Кіріспе
Геометрияда бесбұрышты бипирамида (немесе бесбұрышты дипирамида) – 10 үшбұрышты жағы бар көпжақ. Ол екі бесбұрышты пирамиданы олардың әрқайсысының табанынан біріктіру арқылы құрастырылады. Егер үшбұрышты жақтары теңқабырлы болса, бесбұрышты бипирамида дельтаэдр және Джонсон қатты денелерінің мысалы болып табылады. Бесбұрышты бипирамида 4 байланысқан, жақсы жабылған граф ретінде бейнеленуі мүмкін. Бұл көпжақ химиялық қосылыстарда пентагональды бипирамидалық молекулалық геометрия деп аталатын атомдар кластерін сипаттау үшін қолданылуы мүмкін.
In geometry, the pentagonal bipyramid (or pentagonal dipyramid) is a polyhedron with 10 triangular faces. It is constructed by attaching two pentagonal pyramids to each of their bases. If the triangular faces are equilateral, the pentagonal bipyramid is an example of deltahedra, and of Johnson solid. The pentagonal bipyramid may be represented as 4 connected well covered graph. This polyhedron may be used in the chemical compound as the description of an atom cluster known as pentagonal bipyramidal molecular geometry.
Құрылыс
Басқа бипирамидалар сияқты, бесбұрышты бипирамида екі бесбұрышты пирамиданың табанын біріктіру арқылы салынуы мүмкін. Бұл пирамидалар бесбұрышты табанын жауып, нәтижесінде пайда болған көпжақтың 10 үшбұрыштан тұратын қырлары, 15 қабырғасы және 7 төбесі болады. Егер пирамидалар симметриялы түрде дұрыс болса және олардың екі төбесі де табанының ортасынан өтетін түзуде орналасқан болса, онда бесбұрышты бипирамида дұрыс деп аталады; әйтпесе, ол көлбеу болады. Егер пирамидалар дұрыс болса, онда үшбұрышты бипирамиданың барлық қабырғалары тең ұзындықта болады, осылайша қырларын теңқабырғалы үшбұрыштар құрайды. Тек теңқабырғалы үшбұрыштардан тұратын қырлары бар көпжақты дельтаэдр деп атайды. Барлық дерлік дөңес дельтаэдрлердің саны сегіз, олардың бірі – дұрыс қырлары бар бесбұрышты бипирамида. Көбінесе, барлық қырлары дұрыс болатын дөңес көпжақты Джонсон денесі деп атайды, ал әрбір дөңес дельтаэдр – Джонсон денесінің бір түрі. Дұрыс қырлары бар бесбұрышты бипирамида Джонсон денелерінің тізімінде он үшінші ретпен нөмірленген.
Қасиеттері
Бесбұрышты бипирамиданың бетінің ауданы барлық үшбұрыштардың ауданынан 10 есе артық. Қабырғасының ұзындығы белгілі болған жағдайда, оның бетінің ауданы:
Its volume can be calculated by slicing it into two pentagonal pyramids and adding their volume. In the case of edge length , this is:
The pentagonal bipyramid has three dimensional symmetry group of dihedral group of order 20: the appearance is symmetrical by rotating around the axis of symmetry that passing through apices and base's center vertically, and it has mirror symmetry relative to any bisector of the base; it is also symmetrical by reflecting it across a horizontal plane. The dihedral angle of a pentagonal bipyramid with regular faces can be calculated by adding the angle of pentagonal pyramids. The dihedral angle of a pentagonal pyramid between two adjacent triangles is approximately , and that between the triangular face and the base is Therefore, the dihedral angle of a pentagonal pyramid with regular faces between two adjacent triangular faces, on the edge where two pyramids are attached, is
The pentagonal dipyramid is 4 connected, meaning that it takes the removal of four vertices to disconnect the remaining vertices. It is one of only four 4 connected simplicial well covered polyhedra, meaning that all of the maximal independent sets of its vertices have the same size. The other three polyhedra with this property are the regular octahedron, the snub disphenoid, and an irregular polyhedron with 12 vertices and 20 triangular faces. The dual polyhedron of a pentagonal bipyramid is the pentagonal prism. This prism has 7 faces: 2 pentagonal faces are the base, and the rest are 5 rectangular faces. More generally, the dual polyhedron of every bipyramid is the prism.
Оның көлемін екі бесбұрышты пирамидаға бөліп, олардың көлемдерін қосу арқылы есептеуге болады. Қабырғасының ұзындығы белгілі болған жағдайда, көлемі:
Its volume can be calculated by slicing it into two pentagonal pyramids and adding their volume. In the case of edge length , this is:
The pentagonal bipyramid has three dimensional symmetry group of dihedral group of order 20: the appearance is symmetrical by rotating around the axis of symmetry that passing through apices and base's center vertically, and it has mirror symmetry relative to any bisector of the base; it is also symmetrical by reflecting it across a horizontal plane. The dihedral angle of a pentagonal bipyramid with regular faces can be calculated by adding the angle of pentagonal pyramids. The dihedral angle of a pentagonal pyramid between two adjacent triangles is approximately , and that between the triangular face and the base is Therefore, the dihedral angle of a pentagonal pyramid with regular faces between two adjacent triangular faces, on the edge where two pyramids are attached, is
The pentagonal dipyramid is 4 connected, meaning that it takes the removal of four vertices to disconnect the remaining vertices. It is one of only four 4 connected simplicial well covered polyhedra, meaning that all of the maximal independent sets of its vertices have the same size. The other three polyhedra with this property are the regular octahedron, the snub disphenoid, and an irregular polyhedron with 12 vertices and 20 triangular faces. The dual polyhedron of a pentagonal bipyramid is the pentagonal prism. This prism has 7 faces: 2 pentagonal faces are the base, and the rest are 5 rectangular faces. More generally, the dual polyhedron of every bipyramid is the prism.
Бесбұрышты бипирамиданың үш өлшемді симметрия тобы 20 ретті диэдрлік топ болып табылады: оның түрі вертикаль бойынша төбелері мен негізінің ортасынан өтетін симметрия осінде айналу арқылы симметриялы, сонымен қатар негіздің кез келген биссектрисіне қатысты көздерің симметриясы бар; оны көлденең жазықтықтағы бейнелеу арқылы да симметриялы етуге болады. Тұрақты беттері бар бесбұрышты бипирамиданың диэдр бұрышын бесбұрышты пирамидалардың бұрыштарын қосу арқылы есептеуге болады. Бесбұрышты пирамиданың екі іргелес үшбұрыш арасындағы диэдр бұрышы шамамен 0,3 радианға тең, ал үшбұрышты бет пен негіз арасындағы диэдр бұрышы шамамен 0,3 радианға тең. Сондықтан, екі пирамида қосылған жиектегі екі іргелес үшбұрышты бет арасындағы тұрақты беттері бар бесбұрышты пирамиданың диэдр бұрышы құрайды.
Its volume can be calculated by slicing it into two pentagonal pyramids and adding their volume. In the case of edge length , this is:
The pentagonal bipyramid has three dimensional symmetry group of dihedral group of order 20: the appearance is symmetrical by rotating around the axis of symmetry that passing through apices and base's center vertically, and it has mirror symmetry relative to any bisector of the base; it is also symmetrical by reflecting it across a horizontal plane. The dihedral angle of a pentagonal bipyramid with regular faces can be calculated by adding the angle of pentagonal pyramids. The dihedral angle of a pentagonal pyramid between two adjacent triangles is approximately , and that between the triangular face and the base is Therefore, the dihedral angle of a pentagonal pyramid with regular faces between two adjacent triangular faces, on the edge where two pyramids are attached, is
The pentagonal dipyramid is 4 connected, meaning that it takes the removal of four vertices to disconnect the remaining vertices. It is one of only four 4 connected simplicial well covered polyhedra, meaning that all of the maximal independent sets of its vertices have the same size. The other three polyhedra with this property are the regular octahedron, the snub disphenoid, and an irregular polyhedron with 12 vertices and 20 triangular faces. The dual polyhedron of a pentagonal bipyramid is the pentagonal prism. This prism has 7 faces: 2 pentagonal faces are the base, and the rest are 5 rectangular faces. More generally, the dual polyhedron of every bipyramid is the prism.
Бесбұрышты дипирамида 4-қосылған, яғни қалған төбелерді ажырату үшін төрт төбеден айыру қажет. Бұл 4-қосылған, жақсы жабылған, қарапайым полиэдрлердің бірі, яғни оның барлық максималды тәуелсіз жиындарының мөлшері бірдей. Бұл қасиетке ие тағы үш полиэдр – тұрақты октаэдр, сүйкімді дисфеноид және 12 төбесі мен 20 үшбұрышты беті бар ретсіз полиэдр. Бесбұрышты бипирамиданың дуалды полиэдрі бесбұрышты призма болып табылады. Бұл призманың 7 беті бар: 2 бесбұрышты бет негіз болып табылады, ал қалған 5 беті тіктөртбұрышты болып табылады. Жалпы алғанда, кез келген бипирамиданың дуалды полиэдрі – призма.
Its volume can be calculated by slicing it into two pentagonal pyramids and adding their volume. In the case of edge length , this is:
The pentagonal bipyramid has three dimensional symmetry group of dihedral group of order 20: the appearance is symmetrical by rotating around the axis of symmetry that passing through apices and base's center vertically, and it has mirror symmetry relative to any bisector of the base; it is also symmetrical by reflecting it across a horizontal plane. The dihedral angle of a pentagonal bipyramid with regular faces can be calculated by adding the angle of pentagonal pyramids. The dihedral angle of a pentagonal pyramid between two adjacent triangles is approximately , and that between the triangular face and the base is Therefore, the dihedral angle of a pentagonal pyramid with regular faces between two adjacent triangular faces, on the edge where two pyramids are attached, is
The pentagonal dipyramid is 4 connected, meaning that it takes the removal of four vertices to disconnect the remaining vertices. It is one of only four 4 connected simplicial well covered polyhedra, meaning that all of the maximal independent sets of its vertices have the same size. The other three polyhedra with this property are the regular octahedron, the snub disphenoid, and an irregular polyhedron with 12 vertices and 20 triangular faces. The dual polyhedron of a pentagonal bipyramid is the pentagonal prism. This prism has 7 faces: 2 pentagonal faces are the base, and the rest are 5 rectangular faces. More generally, the dual polyhedron of every bipyramid is the prism.
Қолданбалар
Химиялық қосылыстардың геометриясында бесбұрышты бипирамида атомды қоршап тұрған атомдық кластер ретінде қолданылуы мүмкін. Пентагональды бипирамидалық молекулалық геометрия осы көпжақтың бесбұрышты бипирамида болатын кластерлерді сипаттайды. Газ фазасындағы йод гептафториді мұндай кластердің мысалы. Бесбұрышты бипирамидалар және оған байланысты бес есе қайталамалы пішіндер декаэдрлі нанобөлшектерде кездеседі, олар минералогияда циклдік егіздер деп аталатын макроскопиялық өлшемде де болуы мүмкін.