Кіріспе

Математикада интегралды политопқа сәйкес Эрхарт полиномы болады, ол политоптың көлемі мен политоптың ішіндегі бүтін нүктелер саны арасындағы қатынасты сипаттайды. Эрхарт полиномдарының теориясы Евклид жазықтығындағы Пик теоремасының жоғары өлшемді кеңейтілген түрі ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл полиномдарды 1960 жылдары оларды зерттеген Эжен Эрхарттың құрметіне осылай атаған.

Мысалдар

P – d өлшемді бірлік гиперкуб болсын, оның төбелері барлық координаталары 0 немесе 1 болатын бүтін сандық тор нүктелері. Теңсіздіктер арқылы, P-нің t еселік кеңеюі – (t + 1)^d бүтін нүктесі бар t ұзындығындағы текше. Яғни, гиперкубтың Эрхарт полиномы келесідей: . Сонымен қатар, егер біз L(P, t) функциясын теріс бүтін сандарда есептесек, онда Эрхарт-Макдональд өзара байланысынан күтілетіндей нәтиже аламыз. Көптеген басқа фигуралық сандарды Эрхарт полиномдары арқылы да өрнектеуге болады. Мысалы, квадратты пирамида сандары – бүтін сандық бірлік шаршысы негіз және биіктігі бір болатын квадратты пирамиданың Эрхарт полиномымен беріледі; осы жағдайда Эрхарт полиномы келесідей: .

Ерхарт квазиполиномияларының мысалдары

P нүктелері (0,0), (0,2), (1,1) және ( ,0) болатын көпбұрыш болсын. tP-дегі бүтін сандық нүктелердің саны квазиполином арқылы саналады.

Бетке Кнезер теоремасы

Ульрих Бетке мен Мартин Кнезер Эрхарт коэффициенттерінің келесі сипаттамасын берді. Бүтін политоптарда анықталған функция, егер және тек егер нақты сандар болса, аудармаға қатысты инвариантты бағалау болып табылады.

Рационалды политоптар үшін Ерхарт сериясы

Түптік ұштары бар политоптардағыдай, рационалды политоп үшін де Эрхарт қатары анықталады. d өлшемді рационалды политоп P үшін, мұнда D – DP бүтін сан политопы болатын ең кіші бүтін сан (D – P-нің бөлшегі), келесі теңдік орындалады:

мұндағы – әлі де теріс емес бүтін сандар.

Торик сорт

Бұл жағдайлар мен осы мәлімдемелер Пик теоремасын тудырады. Басқа коэффициенттерге арналған формулаларды алу әлдеқайда қиын; осы мақсатта Тоддтың торикалық сан алуандықтарының кластары, Риманн-Рох теоремасы және Фурье талдауы қолданылған. Егер X – P-нің нормальдық желдеткішіне сәйкес келетін торикалық сан алуандық болса, онда P, X-те кең сызықтық шоғырды анықтайды, ал P-нің Эрхарт полиномы осы шоғырдың Гилберт полиномымен сәйкес келеді. Эрхарт полиномдары өздігінен де зерттелуі мүмкін. Мысалы, Эрхарт полиномының түбірлеріне қатысты сұрақтар туындауы мүмкін. Бұған қоса, кейбір авторлар осы полиномдарды қалай жіктеуге болады деген мәселені қарастырды.

Жалпылау

P политопындағы бүтін сан нүктелерінің санын зерттеуге болады, егер P-нің кейбір жақтарын кеңейтіп, ал қалғандарын кеңейте алмасақ. Басқаша айтқанда, жартылай кеңейтілген политоптардағы бүтін нүктелердің санын анықтауға болады. Мұндай санау функциясы көпөлшемді квазиполином болып табылады. Осындай санау функциясы үшін Эрхарт түріндегі өзара байланыс теоремасы да орындалады. Политоптардың жартылай дилатацияларындағы бүтін нүктелердің санын санау, тұрақты көпбұрыштардың әртүрлі кесулерінің және кодтау теориясы саласындағы кодтың нақты түрі – изоморфты емес шектеусіз кодтардың санын санауда қолданылады.