Кіріспе

Геометрияда, тұрақты икосаэдр (немесе жай ғана икосаэдр) – бесбұрышты антипризмадан, оның бесбұрышты беттерінің әрқайсысына екі бесбұрышты пирамида қосу арқылы немесе текшеге нүктелер қою арқылы құрастырылатын дөңес көпбұрыш. Нәтижесінде пайда болатын көпбұрыштың 20 теңқабырлы үшбұрыштан тұратын беттері, 30 қыры және 12 төбесі болады. Бұл Платон денесінің және дельтаэдрдің мысалы. Икосаэдр графигі тұрақты икосаэдрдің қаңқасын көрсетеді. Көптеген көпбұрыштар тұрақты икосаэдрден құрастырылады. Мысалы, Кеплер-Пуансо көпбұрыштарының көп бөлігі фасеттеу арқылы жасалады. Джонсон денелерінің кейбіреулерін бесбұрышты пирамидаларды алып тастау арқылы құрастыруға болады. Тұрақты икосаэдрдің басқа Платон денелерімен көптеген байланыстары бар, олардың бірі – оның қос полиэдрі ретінде тұрақты додекаэдр және салыстыру өлшемдері бойынша тарихи фонға ие. Сондай-ақ, оның басқа политоптармен де көптеген байланыстары бар. Тұрақты икосаэдрдің пішіні табиғатта кездеседі, мысалы, икосаэдр пішіндес қабықшалары бар вирустар мен радиоляриялар. Тұрақты икосаэдрдің басқа да қолданыстары – картографияда оның желісін пайдалану, ежелгі заманда табылған жиырма қырлы ойыншық текшелер және роликтік ойындар.

Өлшем

Қиыршақты көпбұрыштың ішкі сферасы – оның барлық бетін жанасатын, көпбұрыштың ішіндегі сфера. Қиыршақты көпбұрыштың сыртқы сферасы – көпбұрышты қамтитын және оның барлық жиектеріне тиетін сфера. Қиыршақты көпбұрыштың ортаңғы сферасы – оның барлық жиектеріне жанасатын сфера болып табылады. Сондықтан, егер тұрақты икосаэдрдің қабырғасының ұзындығы болса, ішкі сфераның радиусы (ішкі радиус), сыртқы сфераның радиусы (сыртқы радиус) және ортаңғы сфераның радиусы (орта радиус) сәйкесінше:

Полиэдрдің бетінің ауданы – оның барлық беттерінің қосындысы. Сондықтан, тұрақты икосаэдрдің бетінің ауданы 20 теңқабырғалы үшбұрыштың ауданына тең. Тұрақты икосаэдрдің көлемі үшбұрышты беттері негіз болатын және биіктігі тұрақты икосаэдрдің центріне дейінгі үшбұрышты беттің центроидынан арақашықтыққа тең болатын барлық пирамидалардың көлемін есептеу арқылы алынады. Ежелгі гректерден бастау алған мәселе – сфераға сызылған икосаэдрдің немесе сол сфераға сызылған додекаэдрдің қайсысының көлемі үлкен екенін анықтау. Бұл мәселені Герон, Папп және Фибоначчи сияқтылар шешкен. Пергалық Аполлоний бұл екі пішіннің көлемінің қатынасы олардың беттерінің ауданына тең екенін тапқан. Екі томда да алтын қатынасқа қатысты формулалар бар, бірақ әртүрлі дәрежелерде қолданылған. Көрсетілгендей, икосаэдр сфераның көлемінің аз бөлігін (60,54%) алып жатыр, ал додекаэдр – көбірек (66,49%). Тұрақты икосаэдрдің диэдрлік бұрышын тұрақты беттері бар бесбұрышты пирамидалардың бұрышын және бесбұрышты антипризманы қосу арқылы есептеуге болады. Бесбұрышты антипризма мен бесбұрышты пирамиданың екі іргелес үшбұрышты беттері арасындағы диэдрлік бұрыш шамамен бесбұрышты антипризманың бесбұрыш пен үшбұрыш арасындағы диэдрлік бұрышы , ал бесбұрышты пирамиданың сол беттері арасындағы диэдрлік бұрыш . Сондықтан, тұрақты икосаэдр үшін бесбұрышты пирамида мен бесбұрышты антипризма қосылған қабырғадағы екі іргелес үшбұрыштың арасындағы диэдрлік бұрыш .

Симметрия

Тұрақты икосаэдрдің айналу симметрия тобы бес әріптегі ауыспалы топқа изоморфты. Бұл Абельдік емес қарапайым топ – бес әріптегі симметриялық топтың жалғыз тривиальді емес қалыпты кіші тобы. Жалпы бесінші дәрежелі теңдеудің Галуа тобы бес әріптегі симметриялық топқа изоморфты болғандықтан және бұл қалыпты кіші топ қарапайым және абельдік емес болғандықтан, жалпы бесінші дәрежелі теңдеудің радикалдар арқылы шешімі жоқ. Абель-Руффини теоремасының дәлелі осы қарапайым фактіні пайдаланады, ал Феликс Клейн жалпы бесінші дәрежелі теңдеудің аналитикалық шешімін алу үшін икосаэдрлік симметриялар теориясын пайдаланған кітап жазды. Икосаэдрдің толық симметрия тобы (оның ішінде керісулер) толық икосаэдр тобы деп аталады. Ол айналмалы симметрия тобының және екілік топтың көбейтіндісіне изоморфты, ал екілік топ икосаэдрдің ортасынан керісу арқылы жасалады.

Икосаэдрлік график

Әрбір Платондық график, ішінде икосаэдрлік график те бар, полиэдрлік график болып табылады. Бұл олардың жазық графиктер екенін білдіреді, яғни оларды қабырғалары қиылыспай жазықтықта салуға болады; сондай-ақ, олар 3-төбелік байланысты, яғни кез келген екі төбесін алып тастағанда байланысты төменгі график қалады. Штайниц теоремасына сәйкес, осыған дейін аталған қасиеттерге ие икосаэдрлік график дұрыс икосаэдрдің қаңқасын көрсетеді. Икосаэдрлік график Гамильтондық, яғни оның құрамында Гамильтондық цикл бар, немесе әрбір төбеден дәл бір рет өтетін цикл бар.

Басқа Платондық қатты денелерде

Тұрақты икосаэдр мен тұрақты додекаэдрдің өлшемдерін салыстырудан басқа, олар бір-біріне дуалды болып табылады. Икосаэдрді додекаэдрге, оның төбелерін додекаэдр беттерінің ортасына орналастыру арқылы, ал додекаэдрді икосаэдрге керісінше жазуға болады. Икосаэдрді октаэдрге, оның 12 төбесін октаэдрдің 12 қабырғасына орналастыру арқылы жазуға болады, осылайша әр қабырға екі алтын бөлікке бөлінеді. Алтын бөліктер тең емес болғандықтан, мұны тұрақты түрде жасаудың бес әртүрлі жолы бар, сондықтан әр октаэдрге бес бөлек икосаэдрді жазуға болады. Қабырға ұзындығы бар икосаэдрді бірлік қабырға ұзындығы бар кубқа, оның алты қабырғасын (3 өзара перпендикуляр жұп) кубтың төртбұрышты беттеріне, бет орталықтарына орталастырып және төртбұрыштың қабырғаларына параллель немесе перпендикуляр етіп орналастыру арқылы жазуға болады. Икосаэдрдің қабырғалары кубтың беттерінен 5 есе көп болғандықтан, оны тұрақты түрде жасаудың 5 тәсілі бар, яғни әр кубқа 5 бөлек икосаэдрді жазуға болады. Куб пен жазылған икосаэдрдің қабырға ұзындықтары алтын қатынаста болады.

Жұлдыздық

Икосаэдрде көптеген жұлдызшалар бар. Тұрақты икосаэдр үшін 59 жұлдызша анықталғаны айтылды. Бірінші форма – икосаэдрдің өзі. Бірі – Кеплер-Понсоның тұрақты көпбұрышы. Үшеуі – тұрақты құрама көпбұрыштар. 59 жұлдызшаның 21-і Икосаэдрдің жақтары жазықтықтардың қиылысуымен сыртқа қарай кеңейеді, бұл қиылыстардың бір жазықтықтағы диаграммасында көрсетілгендей, кеңістіктегі аймақтарды анықтайды.

Қаптауы

Кіші жұлдызды он екібет, үлкен он екібет және үлкен икосаэдр – тұрақты икосаэдрдің үш беттеу түрі. Олардың төбелері бірдей орналасқан. Олардың барлығында 30 жиек бар. Тұрақты икосаэдр мен үлкен додекаэдрдің жиектері бірдей орналасқан, бірақ беттері әртүрлі (үшбұрыштар және бесбұрыштар), ал кіші жұлдызды додекаэдр мен үлкен икосаэдрдің беттері де әртүрлі (жұлдызшалар және үшбұрыштар).

Кішірейту

Джонсон қатты денелері – барлық жақтары дұрыс, бірақ біртекті емес көпжақтар. Яғни, оларға Архимед қатты денелері, Каталон қатты денелері, призмалар және антипризмалар кірмейді. Олардың кейбіреулері дұрыс икосаэдрдің бір бөлігін алып тастау арқылы құрастырылады, бұл процеске «кеміту» деген атау беріледі. Оларға гироұзартылған бесбұрышты пирамида, метабидимінимирленген икосаэдр және тридимінимирленген икосаэдр жатады, олар икосаэдрден бір, екі және үш бесбұрышты пирамиданы алып тастайды. Осыған ұқсас кесілген дұрыс икосаэдрдің 2 жақын орналасқан төбесі кемітіліп, екі трапеция тәрізді жақ қалдырады, ал бифастигиумның 2 қарама-қарсы төбесі алынып тасталады және 4 трапеция тәрізді жағы болады.

600-клеткалы және басқа 4-политоптармен байланысы

Икосаэдр — 600 ұяшықтың өлшемдік аналогы, 4 өлшемді политоп. 600 ұяшықта екі түрлі өлшемдегі икосаэдрлік қималары бар, және оның 120 төбесі икосаэдрлік пирамида болып табылады; икосаэдр — 600 ұяшықтың төбелік фигурасы. Бірлік радиусы бар 600 ұяшықта шетінің ұзындығы тетраэдрлік ұяшықтар бар, олардың 20-сы әр төбеде кездесіп, икосаэдрлік пирамида құрайды (негізі икосаэдр болатын 4 пирамида). Осылайша, 600 ұяшықта шетінің ұзындығы бар 120 икосаэдр бар. 600 ұяшықта бірлік ұзындығы бар кубтар мен бірлік ұзындығы бар октаэдрлер де бар, олар оның бірлік ұзындығындағы хордаларынан құралған ішкі элементтер. Бірлік радиусы бар 120 ұяшықта (тағы бір тұрақты 4 политоп, ол 600 ұяшықтың қос политопы және 5 600 ұяшықтың қосындысы) үш түрлі жазылған икосаэдрді табамыз (додекаэдрде, октаэдрда және кубта). Жартылай тұрақты 4 политоп — 24 ұяшық, оның құрамында икосаэдрлік ұяшықтар бар.

Басқа біркелкі политоптармен қатынасы

Жоғарыда айтылғандай, тұрақты икосаэдр Платондық денелердің арасында диэдрлік бұрышы шамамен 1= болатын ерекшелікпен көзге түседі. Осылайша, алтыбұрыштардың бұрыштары 120°-тан кем емес және оларды дөңгелек тұрақты көпбұрыштың жақтары ретінде пайдалануға болмайды, себебі мұндай құрылымда кем дегенде үш жақ бір төбеде жиналып, үш өлшемде бүктеу үшін оң ақау қалдыру керек деген талап орындалмайды. Сол сияқты, икосаэдрлерді дөңгелек тұрақты полихоронның жасушалары ретінде қолдануға болмайды, өйткені кем дегенде үш жасуша бір қабырғада жиналып, төртінші өлшемде бүктеу үшін оң ақау қалдыруы керек (жалпы алғанда, n өлшемдегі дөңгелек политоп үшін кем дегенде үш жақ бір шыңда жиналып, n кеңістікте бүктеу үшін оң ақау қалдыруы керек). Дегенмен, кішкентай диэдрлік бұрыштары бар сәйкес жасушалармен біріктірілгенде, икосаэдрлерді жартылай тұрақты полихорон жасушалары ретінде қолдануға болады (мысалы, 24 жасушалы), дәл сол сияқты алтыбұрыштарды жартылай тұрақты полиэдрлерде (мысалы, қиық икосаэдрде) жақтар ретінде қолдануға болады. Соңында, дөңгелек емес политоптар дөңгелек политоптарға тән қатаң талаптарға бағынбайды, сондықтан икосаэдрлер он дөңгелек емес тұрақты полихоронның бірі – икосаэдрлік 120 жасушаның жасушалары болып табылады. Икосаэдрдің өзгертілген формалары, енді тұрақты болмаса да, төбелік біркелкілік сақтайды. Олар тетраэдрмен бірдей айналымдарға қатысты өзгермейді және кейбір формалары хиральды, ал кейбіреулері 1= симметриялы, яғни тетраэдрден өзгеше симметрия жазықтықтарына ие.

Қолдану және оның табиғи түрі

Бұл – әр түрлі көпбұрыштармен жиі кездесетін нысандар, олардың бірі – тұрақты икосаэдр. Жиырма қырлы текше көптеген ежелгі заманнан белгілі. Мысырлық Птолемей дәуірінде жасалған текшелердің бірі – грек және рим кезеңінде грек әріптерімен жазылған. Тағы бір мысал – Типу Сұлтанның қазынасынан табылған, алтыннан жасалған және әр бетіне сандар жазылған текше. Dungeons & Dragons сияқты бірнеше рөлдік ойындарда жиырма қырлы текше (d20 деп белгіленеді) әрекеттің сәттілігін немесе сәтсіздігін анықтау үшін кеңінен қолданылады. Ол "0" бен "9" сандарымен екі рет нөмірленуі мүмкін, мұндай жағдайда ол он қырлы текше (d10) ретінде қолданылады; көбінесе қазіргі заманғы нұсқалары "1" бен "20" сандарымен белгіленеді. Scattergories – бұл ойын, онда ойыншы картадағы санаттарды белгіленген уақыт ішінде атайды. Мұндай санаттардың атаулары бастапқыда жиырма қырлы текшенің әрқайсысынан алынған әріптермен беріледі. Тұрақты икосаэдр ғылымның көптеген салаларында да кездеседі. Вирусологияда герпес вирусының икосаэдрлі қабығы бар. ВИЧ-тың сыртқы ақуыз қабығы, сондай-ақ миовирустың басы тұрақты икосаэдрмен қоршалған. Эрнст Геккель ашқан радиолариялардың бірнеше түрі олардың қабықтарын әртүрлі тұрақты көпбұрыштарға ұқсас деп сипаттаған; олардың бірі – циркогония икосаэдра, оның қаңқасы тұрақты икосаэдр пішіндес. Химияда, клозокарборандар – тұрақты икосаэдрге ұқсас пішінді қосылыстар. Икосаэдрлік егіздену кристалдарда, әсіресе нанобөлшектерде де кездеседі. Бордың көптеген боридтері мен аллотроптары, мысалы α және β ромбоэдрлері, негізгі құрылымдық бірлік ретінде бор В12 икосаэдрін қамтиды. Картографияда Р. Бакминстер Фуллер тұрақты икосаэдрдің желісін пайдаланып, Димаксион картасы деп аталатын карта жасаған. Ол үшін желі үшбұрыштарға бөлінді, содан кейін Жер бетіндегі тор есептелді және нәтижелер сферадан көпбұрышқа көшірілді. Бұл проекция Фуллер Гренландияның Оңтүстік Америкадан кіші екенін түсінген кезде жасалды. Томсон мәселесінде, шар бетіндегі зарядталған бөлшектердің ең төмен энергия конфигурациясы туралы, және нүктелер арасындағы ең кіші қашықтықты максималдайтын шарлық кодты құрудың Тамм мәселесі үшін белгілі ең аз шешім нүктелерді шарға жазылған тұрақты икосаэдрдің төбелерінде орналастырады. Бұл конфигурация Тамм мәселесі үшін оңтайлы екені дәлелденді, бірақ Томсон мәселесінің осы нұсқасына қатаң шешім әлі табылмаған.