарты кеңістікті шектейтін политоптың тірек гипер жазықтығына сәйкес келеді. Егер тірек гипер жазықтығы политоппен қиылысса, онда ол шектейтін гипер жазықтық деп аталады (бұл тірек гипер жазықтығы болғандықтан, ол политоппен тек политоп шекарасында қиылыса алады). Жоғарыда келтірілген анықтама политоп толық өлшемді деп болжайды. Бұл жағдайда теңсіздіктерді анықтаудың бірегей минималды жиынтығы бар (жағымды санмен көбейтуге дейін). Осы ерекше минималды жүйеге жататын теңсіздіктер негізгі деп аталады. Теңдікпен негізгі теңсіздікті қанағаттандыратын политоптың нүктелерінің жиынтығы фасета деп аталады. Егер политоп толық өлшемді болмаса, онда оның шешімдері тиісті аффинді кіші кеңістікте жатыр және политопты осы кіші кеңістіктегі объект ретінде зерттеуге болады. Бұл жағдайда политоптың барлық нүктелері қанағаттандыратын сызықтық теңдеулер бар. Осы теңдеулердің біреуін кез келген теңсіздікке қосу политопты өзгертпейді. Сондықтан, жалпы алғанда, политопты анықтайтын теңсіздіктердің бірегей минималды жиынтығы жоқ. Жалпы алғанда, кездейсоқ жарты кеңістіктердің қиылысуын шектеудің қажеті жоқ. Алайда, егер адам дөңгелек қабыс ретінде осыған ұқсас анықтама алғысы келсе, онда шекаралау нақты талап етілуі керек.
A convex polytope is a special case of a polytope, having the additional property that it is also a convex set contained in the dimensional Euclidean space Most texts use the term "polytope" for a bounded convex polytope, and the word "polyhedron" for the more general, possibly unbounded object. Others (including this article) allow polytopes to be unbounded. The terms "bounded/unbounded convex polytope" will be used below whenever the boundedness is critical to the discussed issue. Yet other texts identify a convex polytope with its boundary. Convex polytopes play an important role both in various branches of mathematics and in applied areas, most notably in linear programming. In the influential textbooks of Grünbaum
where is the dimension of the space containing the polytope under consideration. Hence, a closed convex polytope may be regarded as the set of solutions to the system of linear inequalities:
where is the number of half spaces defining the polytope. This can be concisely written as the matrix inequality:
where is an matrix, is an column vector whose coordinates are the variables to , and is an column vector whose coordinates are the right hand sides to of the scalar inequalities. An open convex polytope is defined in the same way, with strict inequalities used in the formulas instead of the non strict ones. The coefficients of each row of and correspond with the coefficients of the linear inequality defining the respective half space. Hence, each row in the matrix corresponds with a supporting hyperplane of the polytope, a hyperplane bounding a half space that contains the polytope. If a supporting hyperplane also intersects the polytope, it is called a bounding hyperplane (since it is a supporting hyperplane, it can only intersect the polytope at the polytope's boundary). The foregoing definition assumes that the polytope is full dimensional. In this case, there is a unique minimal set of defining inequalities (up to multiplication by a positive number). Inequalities belonging to this unique minimal system are called essential. The set of points of a polytope which satisfy an essential inequality with equality is called a facet. If the polytope is not full dimensional, then the solutions of lie in a proper affine subspace of and the polytope can be studied as an object in this subspace. In this case, there exist linear equations which are satisfied by all points of the polytope. Adding one of these equations to any of the defining inequalities does not change the polytope. Therefore, in general there is no unique minimal set of inequalities defining the polytope. In general the intersection of arbitrary half spaces need not be bounded. However if one wishes to have a definition equivalent to that as a convex hull, then bounding must be explicitly required.
Бағалы нүктелерді бейнелеуге теңестіру
Жартылай кеңістіктердің қиылысы шектелген жиынды құрайтынын талап ету арқылы, анықтама төбелік өрнекке тең болады. Жартылай кеңістіктердің шектелген қиылысы төбелік өрнектегі политопты құрайтынын дәлелдеу жоспары төменде келтірілген:
Жабық жартылай кеңістіктердің шектелген қиылысы нақты компактты және дөңгелек болады. Шекті нүктелер саны шекті компактты және дөңгелек жиын политоп болуы керек, онда осы шекті нүктелер төбелер жиынын құрайды. Шекті нүктелер жиынының (жартылай кеңістіктердің шекті жиынының шектелген қиылысы) да шекті екенін көрсету қалады:
, жабық жартылай кеңістіктердің шектелген қиылысының шекті нүктесі болсын. Біз осы нүктені қамтитын барлық сәйкес гипержазықтықтардың (кеңістікті жартылай кеңістіктерге бөлетін) қиылысын қарастырамыз. Бұл аффинді кіші кеңістік береді. Гипержазықтық құрамында жоқ әрбір жартылай кеңістіктің ішкі бөлігінің қиылысын қарастырамыз. Бұл ашық жиынды береді. Осылайша, нүкте 0 өлшемді болуы керек және егер нүкте 0 өлшемді болмаса, ол (кем дегенде) түзудің ішкі нүктесі болар еді, бұл оның шекті нүкте екендігімен қайшы келеді. Кез келген құрылым жабық жартылай кеңістіктердің бірінің ішкі немесе шекарасын таңдайтындықтан, әр түрлі жиынтар тек шекті түрде ғана болады. Кез келген шекті нүкте осы жиынтардың бірінде жатыр, яғни шекті нүктелердің саны шекті.
Әр түрлі бейнелеуді пайдалану
Екі бейнелеу бірге берілген вектордың берілген дөңес политопқа кіретінін-кірмейтінін анықтаудың тиімді жолын ұсынады: оның политопқа кіретінін көрсету үшін, оны политоптың төбелерінің дөңес комбинациясы түрінде көрсету жеткілікті (V сипаттамасы қолданылады); политопқа кірмейтінін көрсету үшін, оны бұзатын бір ғана анықтамалық теңсіздікті көрсету жеткілікті. Векторлар арқылы бейнелеудегі күрделі жайт – векторлар саны өлшемге қатысты экспоненциалды түрде өсуі мүмкін, сондықтан вектордың политопқа кіретінін дәлелдеу экспоненциалды түрде ұзақ болуы мүмкін. Ақыр соңында, Каратеодори теоремасы политоптағы кез келген векторды ең көп дегенде d+1 анықтамалық вектормен көрсетуге болатынын кепілдік береді, мұндағы d – кеңістіктің өлшемі.
Шексіз политоптардың бейнеленуі
Шексіз политоп үшін (кейде полиэдр деп аталады) H сипаттамасы әлі де қолданылады, бірақ V сипаттамасын кеңейту қажет. Теодор Моцкин (1936) кез келген шексіз политопты шектелген политоп пен дөңгелек полиэдрлік конус қосындысы ретінде көрсетуге болатынын дәлелдеді. Яғни, шексіз политоптағы кез келген вектор оның төбелерінің ("анықтамалық нүктелерінің") дөңгелек комбинациясынан және оның шексіз қабырғаларының ("анықтамалық сәулелерінің") Евклидтік векторларының конустық қосындысынан тұрады. Бұл шекті негіз теоремасы деп аталады. Үш өлшемді политоптың беттік торлары оның графымен анықталады. Осыған ұқсас, кез келген өлшемді қарапайым политоптар үшін де осы қағида сақталады (Blind & Mani Levitska 1987, Миха Перлестің болжамын дәлелдеу). Калай (1988) суғарудың бірегей бағытына негізделген қарапайым дәлел ұсынады. Осы политоптардың беттік торлары олардың графтарымен анықталатындықтан, екі үш өлшемді немесе қарапайым дөңгелек политоптың комбинаторлық изоморфты екенін анықтау мәселесі графикалық изоморфизм мәселесінің ерекше жағдайы ретінде қойылса болады. Дегенмен, бұл мәселелерді кері бағытта қарастыруға да болады, сонда политоптық изоморфизмді тексеру графикалық изоморфизмді толықтырады.
Топологиялық қасиеттер
Конвекс политоп, Rn-нің кез келген компактты конвекс жиыны сияқты, жабық шарға гомеоморфты. m политоптың өлшемін белгілейді. Егер политоп толық өлшемді болса, онда m = n. Сондықтан, конвекс политоп шекарасы бар m өлшемді манифольд болып табылады, оның Эйлер сипаттамасы 1, ал оның негізгі тобы тривиальды. Конвекс политоптың шекарасы (m − 1) сфераға гомеоморфты. Шекараның Эйлер сипаттамасы жұп m үшін 0, ал тақ m үшін 2 болады. Шекараны (m − 1) өлшемді сфералық кеңістіктің мозаикасы, яғни сфералық плитка ретінде де қарастыруға болады.
Қарапайым ыдырау
Конвекс политопты белгілі бір қасиеттерді қанағаттандыратын симплициалды кешенге немесе симплекстердің жиынына жіктеуге болады. Берілген dұрыс r өлшемді политоп P, оның (r+1) аффинді тәуелсіз нүктелерді қамтитын төбелерінің кез келген кіші жиыны r-симплексті анықтайды. Осы симплекстердің бірігуі P-ге тең болатын және кез келген екі симплекстің қиылысы бос немесе төмен өлшемді симплекс болатын кіші жиындар жиынтығын құру мүмкін. Бұл симплициалды жіктеу – конвекс политоптың көлемін есептеудің көптеген әдістерінің негізі, себебі симплекстің көлемі формула арқылы оңай есептелінеді.
Өкілдіктердің құрылысы
Көгершін политоптың әр түрлі бейнелеулері әртүрлі пайдалы, сондықтан бір бейнелеуді екіншісінен құру маңызды мәселе болып табылады. V бейнелеуді құру мәселесі шығу нүктелерін табу мәселесі деп аталады, ал H бейнелеуді құру мәселесі жақтарын табу мәселесі деп аталады. Шектелген көгершін политоптың шығу нүктелері жиынтығы оны бірегей түрде анықтаса да, түрлі қолданыстарда политоптың комбинаторлық құрылымы туралы, яғни оның жақтар торлары туралы көбірек білу маңызды. Әр түрлі дөңгелек қабықша алгоритмдері жақтарды табумен және жақтар торларын құрумен айналысады. Жазық жағдайда, яғни көгершін көпбұрыш үшін, жақтарды және шығу нүктелерін табу мәселелері шығу нүктелерін (немесе қабырғаларын) дөңгелек қабықшаның айналасында реттеуге келтіріледі. Егер көгершін көпбұрыш көпбұрыштар үшін дәстүрлі жолмен, яғни оның шығу нүктелерінің реттелген тізбегі арқылы берілсе, бұл оңай міндет. Егер шығу нүктелерінің (немесе қабырғаларының) кіріс тізімі ретсіз болса, мәселелердің уақыт күрделілігі O(m log m) болады. Есептеудің алгебралық шешім ағашы моделінде сәйкес төменгі шек белгілі.
Көлемді есептеу
Конвекс политоптың көлемін есептеу мәселесі есептеу геометриясы саласында зерттелді. Көлемді шамамен есептеуге болады, мысалы, мүшелік оракулы қолжетімді болғанда, конвекс көлемді жуықтау әдісін пайдалану арқылы. Ал дәл есептеуге келер болсақ, бір қиындық – егер конвекс политоп сызықтық теңсіздіктердің теңдеу жүйесі түрінде берілген болса, онда политоптың көлемінің бит ұзындығы осы бейнелеуде полиномиалды емес болуы мүмкін.