Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
14 үшбұрышты жағы бар дөңес көпбұрыш
Convex polyhedron with 14 triangle faces
Трибуйталанған үшбұрышты призма, геометрияда, 14 теңқабырлы үшбұрыштан тұратын дөңес көпбұрыш. Оны үшбұрышты призмадан, оның әрбір үш төртбұрышты жағына теңқабырлы төртбұрышты пирамидаларды қосу арқылы құрастыруға болады. Бұл пішін тетракис үшбұрышты призма, трикапталған тригональды призма, тетракаидадельтаэдр немесе тетракаидадельтаэдр деп те аталады; осы соңғы атаулар 14 үшбұрышты жағы бар көпбұрышты білдіреді. Бұл дельтаэдр мен Джонсон қатты денелерінің мысалы. Трибуйталанған үшбұрышты призманың қабырғалары мен төбелері 9 төбесі мен 21 қабырғасы бар максималды жазық график құрайды, ол Фрич графигі деп аталады. Оны Рудольф пен Герда Фрич Альфред Кемпенің төрт түсті теореманы дәлелдеу әрекетінің дұрыс еместігін көрсету үшін қолданды. Фрич графигі – әрбір маңайы 4 немесе 5 төбелі цикл болатын алты графиктердің бірі. Трибуйталанған үшбұрышты призманың қос көпбұрышы – ассоциаэдр, төрт төртбұрышты жағы мен алты бесбұрышы бар көпбұрыш, олардың төбелері тұрақты алтыбұрыштың 14 үшбұрышты триангуляциясын көрсетеді. Сол сияқты, трибуйталанған үшбұрышты призманың тоғыз төбесі алтыбұрыштың тоғыз диагоналін көрсетеді, егер екі диагональ қиыспаса, онда екі төбе қабырғамен жалғасады. Трибуйталанған үшбұрышты призманың басқа да қолданыстары химияда трикапталған тригональды призмалық молекулалық геометрияның негізі ретінде, ал математикалық оптимизацияда Томсон және Таммес мәселелерінің шешімі ретінде кездеседі.
The triaugmented triangular prism, in geometry, is a convex polyhedron with 14 equilateral triangles as its faces. It can be constructed from a triangular prism by attaching equilateral square pyramids to each of its three square faces. The same shape is also called the tetrakis triangular prism, tricapped trigonal prism, tetracaidecadeltahedron, or tetrakaidecadeltahedron; these last names mean a polyhedron with 14 triangular faces. It is an example of a deltahedron and of a Johnson solid. The edges and vertices of the triaugmented triangular prism form a maximal planar graph with 9 vertices and 21 edges, called the Fritsch graph. It was used by Rudolf and Gerda Fritsch to show that Alfred Kempe's attempted proof of the four color theorem was incorrect. The Fritsch graph is one of only six graphs in which every neighborhood is a 4 or 5 vertex cycle. The dual polyhedron of the triaugmented triangular prism is an associahedron, a polyhedron with four quadrilateral faces and six pentagons whose vertices represent the 14 triangulations of a regular hexagon. In the same way, the nine vertices of the triaugmented triangular prism represent the nine diagonals of a hexagon, with two vertices connected by an edge when the corresponding two diagonals do not cross. Other applications of the triaugmented triangular prism appear in chemistry as the basis for the tricapped trigonal prismatic molecular geometry, and in mathematical optimization as a solution to the Thomson problem and Tammes problem.
Фрич графигі
Үш бұрышты призманың графигі 9 төбесі мен 21 қабырғасы бар. Ол Альфред Кемпенің төрт түс теоремасын Кемпе тізбектерін пайдаланып дәлелдеудегі қателігіне қарсы кішкентай мысал ретінде қолданылды, ал оның дуалды картасы олардың кітабының мұқабасын безендіру үшін пайдаланылды. Сондықтан бұл график кейіннен Фрич графигі деп аталды. Фрич графигінен бір қабырғаны алып тастау арқылы (осы суреттегі төменгі қабырға) Сойфер графигі деп аталатын одан да кішкентай қарсы мысал алынады. Фрич графигі – әрбір төбесінің көршілері төрт немесе бес қабырғадан тұратын цикл құрайтын жалғыз алты байланысқан графиктердің бірі. Жалпы алғанда, егер график әрбір төбесінде кемінде төрт қабырғадан тұратын цикл болса, онда график үшбұрыштары Уитни үшбұрышы деп аталатын топологиялық бетті автоматты түрде құрайды. Бұл алты график алты Уитни үшбұрышынан шыққан, олардың үшбұрыштары теңқабырлы болғанда әрбір төбесінде оң бұрыштық кемшілік пайда болады. Бұл оларды оң қисықтығы бар тегіс беттердің комбинаторлық аналогы етеді. Олар сегіз дельтаэдрдің алтысынан алынған, олардың екеуі үшбұрышты көршілес төбесіне ие. Фрич графигінен басқа, қалған бес график – дұрыс октаэдр, дұрыс икосаэдр, бесбұрышты бипирамида, снуб дисфеноид және гиросозылған шаршы бипирамида.
The graph of the triaugmented triangular prism has 9 vertices and 21 edges. It was used by as a small counterexample to Alfred Kempe's false proof of the four color theorem using Kempe chains, and its dual map was used as their book's cover illustration. Therefore, this graph has subsequently been named the Fritsch graph. An even smaller counterexample, called the Soifer graph, is obtained by removing one edge from the Fritsch graph (the bottom edge in the illustration here). The Fritsch graph is one of only six connected graphs in which the neighborhood of every vertex is a cycle of length four or five. More generally, when every vertex in a graph has a cycle of length at least four as its neighborhood, the triangles of the graph automatically link up to form a topological surface called a Whitney triangulation. These six graphs come from the six Whitney triangulations that, when their triangles are equilateral, have positive angular defect at every vertex. This makes them a combinatorial analogue of the positively curved smooth surfaces. They come from six of the eight deltahedra—excluding the two that have a vertex with a triangular neighborhood. As well as the Fritsch graph, the other five are the graphs of the regular octahedron, regular icosahedron, pentagonal bipyramid, snub disphenoid, and gyroelongated square bipyramid.
Екілік ассоциаэдр
Үштік үшбұрышты призманың қос көпбұрышы үштік үшбұрышты призманың әрбір төбесі үшін бір бетке және әр бет үшін бір төбеге ие. Бұл еннеаэдрон (яғни тоғыз жақты көпбұрыш), оны үш өзара жанаспайтын төртбұрышты беттермен және алты конгруэнтті ретсіз бесбұрышты беттермен құруға болады. Ол сондай-ақ 5-ретті ассоциаэдрон деп те аталады, оның төбелері тұрақты алтыбұрыштың 14 үшбұрышталмасын көрсетеді. Бұл қос көпбұрыштың симметриясы төмен нұсқасы, қысқартылған октаэдрді екі жазықтықпен, олар оның екі параллель қабырғалар отбасын тік бұрышпен кесіп, төрт конгруэнтті бөлікке бөлу арқылы алынады – бұл кеңістікті толтыратын көпбұрыш. Жалпы алғанда, егер политоп ассоциаэдронның дуалы болса, оның шекарасы (үшбұрыштардың, тетраэдрлердің немесе жоғары өлшемді симплекстердің симпликалық кешені) «кластерлік кешен» деп аталады. Үштік үшбұрышты призма жағдайында, ол Динкин диаграммасымен, түбірлік жүйемен және кластерлік алгебрамен байланысты кластерлік кешеннің түрі болып табылады. Ассоциаэдронмен байланыс үштік үшбұрышты призманың тоғыз төбесі мен алтыбұрыштың тоғыз диагоналі арасындағы сәйкестікті қамтамасыз етеді. Үштік үшбұрышты призманың қабырғалары қиылыспайтын диагональдар жұптарына сәйкес келеді, ал үштік үшбұрышты призманың үшбұрышты беттері алтыбұрыштың үшбұрышталмасына сәйкес келеді (үш қиылыспайтын диагональдан тұрады). Басқа тұрақты көпбұрыштардың үшбұрышталмасы да политоптарға сәйкес келеді, олардың өлшемдері көпбұрыштың қабырғаларының санынан үш кем.
The dual polyhedron of the triaugmented triangular prism has a face for each vertex of the triaugmented triangular prism, and a vertex for each face. It is an enneahedron (that is, a nine sided polyhedron) that can be realized with three non adjacent square faces, and six more faces that are congruent irregular pentagons. It is also known as an order 5 associahedron, a polyhedron whose vertices represent the 14 triangulations of a regular hexagon. A less symmetric form of this dual polyhedron, obtained by slicing a truncated octahedron into four congruent quarters by two planes that perpendicularly bisect two parallel families of its edges, is a space filling polyhedron. More generally, when a polytope is the dual of an associahedron, its boundary (a simplicial complex of triangles, tetrahedra, or higher dimensional simplices) is called a "cluster complex". In the case of the triaugmented triangular prism, it is a cluster complex of type , associated with the Dynkin diagram , the root system, and the cluster algebra. The connection with the associahedron provides a correspondence between the nine vertices of the triaugmented triangular prism and the nine diagonals of a hexagon. The edges of the triaugmented triangular prism correspond to pairs of diagonals that do not cross, and the triangular faces of the triaugmented triangular prism correspond to the triangulations of the hexagon (consisting of three non crossing diagonals). The triangulations of other regular polygons correspond to polytopes in the same way, with dimension equal to the number of sides of the polygon minus three.
Қолданбалар
Химиялық қосылыстардың геометриясында орталық атомды қоршаған атомдар кластерін көпжақ ретінде бейнелеу қалыпты жағдай. Трикаптал тригональды призмалық молекулалық геометрия – бұл көпжақ үшбұрышты призмаға үшбұрыш қосылған кластерлерді сипаттайды, бірақ оның жақтары міндетті түрде теңқабырлы болуы керек емес. Мысалы, лантанумнан диспрозийге дейінгі лантаноидтар суда еріп, тоғыз су молекуласымен қоршалған катиондарды құрайды, олар үшбұрышты призмаға үшбұрыш қосылған түрінде орналасқан. Томсон мәселесінде, шар бетіндегі зарядталған бөлшектердің ең төмен энергиялық конфигурациясы туралы, ал Тамм мәселесінде нүктелер арасындағы ең кіші қашықтықты максималдайтын шарлық кодты құрудағы ең аз белгілі шешім нүктелерді шарға сызылған, теңқабырлы емес жақтары бар үшбұрышты призманың төбелеріне орналастырады. Бұл конфигурация Тамм мәселесі үшін ең оңтайлы екені дәлелденді, бірақ Томсон мәселесінің осы түріне қатаң шешім әлі белгісіз.
In the geometry of chemical compounds, it is common to visualize an atom cluster surrounding a central atom as a polyhedron—the convex hull of the surrounding atoms' locations. The tricapped trigonal prismatic molecular geometry describes clusters for which this polyhedron is a triaugmented triangular prism, although not necessarily one with equilateral triangle faces. For example, the lanthanides from lanthanum to dysprosium dissolve in water to form cations surrounded by nine water molecules arranged as a triaugmented triangular prism. In the Thomson problem, concerning the minimum energy configuration of charged particles on a sphere, and for the Tammes problem of constructing a spherical code maximizing the smallest distance among the points, the minimum solution known for places the points at the vertices of a triaugmented triangular prism with non equilateral faces, inscribed in a sphere. This configuration is proven optimal for the Tammes problem, but a rigorous solution to this instance of the Thomson problem is not known.