Кіріспе
Математикада, әсіресе категориялар теориясында, преаддитивті категория – бұл Ab категориясының тағы бір атауы, яғни абельдік топтар санаты, Ab санатымен байытылған категория. Яғни, Ab категориясы C – бұл C-дегі әрбір гоможинақ Hom(A, B) абельдік топ құрылымына ие, ал морфизмдердің композициясы топтық операция бойынша таралатындай билинейр болады. Формулалармен көрсетсек:
In mathematics, specifically in category theory, a preadditive category is
another name for an Ab category, i. e., a category that is enriched over the category of abelian groups, Ab. That is, an Ab category C is a category such that
every hom set Hom(A,B) in C has the structure of an abelian group, and composition of morphisms is bilinear, in the sense that composition of morphisms distributes over the group operation. In formulas:
and
where + is the group operation. Some authors have used the term additive category for preadditive categories, but here we follow the current trend of reserving this term for certain special preadditive categories (see below).
және мұнда + – топтық операция. Кейбір авторлар преаддитивті категориялар үшін "қосымша категория" терминін қолданған, бірақ біз осы терминді нақты белгілі бір преаддитивті категориялар үшін сақтап қалудың қазіргі бағылымын ұстанамыз (төменде қараңыз).
In mathematics, specifically in category theory, a preadditive category is
another name for an Ab category, i. e., a category that is enriched over the category of abelian groups, Ab. That is, an Ab category C is a category such that
every hom set Hom(A,B) in C has the structure of an abelian group, and composition of morphisms is bilinear, in the sense that composition of morphisms distributes over the group operation. In formulas:
and
where + is the group operation. Some authors have used the term additive category for preadditive categories, but here we follow the current trend of reserving this term for certain special preadditive categories (see below).
Элементарлық қасиеттері
Өйткені әрбір Hom(A,B) жиыны абельдік топ болғандықтан, оның нөлдік элементі 0 болады. Бұл A-дан B-ға дейінгі нөлдік морфизм. Морфизмдердің құрамы екі сызықты болғандықтан, нөлдік морфизм мен кез келген басқа морфизмнің (қай жағынан болса да) құрамы басқа нөлдік морфизм болуы керек. Егер құрастыруды көбейтумен салыстырсақ, онда бұл нөлге көбейту әрқашан нөлдік көбейтуді береді, бұл таныс түсінік. Осы салыстыруды кеңейте келе, құрастырудың жалпы алғанда екі сызықты болуы көбейтудің қосуға қатысты үлестірілу қасиетімен байланысты. Бір ғана A объектісін қарастыратын преаддитивтік санатта, бұл фактілер Hom(A,A) жиынының құрастыруды көбейту ретінде анықтасақ, сақина болатынын көрсетеді. Бұл сақина A-ның эндоморфизм сақинасы болып табылады. Керісінше, әрбір сақина (толықтығымен) кейбір преаддитивтік санаттағы кейбір объектінің эндоморфизм сақинасы болып табылады. Шындығында, R сақинасы берілген жағдайда, біз R преаддитивтік санатын бір ғана A объектісі бар деп анықтай аламыз, Hom(A,A) сақинасы R болсын, ал құрастыру сақина көбейтуі болсын. R абельдік топ болғандықтан және сақинадағы көбейту екі сызықты (үлестірілу) болғандықтан, бұл R-ді преаддитивтік санатқа айналдырады. Санат теориясындағы мамандар R сақинасы мен R санатын бір нәрсенің екі түрлі бейнесі ретінде қарастырады, сондықтан ерекше қиын санат теорияшысы сақинаны дәл бір объектісі бар преаддитивтік санат ретінде анықтауы мүмкін (моноидты тек бір объектісі бар санат ретінде қарастыруға болатын сияқты) және сақинаның қосымша құрылымын естен шығарып, моноид алады. Осылайша, преаддитивтік санаттарды сақиналардың жалпылама түрі деп қарастыруға болады. Сақиналар теориясының көптеген ұғымдары, мысалы идеалдар, Якобсон радикалдары және факторлы сақиналар осы жағдайға оңай жалпыланады. Осы жалпыламаларды жазуға тырысқанда, адам преаддитивтік санаттағы морфизмдерді «жалпыланған сақинаның» «элементтері» ретінде қарастыруы керек.
Қосымша функторлар
Егер және preadditive санаттары болса, онда функтор аддитивті болады, егер ол да санат үстінде байытылған болса. Яғни, функтор аддитивті болады, егер және тек егер, кез келген және объектілері үшін , функциясы топтық гомоморфизм болса. Preadditive санаттар арасында зерттелген көптеген функторлар аддитивті болып табылады. Мысалы, егер сақиналар және бір объектілі preadditive санаттармен және бейнеленсе, онда сақина гомоморфизмі -ден -ға аддитивті функтормен көрсетіледі, және керісінше. Егер және категориялар болса және preadditive болса, онда функторлар санаты да preadditive болады, себебі табиғи түрлендірулерді табиғи түрде қосуға болады. Егер де preadditive болса, онда аддитивті функторлар санаты және олардың арасындағы барлық табиғи түрлендірулер де preadditive болады. Бұл мысал модульдерді сақиналар бойынша жалпылауға мүмкіндік береді: Егер preadditive санаты болса, онда ол сақина бойынша модульдер санаты деп аталады. Егер сақинаға сәйкес келетін бір объектілі preadditive санаты болса, онда бұл (сол жақтанғы) модульдердің әдеттегі санатына дейін тоғады. Қайтадан, модульдер теориясының дерлік барлық ұғымдарын осы жағдайға жалпылауға болады.
- сызықтық санаттар
Жалпы алғанда, коммутативтік сақина R бойынша модульдердің моноиділдік категориясымен байытылған C категориясын қарастыруға болады, бұл R-сызықтық категориясы деп аталады. Яғни, C-дегі әрбір гоможина R модульінің құрылымына ие, ал морфизмдердің қосылуы R-билинейлі. Екі R-сызықтық категория арасындағы функторларды қарастырғанда, көбінесе R-сызықты функцияларды ғана қарастырады, яғни әрбір гоможинада R-сызықты бейнелеуді тудыратындарды.
Қосалқы өнімдер
Кез келген шекті өнім алдын ала қосымдық санатта копродукт болуы керек, және керісінше. Шындығында, алдын ала қосымдық санаттардағы шекті өнімдер мен копродукттерді келесі екі өнім шартымен сипаттауға болады: B нысаны A1, …, An нысандарының екі өнімі болып табылады, егер және тек қана егер pj: B → Aj проекциялық морфизмдері және ij: Aj → B инъекциялық морфизмдері болса, онда (i1∘p1) + … + (in∘pn) – B нысанының сәйкестік морфизмі, pj∘ij – Aj нысанының сәйкестік морфизмі, ал pjik – j және k әртүрлі болғанда Ak нысанынан Aj нысанына нөлдік морфизм болады. Бұл екі өнім көбінесе тікелей қосындының белгісін қарыз алып, A1 ⊕ … ⊕ An деп жазылады. Өйткені Ab сияқты жақсы белгілі алдын ала қосымдық санаттарда екі өнім тікелей қосынды болып табылады. Дегенмен, шексіз тікелей қосындылар кейбір санаттарда, мысалы Ab-да мағыналы болса да, шексіз екі өнімдер мағыналы емес (қараңыз). n = 0 жағдайындағы екі өнім шарты күрт түрде жеңілдейді; B нөлдік екі өнім болып табылады, егер және тек қана егер B нысанының сәйкестік морфизмі B нысанынан өзіне нөлдік морфизм болса, немесе Hom(B,B) жиыны тривиальды сақина болса. Есте сақтаңыз, нөлдік екі өнім терминалды (нөлдік өнім) және бастапқы (нөлдік копродук) болғандықтан, ол шын мәнінде нөлдік нысан болады. Шындығында, "нөлдік нысан" термині Ab сияқты алдын ала қосымдық санаттарды зерттеуде пайда болды, онда нөлдік нысан нөлдік топ болып табылады. Кез келген екі өнім бар (соның ішінде нөлдік нысан) алдын ала қосымдық санат қосымдық деп аталады. Екі өнімдер туралы қосымша мәліметтерді, негізінен қосымдық санаттар контекстінде табуға болады.
The object B is a biproduct of the objects A1, , An if and only if there are projection morphisms pj: B → Aj and injection morphisms ij: Aj → B, such that (i1∘p1) + ··· + (in∘pn) is the identity morphism of B, pj∘ij is the identity morphism of Aj, and pj∘ik is the zero morphism from Ak to Aj whenever j and k are distinct. This biproduct is often written A1 ⊕ ··· ⊕ An, borrowing the notation for the direct sum. This is because the biproduct in well known preadditive categories like Ab is the direct sum. However, although infinite direct sums make sense in some categories, like Ab, infinite biproducts do not make sense (see ). The biproduct condition in the case n = 0 simplifies drastically; B is a nullary biproduct if and only if the identity morphism of B is the zero morphism from B to itself, or equivalently if the hom set Hom(B,B) is the trivial ring. Note that because a nullary biproduct will be both terminal (a nullary product) and initial (a nullary coproduct), it will in fact be a zero object. Indeed, the term "zero object" originated in the study of preadditive categories like Ab, where the zero object is the zero group. A preadditive category in which every biproduct exists (including a zero object) is called additive. Further facts about biproducts that are mainly useful in the context of additive categories may be found under that subject.
Ерекше жағдайлар
Осы алдын ала қосымдық категориялардың көптеген ерекше жағдайлары жоғарыда айтылған, бірақ олар анықтама үшін осы жерде жинақталған. Сақина – дәл бір объектісі бар алдын ала қосымдық категория. Қосымдық категория – барлық шекті біріктірулері бар алдын ала қосымдық категория. Алдын ала абельдік категория – барлық ядролар мен коядролары бар қосымдық категория. Абельдік категория – әрбір мономорфизм және эпиморфизм қалыпты болатын алдын ала абельдік категория. Ең көп зерттелетін алдын ала қосымдық категориялар, шындығында, абельдік категориялар болып табылады; мысалы, Ab – абельдік категория.