Введение
Две пятиугольные пирамиды, соединенные основаниями. В геометрии пятиугольная бипирамида (или пятиугольная дипирамида) — это многогранник с 10 треугольными гранями. Она образуется путем соединения двух пятиугольных пирамид по их основаниям. Если треугольные грани являются равносторонними, то пятиугольная бипирамида является примером дельтаэдра и многогранника Джонсона. Пятиугольная бипирамида может быть представлена в виде 4 связного хорошо покрытого графа. Этот многогранник может использоваться в химии для описания атомного кластера, известного как пятиугольно-бипирамидальная молекулярная геометрия.
In geometry, the pentagonal bipyramid (or pentagonal dipyramid) is a polyhedron with 10 triangular faces. It is constructed by attaching two pentagonal pyramids to each of their bases. If the triangular faces are equilateral, the pentagonal bipyramid is an example of deltahedra, and of Johnson solid. The pentagonal bipyramid may be represented as 4 connected well covered graph. This polyhedron may be used in the chemical compound as the description of an atom cluster known as pentagonal bipyramidal molecular geometry.
Строительство
Как и другие бипирамиды, пятиугольная бипирамида может быть построена путём соединения оснований двух пятиугольных пирамид. Эти пирамиды накрывают свои пятиугольные основания, в результате чего получается полиэдр с 10 треугольными гранями, 15 рёбрами и 7 вершинами. Пятиугольная бипирамида считается правильной, если обе пирамиды симметричны и их вершины лежат на прямой, проходящей через центр основания; в противном случае она является наклонной. Если пирамиды правильные, то все рёбра бипирамиды равны по длине, образуя равносторонние треугольные грани. Многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками, называется дельтаэдром. Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, одним из которых является пятиугольная бипирамида с правильными гранями. В более общем смысле, выпуклый многогранник, у которого все грани правильные, называется телом Джонсона, и любой выпуклый дельтаэдр является телом Джонсона. Пятиугольная бипирамида с правильными гранями входит в список тел Джонсона под номером J13, как тринадцатое тело Джонсона.
Свойства
Площадь поверхности пятиугольной бипирамиды в 10 раз больше суммарной площади всех её треугольников. В случае длины ребра *a*, её площадь поверхности равна:
Its volume can be calculated by slicing it into two pentagonal pyramids and adding their volume. In the case of edge length , this is:
The pentagonal bipyramid has three dimensional symmetry group of dihedral group of order 20: the appearance is symmetrical by rotating around the axis of symmetry that passing through apices and base's center vertically, and it has mirror symmetry relative to any bisector of the base; it is also symmetrical by reflecting it across a horizontal plane. The dihedral angle of a pentagonal bipyramid with regular faces can be calculated by adding the angle of pentagonal pyramids. The dihedral angle of a pentagonal pyramid between two adjacent triangles is approximately , and that between the triangular face and the base is Therefore, the dihedral angle of a pentagonal pyramid with regular faces between two adjacent triangular faces, on the edge where two pyramids are attached, is
The pentagonal dipyramid is 4 connected, meaning that it takes the removal of four vertices to disconnect the remaining vertices. It is one of only four 4 connected simplicial well covered polyhedra, meaning that all of the maximal independent sets of its vertices have the same size. The other three polyhedra with this property are the regular octahedron, the snub disphenoid, and an irregular polyhedron with 12 vertices and 20 triangular faces. The dual polyhedron of a pentagonal bipyramid is the pentagonal prism. This prism has 7 faces: 2 pentagonal faces are the base, and the rest are 5 rectangular faces. More generally, the dual polyhedron of every bipyramid is the prism.
Её объём можно вычислить, разбив её на две пятиугольные пирамиды и сложив их объёмы. В случае длины ребра *a*, это:
Its volume can be calculated by slicing it into two pentagonal pyramids and adding their volume. In the case of edge length , this is:
The pentagonal bipyramid has three dimensional symmetry group of dihedral group of order 20: the appearance is symmetrical by rotating around the axis of symmetry that passing through apices and base's center vertically, and it has mirror symmetry relative to any bisector of the base; it is also symmetrical by reflecting it across a horizontal plane. The dihedral angle of a pentagonal bipyramid with regular faces can be calculated by adding the angle of pentagonal pyramids. The dihedral angle of a pentagonal pyramid between two adjacent triangles is approximately , and that between the triangular face and the base is Therefore, the dihedral angle of a pentagonal pyramid with regular faces between two adjacent triangular faces, on the edge where two pyramids are attached, is
The pentagonal dipyramid is 4 connected, meaning that it takes the removal of four vertices to disconnect the remaining vertices. It is one of only four 4 connected simplicial well covered polyhedra, meaning that all of the maximal independent sets of its vertices have the same size. The other three polyhedra with this property are the regular octahedron, the snub disphenoid, and an irregular polyhedron with 12 vertices and 20 triangular faces. The dual polyhedron of a pentagonal bipyramid is the pentagonal prism. This prism has 7 faces: 2 pentagonal faces are the base, and the rest are 5 rectangular faces. More generally, the dual polyhedron of every bipyramid is the prism.
Пятиугольная бипирамида обладает трёхмерной группой симметрии диэдрической группы порядка 20: её внешний вид симметричен при вращении вокруг оси симметрии, проходящей через вершины и центр основания вертикально, и она имеет зеркальную симметрию относительно любого биссектора основания; она также симметрична при отражении относительно горизонтальной плоскости. Диэдрический угол пятиугольной бипирамиды с правильными гранями можно вычислить, сложив углы пятиугольных пирамид. Диэдрический угол пятиугольной пирамиды между двумя смежными треугольниками приблизительно равен , а между треугольной гранью и основанием – . Следовательно, диэдрический угол пятиугольной пирамиды с правильными гранями между двумя смежными треугольными гранями, на ребре, где прикреплены две пирамиды, равен .
Its volume can be calculated by slicing it into two pentagonal pyramids and adding their volume. In the case of edge length , this is:
The pentagonal bipyramid has three dimensional symmetry group of dihedral group of order 20: the appearance is symmetrical by rotating around the axis of symmetry that passing through apices and base's center vertically, and it has mirror symmetry relative to any bisector of the base; it is also symmetrical by reflecting it across a horizontal plane. The dihedral angle of a pentagonal bipyramid with regular faces can be calculated by adding the angle of pentagonal pyramids. The dihedral angle of a pentagonal pyramid between two adjacent triangles is approximately , and that between the triangular face and the base is Therefore, the dihedral angle of a pentagonal pyramid with regular faces between two adjacent triangular faces, on the edge where two pyramids are attached, is
The pentagonal dipyramid is 4 connected, meaning that it takes the removal of four vertices to disconnect the remaining vertices. It is one of only four 4 connected simplicial well covered polyhedra, meaning that all of the maximal independent sets of its vertices have the same size. The other three polyhedra with this property are the regular octahedron, the snub disphenoid, and an irregular polyhedron with 12 vertices and 20 triangular faces. The dual polyhedron of a pentagonal bipyramid is the pentagonal prism. This prism has 7 faces: 2 pentagonal faces are the base, and the rest are 5 rectangular faces. More generally, the dual polyhedron of every bipyramid is the prism.
Пятиугольная бипирамида является 4-связной, то есть для разъединения оставшихся вершин требуется удалить четыре вершины. Это один из всего четырёх 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Другими тремя многогранниками с этим свойством являются правильный октаэдр, усечённый дисфеноид и нерегулярный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. Двойственный многогранник пятиугольной бипирамиды – пятиугольная призма. Эта призма имеет 7 граней: 2 пятиугольные грани являются основаниями, а остальные 5 – прямоугольные грани. В более общем смысле, двойственный многогранник любой бипирамиды является призмой.
Its volume can be calculated by slicing it into two pentagonal pyramids and adding their volume. In the case of edge length , this is:
The pentagonal bipyramid has three dimensional symmetry group of dihedral group of order 20: the appearance is symmetrical by rotating around the axis of symmetry that passing through apices and base's center vertically, and it has mirror symmetry relative to any bisector of the base; it is also symmetrical by reflecting it across a horizontal plane. The dihedral angle of a pentagonal bipyramid with regular faces can be calculated by adding the angle of pentagonal pyramids. The dihedral angle of a pentagonal pyramid between two adjacent triangles is approximately , and that between the triangular face and the base is Therefore, the dihedral angle of a pentagonal pyramid with regular faces between two adjacent triangular faces, on the edge where two pyramids are attached, is
The pentagonal dipyramid is 4 connected, meaning that it takes the removal of four vertices to disconnect the remaining vertices. It is one of only four 4 connected simplicial well covered polyhedra, meaning that all of the maximal independent sets of its vertices have the same size. The other three polyhedra with this property are the regular octahedron, the snub disphenoid, and an irregular polyhedron with 12 vertices and 20 triangular faces. The dual polyhedron of a pentagonal bipyramid is the pentagonal prism. This prism has 7 faces: 2 pentagonal faces are the base, and the rest are 5 rectangular faces. More generally, the dual polyhedron of every bipyramid is the prism.
Приложения
В геометрии химических соединений пятиугольная бипирамида может использоваться как атомный кластер, окружающий атом. Пятиугольная бипирамидальная молекулярная геометрия описывает кластеры, для которых данная структура имеет форму пятиугольной бипирамиды. Примером такого кластера является гептафторид йода в газовой фазе. Пятиугольные бипирамиды и связанные с ними пятичленные структуры встречаются в декаэдрических наночастицах, которые также могут достигать макроскопических размеров и в минералогии называться пятичленными циклическими двойниками.