Введение

Математическая категория, чьи гомомножества образуют абелевы группы.

В математике, в частности в теории категорий, преаддитивная категория – это другое название Ab-категории, то есть категории, обогащенной над категорией абелевых групп, Ab. Иначе говоря, Ab-категория C – это категория, в которой каждое гомомножество Hom(A, B) в C имеет структуру абелевой группы, а композиция морфизмов является билинейной, в том смысле, что композиция морфизмов дистрибутивна относительно групповой операции. В формулах:

и

где + обозначает групповую операцию. Некоторые авторы использовали термин "аддитивная категория" для преаддитивных категорий, но здесь мы придерживаемся современной тенденции резервировать этот термин для определенных специальных преаддитивных категорий (см. ниже).

Элементарные свойства

Поскольку каждое множество Hom(A,B) является абелевой группой, оно имеет нулевой элемент 0. Это нулевой морфизм из A в B. Поскольку композиция морфизмов билинейна, композиция нулевого морфизма с любым другим морфизмом (с любой стороны) должна быть другим нулевым морфизмом. Если рассматривать композицию как аналогичную умножению, то это означает, что умножение на ноль всегда дает в результате ноль, что является привычной интуицией. Развивая эту аналогию, тот факт, что композиция в общем случае билинейна, становится распределительностью умножения относительно сложения. Рассматривая единственный объект A в предаддитивной категории, эти факты говорят о том, что множество эндоморфизмов Hom(A,A) является кольцом, если определить умножение в этом кольце как композицию. Это кольцо является кольцом эндоморфизмов A. И наоборот, любое кольцо (с единицей) является кольцом эндоморфизмов некоторого объекта в некоторой предаддитивной категории. Действительно, задав кольцо R, можно определить предаддитивную категорию R, состоящую из единственного объекта A, где Hom(A,A) = R, а композиция задается умножением в кольце. Поскольку R является абелевой группой, а умножение в кольце билинейно (дистрибутивно), это делает R предаддитивной категорией. Теоретики категорий часто рассматривают кольцо R и категорию R как два различных представления одного и того же, так что особенно изощренный теоретик категорий может определить кольцо как предаддитивную категорию с ровно одним объектом (так же, как моноид можно рассматривать как категорию с единственным объектом, а отбрасывание аддитивной структуры кольца дает моноид). Таким образом, предаддитивные категории можно рассматривать как обобщение колец. Многие понятия из теории колец, такие как идеалы, радикалы Якобсона и факторкольца, можно прямо обобщить в этой постановке. При попытке записать эти обобщения следует рассматривать морфизмы в предаддитивной категории как «элементы» «обобщенного кольца».

Аддитивные функторы

Если и — преддобавительные категории, то функтор является добавительным, если он также обогащен над категорией . То есть, функтор является добавительным тогда и только тогда, когда для любых объектов и из , функция является гомоморфизмом группы. Большинство изучаемых функторов между преддобавительными категориями являются добавительными. В качестве простого примера, если кольца и представлены преддобавительными категориями с одним объектом и , то гомоморфизм колец из в представлен добавительным функтором из в , и наоборот. Если и — категории, а — преддобавительная, то категория функторов также является преддобавительной, поскольку естественные преобразования можно складывать естественным образом. Если также является преддобавительной, то категория добавительных функторов и все естественные преобразования между ними также являются преддобавительными. Последний пример приводит к обобщению модулей над кольцами: если — преддобавительная категория, то называется категорией модулей над . Когда — преддобавительная категория с одним объектом, соответствующая кольцу , это сводится к обычной категории (левых) -модулей. Снова, практически все понятия из теории модулей можно обобщить на эту ситуацию.

- линейные категории

Более общо, можно рассматривать категорию C, обогащенную над моноидной категорией модулей над коммутативным кольцом R, называемую R-линейной категорией. Иными словами, каждый гомо-набор в C имеет структуру R-модуля, а композиция морфизмов R-билинейна. При рассмотрении функторов между двумя R-линейными категориями, часто ограничиваются теми, которые являются R-линейными, то есть индуцируют R-линейные отображения на каждом гомо-наборе.

Побочные продукты

Любой конечный предел в преддобавочной категории должен также быть копределом, и наоборот. Фактически, конечные пределы и копределы в преддобавочных категориях могут быть охарактеризованы следующим условием бипродукта: Объект B является бипродуктом объектов A1, …, An тогда и только тогда, когда существуют проекционные морфизмы pj: B → Aj и инъекционные морфизмы ij: Aj → B, такие, что (i1∘p1) + … + (in∘pn) является тождественным морфизмом B, pj∘ij является тождественным морфизмом Aj, а pj∘ik является нулевым морфизмом из Ak в Aj всякий раз, когда j и k различны. Этот бипродукт часто записывается как A1 ⊕ … ⊕ An, заимствуя обозначение для прямой суммы. Это связано с тем, что бипродукт в хорошо известных преддобавочных категориях, таких как Ab, является прямой суммой. Однако, хотя бесконечные прямые суммы имеют смысл в некоторых категориях, таких как Ab, бесконечные бипродукты не имеют смысла (см.). Условие бипродукта в случае n = 0 существенно упрощается; B является нулевым бипродуктом, если и только если тождественный морфизм B является нулевым морфизмом из B в себя, или, эквивалентно, если множество гомоморфизмов Hom(B,B) является тривиальным кольцом. Обратите внимание, что поскольку нулевой бипродукт будет одновременно терминальным (нулевым пределом) и начальным (нулевым копределом), он фактически будет нулевым объектом. Действительно, термин "нулевой объект" возник в изучении преддобавочных категорий, таких как Ab, где нулевой объект является нулевой группой. Преддобавочная категория, в которой существует каждый бипродукт (включая нулевой объект), называется аддитивной. Дальнейшие факты о бипродуктах, которые в основном полезны в контексте аддитивных категорий, можно найти в соответствующем разделе.

Особые случаи

Большинство этих особых случаев преаддитивных категорий уже упоминались выше, но они собраны здесь для справки. Кольцо — это преаддитивная категория с единственным объектом. Аддитивная категория — это преаддитивная категория, обладающая всеми конечными бипроизведениями. Преабелева категория — это аддитивная категория, обладающая всеми ядрами и коядрами. Абелева категория — это преабелева категория, в которой каждый мономорфизм и эпиморфизм является нормальным. Наиболее часто изучаемые преаддитивные категории на самом деле являются абелевыми категориями; например, Ab — это абелева категория.