Введение

Полиэдр с 8 треугольными гранями и 6 квадратными гранями.

Кубоктаэдр — это полиэдр с 8 треугольными гранями и 6 квадратными гранями. Кубоктаэдр имеет 12 идентичных вершин, в каждой из которых сходятся два треугольника и два квадрата, и 24 идентичных ребра, каждое из которых разделяет треугольник и квадрат. Таким образом, это квазиправильный многогранник, то есть архимедово тело, которое является не только транзитивным по вершинам, но и транзитивным по рёбрам. Он радиально равносторонний. Его двойственный полиэдр — ромбический додекаэдр. Кубоктаэдр, вероятно, был известен Платону: в «Определениях» Герона цитируется Архимед, утверждающий, что Платон знал о теле, состоящем из 8 треугольников и 6 квадратов.

Корневые векторы

12 вершин кубоктаэдра могут представлять собой корневые векторы простой группы Ли A3. С добавлением 6 вершин октаэдра, эти вершины представляют 18 корневых векторов простой группы Ли B3.

Тетраэдры и октаэдры

Кубоктаэдр можно разбить на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров, сходящихся в центральной точке. Эта разбиение на части проявляется в тетраэдрической октаэдрической сотовой структуре, где пары квадратных пирамид объединяются в октаэдры.

Нерегулярные многогранники

Кубоктаэдр можно разделить на два треугольных купола общей шестиугольной плоскостью, проходящей через центр кубоктаэдра. Если эти два треугольных купола повернуть так, чтобы треугольники и квадраты совпали, получится многогранник Джонсона J27 – треугольная ортобикупола.

Радиальная равносторонняя симметрия

В кубоктаэдре длинный радиус (от центра до вершины) равен длине ребра; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен двум длинам ребра. Его центр подобен апикальной вершине канонической пирамиды: он отстоит от всех остальных вершин на расстояние, равное длине ребра. (В случае кубоктаэдра центр фактически является вершиной 6 квадратных и 8 треугольных пирамид). Эта радиальная равносторонность – свойство лишь немногих однородных политопов, включая двухмерный шестиугольник, трехмерный кубоктаэдр и четырехмерные 24-ячейник и 8-ячейник (тессеракт). Радиально равносторонние политопы – это те, которые можно построить, используя их длинные радиусы, из равносторонних треугольников, сходящихся в центре политопа, каждый из которых образует два радиуса и одно ребро. Следовательно, все внутренние элементы, сходящиеся в центре этих политопов, имеют равносторонние треугольные грани, обращенные внутрь, как в разложении кубоктаэдра на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров. Каждый из этих радиально равносторонних политопов также встречается в качестве ячеек характерной пространственно-заполняющей тесселяции: мощения правильными шестиугольниками, выпрямленного кубического сота (состоящего из чередующихся кубоктаэдров и октаэдров), 24-ячеечного сота и тессерактического сота, соответственно. Каждая тесселяция имеет двойственную тесселяцию; центры ячеек в тесселяции являются вершинами ячеек в ее двойственной тесселяции. Наиболее плотная известная регулярная упаковка сфер в двух, трех и четырех измерениях использует центры ячеек одной из этих тесселяций в качестве центров сфер. Кубоктаэдр обладает октаэдрической симметрией. Его первая звездчатая форма – это соединение куба и его двойственного октаэдра, при этом вершины кубоктаэдра расположены в серединах ребер каждого из них.

Строительство

Кубоктаэдр можно получить, взяв экваториальное поперечное сечение четырехмерной 24-ячейки или 16-ячейки. Шестиугольник или квадрат можно получить, взяв экваториальное поперечное сечение кубоктаэдра. Кубоктаэдр является усеченным кубом и также усеченной октаэдром. Он также является кантелляцией тетраэдра. При такой конструкции ему присваивается символ Уайтхоффа.

Скрученная кантелляция тетраэдра создает тело с гранями, параллельными граням кубоктаэдра, а именно восемь треугольников двух размеров и шесть прямоугольников. Хотя его ребра не равны, это тело остается вершинно-однородным: тело обладает полной тетраэдрической группой симметрии, и его вершины эквивалентны относительно этой группы. Ребра кубоктаэдра образуют четыре правильных шестиугольника. Если кубоктаэдр разрезать по плоскости одного из этих шестиугольников, каждая половина будет представлять собой треугольный купол, одно из тел Джонсона; таким образом, сам кубоктаэдр также может называться треугольным гиробикуполом, самым простым в серии (за исключением гиробифастигиума или "дигонального гиробикупола"). Если половинки соединить с поворотом, так чтобы треугольники соединялись с треугольниками, а квадраты с квадратами, получится другое тело Джонсона – треугольная ортобикупола, также называемая антикубоктаэдром. Обе треугольные бикуполы важны при упаковке сфер. Расстояние от центра тела до его вершин равно длине его ребра. Каждая центральная сфера может иметь до двенадцати соседей, и в гранецентрированной кубической решетке они занимают положения вершин кубоктаэдра. В гексагональной плотной упаковке они соответствуют углам треугольной ортобикуполы. В обоих случаях центральная сфера занимает положение центра тела. Кубоктаэдры встречаются в качестве ячеек в трех из выпуклых однородных сотах и в девяти из выпуклых однородных 4-политопов. Объем кубоктаэдра составляет объем окружающего куба и объем окружающего октаэдра.

Кинематика

Если рассматривать кубоктаэдр как каркас жестких плоских граней, соединенных по ребрам шарнирами, то он представляет собой жесткую структуру, как и все выпуклые многогранники, согласно теореме Коши. Однако, если удалить грани, оставив только жесткие ребра, соединенные гибкими соединениями в вершинах, то полученная система не будет жесткой (в отличие от многогранников, все грани которых – треугольники, к которым теорема Коши применима, даже при отсутствии граней). Добавление центральной вершины, соединенной жесткими ребрами со всеми остальными вершинами, разбивает кубоктаэдр на квадратные пирамиды и тетраэдры, сходящиеся в центральной вершине. В отличие от самого кубоктаэдра, полученная система ребер и соединений является жесткой и составляет часть бесконечной структуры октетного ферменного каркаса.

Регулярные полиэдры

Кубоктаэдр — один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром. Кубоктаэдр также обладает тетраэдрической симметрией и может быть окрашен в два цвета треугольников.

Квазирегулярные полиэдры и плитки

Кубоктаэдр существует в последовательности симметрий квазирегулярных многогранников и мозаек с конфигурацией вершин (3. n)2, переходящих от мозаек сферы к евклидовой плоскости и далее в гиперболическую плоскость. При обозначении орбиты симметрии *n32 все эти мозайки являются построением Вайтхоффа в фундаментальной области симметрии, с точками-генераторами в вершине, образующей прямой угол в этой области. Этот многогранник топологически связан с последовательностью усечённых многогранников с фигурой вершины (3.4. n.4) и продолжается как мозайки гиперболической плоскости. Эти транзитивно-вершинные фигуры обладают отражательной симметрией (*n32).

Четырехмерные политопы

Кубоктаэдр можно разложить на правильный октаэдр и восемь неправильных, но равных октаэдров, имеющих форму выпуклой оболочки куба с удаленными двумя противоположными вершинами. Это разложение кубоктаэдра соответствует первой параллельной проекции 24-ячейки в три измерения. При этой проекции кубоктаэдр формирует проекционную оболочку, которую можно разложить на шесть квадратных граней, правильный октаэдр и восемь неправильных октаэдров. Эти элементы соответствуют изображениям шести октаэдрических ячеек 24-ячейки, ближайшей и самой дальней ячейкам с точки зрения 4D, и оставшимся восьми парам ячеек соответственно.