Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Выпуклый многогранник с 14 треугольными гранями.
Convex polyhedron with 14 triangle faces
Триаугментированная треугольная призма — это в геометрии выпуклый многогранник, все 14 граней которого являются равносторонними треугольниками. Её можно построить из треугольной призмы, прикрепив к каждой из её трёх квадратных граней равносторонние квадратные пирамиды. Эта же форма также называется тетракис-треугольной призмой, трикаппированной тригональной призмой, тетракаидекадельтаэдром или тетракаидекаэдром; последние названия означают многогранник с 14 треугольными гранями. Это пример дельтаэдра и тела Джонсона. Рёбра и вершины триаугментированной треугольной призмы образуют максимальный планарный граф с 9 вершинами и 21 ребром, называемый графом Фрича. Рудольф и Герда Фрич использовали его, чтобы показать ошибочность попытки доказательства теоремы о четырёх красках, предпринятой Альфредом Кемпе. Граф Фрича — один из всего шести графов, в которых каждая окрестность является циклом из 4 или 5 вершин. Двойственный многогранник триаугментированной треугольной призмы — ассоциаэдр, многогранник с четырьмя четырёхугольными гранями и шестью пятиугольниками, вершины которого соответствуют 14 триангуляциям правильного шестиугольника. Аналогично, девять вершин триаугментированной треугольной призмы представляют девять диагоналей шестиугольника, при этом две вершины соединены ребром, когда соответствующие диагонали не пересекаются. Другие применения триаугментированной треугольной призмы встречаются в химии в качестве основы для трикаппированной тригональной призматической молекулярной геометрии, а также в математической оптимизации как решение проблемы Томсона и проблемы Таммеса.
The triaugmented triangular prism, in geometry, is a convex polyhedron with 14 equilateral triangles as its faces. It can be constructed from a triangular prism by attaching equilateral square pyramids to each of its three square faces. The same shape is also called the tetrakis triangular prism, tricapped trigonal prism, tetracaidecadeltahedron, or tetrakaidecadeltahedron; these last names mean a polyhedron with 14 triangular faces. It is an example of a deltahedron and of a Johnson solid. The edges and vertices of the triaugmented triangular prism form a maximal planar graph with 9 vertices and 21 edges, called the Fritsch graph. It was used by Rudolf and Gerda Fritsch to show that Alfred Kempe's attempted proof of the four color theorem was incorrect. The Fritsch graph is one of only six graphs in which every neighborhood is a 4 or 5 vertex cycle. The dual polyhedron of the triaugmented triangular prism is an associahedron, a polyhedron with four quadrilateral faces and six pentagons whose vertices represent the 14 triangulations of a regular hexagon. In the same way, the nine vertices of the triaugmented triangular prism represent the nine diagonals of a hexagon, with two vertices connected by an edge when the corresponding two diagonals do not cross. Other applications of the triaugmented triangular prism appear in chemistry as the basis for the tricapped trigonal prismatic molecular geometry, and in mathematical optimization as a solution to the Thomson problem and Tammes problem.
График Фрича
Граф триаугментированной треугольной призмы имеет 9 вершин и 21 ребро. Он был использован в качестве небольшого контрпримера к ошибочному доказательству теоремы о четырёх красках Альфреда Кемпе, основанному на цепях Кемпе, а его двойственный граф был использован в качестве иллюстрации на обложке их книги. Поэтому этот граф впоследствии был назван графом Фрича. Ещё меньший контрпример, называемый графом Сойфера, получается удалением одного ребра из графа Фрича (нижнего ребра на иллюстрации). Граф Фрича — один из всего шести связных графов, в которых окрестность каждой вершины является циклом длины четыре или пять. В более общем случае, если в графе для каждой вершины окрестность представляет собой цикл длины не менее четырёх, то треугольники графа автоматически объединяются, образуя топологическую поверхность, называемую триангуляцией Уитни. Эти шесть графов происходят из шести триангуляций Уитни, которые, при условии, что их треугольники равносторонние, имеют положительный угловой дефект в каждой вершине. Это делает их комбинаторным аналогом гладких поверхностей с положительной кривизной. Они происходят из шести из восьми дельтаэдров, исключая два, имеющих вершину с треугольной окрестностью. Помимо графа Фрича, остальные пять — это графы правильного октаэдра, правильного икосаэдра, пентагональной бипирамиды, усечённого дисфеноида и гироудлинённой квадратной бипирамиды.
The graph of the triaugmented triangular prism has 9 vertices and 21 edges. It was used by as a small counterexample to Alfred Kempe's false proof of the four color theorem using Kempe chains, and its dual map was used as their book's cover illustration. Therefore, this graph has subsequently been named the Fritsch graph. An even smaller counterexample, called the Soifer graph, is obtained by removing one edge from the Fritsch graph (the bottom edge in the illustration here). The Fritsch graph is one of only six connected graphs in which the neighborhood of every vertex is a cycle of length four or five. More generally, when every vertex in a graph has a cycle of length at least four as its neighborhood, the triangles of the graph automatically link up to form a topological surface called a Whitney triangulation. These six graphs come from the six Whitney triangulations that, when their triangles are equilateral, have positive angular defect at every vertex. This makes them a combinatorial analogue of the positively curved smooth surfaces. They come from six of the eight deltahedra—excluding the two that have a vertex with a triangular neighborhood. As well as the Fritsch graph, the other five are the graphs of the regular octahedron, regular icosahedron, pentagonal bipyramid, snub disphenoid, and gyroelongated square bipyramid.
Двойной ассоциаэдр
Двойной полиэдр триаугментированной треугольной призмы имеет грань для каждой вершины триаугментированной треугольной призмы и вершину для каждой грани. Это энеаэдр (то есть девятигранный полиэдр), который может быть реализован тремя несмежными квадратными гранями и шестью дополнительными гранями, являющимися конгруэнтными неправильными пятиугольниками. Он также известен как ассоциаэдр 5-го порядка, полиэдр, вершины которого представляют 14 триангуляций правильного шестиугольника. Менее симметричная форма этого двойного полиэдра, полученная путем разрезания усечённого октаэдра на четыре конгруэнтные четверти двумя плоскостями, перпендикулярно делящими две параллельные семьи его рёбер, является пространственно-заполняющим полиэдром. В более общем смысле, когда политоп является двойственным ассоциаэдру, его граница (опростительный комплекс треугольников, тетраэдров или более высокомерных симплексов) называется "кластерным комплексом". В случае триаугментированной треугольной призмы, это кластерный комплекс типа , связанный с диаграммой Динкина , корневой системой и кластерной алгеброй. Связь с ассоциаэдромом обеспечивает соответствие между девятью вершинами триаугментированной треугольной призмы и девятью диагоналями шестиугольника. Рёбра триаугментированной треугольной призмы соответствуют парам диагоналей, которые не пересекаются, а треугольные грани триаугментированной треугольной призмы соответствуют триангуляциям шестиугольника (состоящим из трёх непересекающихся диагоналей). Триангуляции других правильных многоугольников соответствуют политопам аналогичным образом, с размерностью, равной количеству сторон многоугольника минус три.
The dual polyhedron of the triaugmented triangular prism has a face for each vertex of the triaugmented triangular prism, and a vertex for each face. It is an enneahedron (that is, a nine sided polyhedron) that can be realized with three non adjacent square faces, and six more faces that are congruent irregular pentagons. It is also known as an order 5 associahedron, a polyhedron whose vertices represent the 14 triangulations of a regular hexagon. A less symmetric form of this dual polyhedron, obtained by slicing a truncated octahedron into four congruent quarters by two planes that perpendicularly bisect two parallel families of its edges, is a space filling polyhedron. More generally, when a polytope is the dual of an associahedron, its boundary (a simplicial complex of triangles, tetrahedra, or higher dimensional simplices) is called a "cluster complex". In the case of the triaugmented triangular prism, it is a cluster complex of type , associated with the Dynkin diagram , the root system, and the cluster algebra. The connection with the associahedron provides a correspondence between the nine vertices of the triaugmented triangular prism and the nine diagonals of a hexagon. The edges of the triaugmented triangular prism correspond to pairs of diagonals that do not cross, and the triangular faces of the triaugmented triangular prism correspond to the triangulations of the hexagon (consisting of three non crossing diagonals). The triangulations of other regular polygons correspond to polytopes in the same way, with dimension equal to the number of sides of the polygon minus three.
Приложения
В геометрии химических соединений принято визуализировать скопление атомов вокруг центрального атома в виде многогранника – выпуклой оболочки, определяемой положениями окружающих атомов. Трикапная тригональная призматическая молекулярная геометрия описывает скопления, для которых этот многогранник представляет собой триаугментированную треугольную призму, хотя и не обязательно с равносторонними гранями. Например, лантаноиды от лантана до диспрозия растворяются в воде, образуя катионы, окруженные девятью молекулами воды, расположенными в виде триаугментированной треугольной призмы. В задаче Томсона, касающейся конфигурации с минимальной энергией заряженных частиц на сфере, и в задаче Таммеса о построении сферического кода, максимизирующего минимальное расстояние между точками, известное минимальное решение располагает точки в вершинах триаугментированной треугольной призмы с неравносторонними гранями, вписанной в сферу. Эта конфигурация доказана как оптимальная для задачи Таммеса, однако строгое решение для данной постановки задачи Томсона неизвестно.
In the geometry of chemical compounds, it is common to visualize an atom cluster surrounding a central atom as a polyhedron—the convex hull of the surrounding atoms' locations. The tricapped trigonal prismatic molecular geometry describes clusters for which this polyhedron is a triaugmented triangular prism, although not necessarily one with equilateral triangle faces. For example, the lanthanides from lanthanum to dysprosium dissolve in water to form cations surrounded by nine water molecules arranged as a triaugmented triangular prism. In the Thomson problem, concerning the minimum energy configuration of charged particles on a sphere, and for the Tammes problem of constructing a spherical code maximizing the smallest distance among the points, the minimum solution known for places the points at the vertices of a triaugmented triangular prism with non equilateral faces, inscribed in a sphere. This configuration is proven optimal for the Tammes problem, but a rigorous solution to this instance of the Thomson problem is not known.