Кіріспе
Жазық жақтары бар геометриялық нысан.
A polyhedron is a 3 dimensional polytope
In elementary geometry, a polytope is a geometric object with flat sides (faces). Polytopes are the generalization of three dimensional polyhedra to any number of dimensions. Polytopes may exist in any general number of dimensions n as an n dimensional polytope or n polytope. For example, a two dimensional polygon is a 2 polytope and a three dimensional polyhedron is a 3 polytope. In this context, "flat sides" means that the sides of a (k + 1) polytope consist of k polytopes that may have (k – 1) polytopes in common. Some theories further generalize the idea to include such objects as unbounded apeirotopes and tessellations, decompositions or tilings of curved manifolds including spherical polyhedra, and set theoretic abstract polytopes. Polytopes of more than three dimensions were first discovered by Ludwig Schläfli before 1853, who called such a figure a polyschem. The German term polytop was coined by the mathematician Reinhold Hoppe, and was introduced to English mathematicians as polytope by Alicia Boole Stott.
Полиэдр – үш өлшемді политоп. Элементар геометрияда политоп – жақтары (беттері) жазық болатын геометриялық нысан. Политоптар – үш өлшемді полиэдрлердің кез келген өлшемге обобщалануы. Политоптар n өлшемді политоп немесе n политоп ретінде n өлшемнің кез келген санында болуы мүмкін. Мысалы, екі өлшемді көпбұрыш – 2 политоп, ал үш өлшемді полиэдр – 3 политоп. Бұл контексте "жазық жақтар" дегеніміз, (k + 1) политоптың жақтары k политоптан тұрады, олардың (k – 1) политоптары ортақ болуы мүмкін. Кейбір теориялар бұл идеяны шексіз апиротоптар мен теселяцияларды, қисық манифольдтардың ыдырауларын немесе мозаикаларын, соның ішінде сфералық полиэдрлерді, және жиындық теориялық абстрактілі политоптарды қамту үшін одан әрі обобщалайды. Үш өлшемнен артық политоптарды алғаш рет 1853 жылға дейін Людвиг Шлефли ашқан, ол мұндай фигураны полисхема деп атаған. "Политоп" терминін неміс математигі Рейнхольд Хоппе енгізген, ал ағылшыз математиктеріне Алисия Буль Стотт политоп ретінде таныстырған.
A polyhedron is a 3 dimensional polytope
In elementary geometry, a polytope is a geometric object with flat sides (faces). Polytopes are the generalization of three dimensional polyhedra to any number of dimensions. Polytopes may exist in any general number of dimensions n as an n dimensional polytope or n polytope. For example, a two dimensional polygon is a 2 polytope and a three dimensional polyhedron is a 3 polytope. In this context, "flat sides" means that the sides of a (k + 1) polytope consist of k polytopes that may have (k – 1) polytopes in common. Some theories further generalize the idea to include such objects as unbounded apeirotopes and tessellations, decompositions or tilings of curved manifolds including spherical polyhedra, and set theoretic abstract polytopes. Polytopes of more than three dimensions were first discovered by Ludwig Schläfli before 1853, who called such a figure a polyschem. The German term polytop was coined by the mathematician Reinhold Hoppe, and was introduced to English mathematicians as polytope by Alicia Boole Stott.
Қиыршық политоптар
Политоп дөңгелек болуы мүмкін. Дөңгелек политоптар – политоптардың ең қарапайым түрі және политоптар ұғымының бірнеше түрлі жалпыламаларының негізін құрайды. Дөңгелек политоп кейде жарты кеңістіктер жиынының қиылысы ретінде анықталады. Бұл анықтама политоптың шектелуіне немесе шектелуіне мүмкіндік береді. Политоптар осылай анықталады, мысалы, сызықтық бағдарламалауда. Политоп шектелі болып есептеледі, егер оны қамтитын шекті радиусы бар шар болса. Политоп, егер оның кем дегенде бір төбесі болса, сүйір деп аталады. Кез келген шектелі бос емес политоп сүйір болады. Сүйір емес политоптың мысалы – жиын. Политоп шекті болып есептеледі, егер ол шекті сандағы объектілер арқылы анықталса, мысалы, жарты жазықтықтардың шекті санының қиылысы ретінде. Егер оның барлық төбелерінің координаталары бүтін сандар болса, онда ол интегралды политоп болып табылады. Дөңгелек политоптардың белгілі бір класы рефлексивті политоптар болып табылады. Интегралды политоп рефлексивті болып есептеледі, егер кейбір интегралды матрица үшін , , мұнда – бірліктердің векторы, ал теңсіздік компонент бойынша қарастырылады. Осы анықтамадан келіп, егер және тек қана барлық үшін рефлексивті болады. Басқаша айтқанда, политоптың кеңеюі, шекарада алынған тор нүктелерінен басқа, политоптың кеңеюінен тек тор нүктелерімен ғана өзгеше болады. Эквивалентті түрде, политоп рефлексивті болып есептеледі, егер және тек қана оның дуалды политопы интегралды политоп болса.
Шексіз политоптар
Барлық коллекторлар шекті емес. Егер политоп коллектордың мозаикасы немесе бөлінісі ретінде қарастырылса, бұл идея шексіз коллекторларға да қатысты қолданылуы мүмкін. Жазық мозаикалар, кеңістікті толтыру (бал ұясы) және гиперболалық мозаикалар осы мағынада политоптар болып табылады және олардың шексіз көп жасушасы болғандықтан кейде апиротоптар деп аталады. Олардың ішінде тұрақты нысандар бар, соның ішінде тұрақты қисық полиэдрлер және тұрақты апирогон, шаршы мозаика, кубтық бал ұясы және т.б. сияқты шексіз сериялар бар.
Абстрактілі политоптар
Абстрактілі политоптар теориясы политоптарды оларды қамтитын кеңістіктен ажыратуға, олардың таза комбинаторлық қасиеттерін қарастыруға бағытталған. Бұл, 11 ұяшық сияқты интуитивті негізгі кеңістікті анықтау қиын объектілерді де анықтамаға қосуға мүмкіндік береді. Абстрактілі политоп – белгілі бір ережелерге бағынатын элементтердің немесе мүшелердің ішінара реттелген жиынтығы. Бұл таза алгебралық құрылым, және теория әртүрлі геометриялық классстарды үйлесімді математикалық жүйеге келтіруде туындайтын кейбір қиындықтарды болдырмау мақсатымен жасалған. Геометриялық политоп – байланысты абстрактілі политоптың нақты кеңістіктегі көрінісі (іске асырылуы) деп есептеледі.
Күрделі политоптар
Политоптарға ұқсас құрылымдар күрделі Гильберт кеңістіктерінде кездеседі, онда n нақты өлшемдерге n жорамал өлшемдер қоса тіркеседі. Тұрақты күрделі политоптарды конфигурациялар ретінде қарастыру дұрысрақ.
Дуальділік
Кез келген n политопы екілік құрылымға ие, ол оның төбелерін жақтарымен, қабырғаларын қырларымен және т.б. жалпы алғанда (j − 1) өлшемді элементтерін (n − j) өлшемді элементтермен (j = 1-ден n − 1-ге дейін) алмастыру арқылы, элементтер арасындағы байланыс немесе орын тесуді сақтай отырып алынады. Абстрактілі политоп үшін бұл жиынның ретін кері аударуды білдіреді. Бұл кері аудару тұрақты политоптардың Шлефли символдарында көрінеді, онда екілік политоптың символы бастапқы символдың керісі болып табылады. Мысалы, {4, 3, 3} политопы {3, 3, 4} политопының екілігі болып табылады. Геометриялық политоп жағдайында, екілеу үшін кейбір геометриялық ереже қажет, мысалы, екілік полиэдрлер үшін сипатталған ережелерді қараңыз. Қарайлас жағдайға байланысты, екілік фигура басқа геометриялық политоп болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін. Егер екілік кері аударылса, бастапқы политоп қалпына келтіріледі. Осылайша, политоптар екілік жұптар түрінде кездеседі.
Тарих
Көпбұрыштар мен көпжақтар ежелгі заманнан бері белгілі. Жоғары өлшемдер туралы алғашқы ой 1827 жылы Аугуст Фердинанд Мёбиус екі күзгүдей бейнеленген денелердің біреуін төртінші математикалық өлшемде бұра отырып, бірін-бірі беттестіре алатындығын жазғанда туды. 1850 жылдарға қарай Артур Кейли және Герман Грассман сияқты тағы бірнеше математиктер де жоғары өлшемдерді қарастырды. Людвиг Шлефли осы жоғары кеңістіктерде көпбұрыштар мен көпжақтардың аналогтарын қарастырған алғашқы адам болды. Ол 1852 жылы алты дөңгелек тұрақты 4 политопты сипаттады, бірақ оның еңбегі ол қайтыс болғаннан кейін алты жыл өткен соң, 1901 жылы ғана жарияланды. 1854 жылы Бернхард Риманның Habilitationsschrift еңбегі жоғары өлшемдердің геометриясын бекітті, соның арқасында n өлшемді политоптар туралы түсінік қабылданып алынды. Шлефлидің политоптары оның өмірінде және одан кейінгі онжылдықтарда көп рет қайта ашылды. 1882 жылы Рейнхольд Хоппе неміс тілінде жазғанда, политоп сөзін көпбұрыштар мен көпжақтардың одан да жалпы түсінігін білдіру үшін қолданды. Кейіннен логик Джордж Булдың қызы Алисия Бул Стотт ағылшын тіліне polytope сөзін енгізді. 1997 жылға дейін жоғары өлшемдердегі бұл мәселе әлі де шешілмеген болып қалды. 2008 жылға дейін төртінші және одан жоғары өлшемдердегі дөңгелек емес біркелкі политоптардың толық тізімі белгісіз. Қазіргі заманда политоптар мен олармен байланысты түсініктер компьютерлік графика, оптимизация, іздеу жүйелері, космология, кванттық механика және тағы да басқа көптеген салаларда маңызды қолданыс тапты. 2013 жылы амплитуэдр теориялық физиканың кейбір есептеулеріндегі қарапайым құрылым ретінде табылды.
Қолданбалар
Оптимизация саласында сызықтық бағдарламалау сызықтық функциялардың ең жоғарғы және ең төменгі мәндерін зерттейді; осы ең жоғарғы және ең төменгі мәндер n өлшемді политоптың шекарасында кездеседі. Сызықтық бағдарламалауда политоптар жалпыланған барицентрлік координаттарды және бос айнымалыларды қолдану кезінде пайда болады. Теориялық физиканың бір саласы – твистор теориясында амплитуэдр деп аталатын политоп, субатомдық бөлшектердің соқтығысқандағы шашырау амплитудасын есептеу үшін қолданылады. Бұл конструкция таза теориялық және физикалық тұрғыдан көрінісі белгілі емес, бірақ кейбір есептеулерді қатты жеңілдетуге көмектеседі.