Инъективті гомоморфизм және мономорфизмдер

Кіріспе

Инъективті гомоморфизм – математикалық термин. Абстрактілі алгебра немесе әмбебап алгебра контекстінде мономорфизм – инъективті гомоморфизм болып табылады. X-тен Y-ге дейінгі мономорфизм көбінесе мына символда белгіленеді.

Категория теориясының жалпы жағдайында мономорфизм (сонымен қатар моник морфизм немесе моно деп те аталады) – сол жақтан қысқартуға болатын морфизм. Яғни, f: X → Y жебесі, барлық Z нысандары және g1, g2: Z → X морфизмдері үшін,

Мономорфизмдер – инъективті функциялардың (немесе "бірден-бірге функциялардың") категориялық жалпыламасы; кейбір категорияларда осы ұғымдар сәйкес келеді, бірақ мономорфизмдер жалпырақ, төмендегі мысалдарда көрсетілгендей. Посеттер жиынында қиылысулар идемпотентті болады: кез келген нәрсенің өзімен қиылысуы – өзі. Мономорфизмдер бұл қасиетті кез келген категорияға жалпылайды. Морфизм, егер ол кері тартылыстарға қатысты идемпотентті болса, мономорфизм болып табылады. Мономорфизмнің категориялық дуалы – эпиморфизм, яғни C категориясындағы мономорфизм, Cop дуалды категориясында эпиморфизм болады. Кез келген қима – мономорфизм, ал кез келген кері тартылыс – эпиморфизм.

Мысалдар

Кез келген нақты санаттағы морфизм, егер оның негізгі функциясы инъективті болса, мономорфизм болады; яғни, егер морфизмдер жиындар арасындағы функциялар болса, онда бір-бірге сәйкес келетін кез келген морфизм категориялық мағынада мономорфизм болады. Жиындар санатында керісі де дұрыс, сондықтан мономорфизмдер дәл инъективті морфизмдер болып табылады. Керісінше, алгебраның табиғи түрде кездесетін санаттарының көпшілігінде бір генератордағы бос объектінің болуы себебінен керісі де дұрыс. Атап айтқанда, бұл барлық топтар, барлық сақиналар және кез келген абелдік санат үшін дұрыс. Дегенмен, барлық мономорфизмдер басқа санаттарда инъективті болуы міндетті емес; яғни, морфизмдер жиындар арасындағы функциялар болатын, бірақ инъективті емес, бірақ категориялық мағынада мономорфизм болатын жағдайлар бар. Мысалы, бөлінетін (абелдік) топтардың Div санатында және олардың арасындағы топтық гомоморфизмдерде инъективті емес мономорфизмдер бар: мысалы, Q → Q/Z квоиенттік бейнесін қарастырайық, мұнда Q – қосылу бойынша рационал сандар, Z – бүтін сандар (сонымен қатар қосылу бойынша топ ретінде қарастырылады), ал Q/Z – сәйкес квоиенттік топ. Бұл инъективті бейне емес, мысалы, әрбір бүтін сан 0-ге бейнеленеді. Дегенмен, бұл осы санаттағы мономорфизм. Бұл 1=q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 салдарынан туындайды, оны енді дәлелдейміз. Егер h: G → Q, мұнда G – кейбір бөлінетін топ, және 1=q ∘ h = 0 болса, онда h(x) ∈ Z, ∀ x ∈ G. Енді G-дегі x-ті бекітейік. Жалпылықты жоғалтпай, h(x) ≥ 0 деп қабылдауға болады (әйтпесе, -x-ті таңдаңыз). G бөлінетін топ болғандықтан, 1=n = h(x) + 1 деп алсақ, G-де 1=x = ny болатын y ∈ G бар, сондықтан 1=h(x) = n h(y). Осыдан және 1=0 ≤ h(x) < h(x) + 1 = n екендігінен, h(y) ∈ Z болғандықтан, 1=h(y) = 0, демек 1=h(x) = 0 = h(−x), ∀ x ∈ G екендігі шығады. Бұл 1=h = 0 дегенді білдіреді, қалағанымыз осы. Осы салдардан q мономорфизм екендігіне өту үшін, G-дегі кейбір бөлінетін топ G үшін f, g: G → Q морфизмдері үшін 1=q ∘ f = q ∘ g деп есептейік. Содан кейін 1=q ∘ (f − g) = 0, мұнда (f − g) : x ↦ f(x) − g(x). (Егер 1=(f − g)(0) = 0 және 1=(f − g)(x + y) = (f − g)(x) + (f − g)(y) болса, онда (f − g) ∈ Hom(G, Q)). Жаңа дәлелденген салдардан 1=q ∘ (f − g) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G, f(x) = g(x) ⇔ f = g екендігі шығады. Осылайша, q – талап етілгендей мономорфизм.

Every morphism in a concrete category whose underlying function is injective is a monomorphism; in other words, if morphisms are actually functions between sets, then any morphism which is a one to one function will necessarily be a monomorphism in the categorical sense. In the category of sets the converse also holds, so the monomorphisms are exactly the injective morphisms. The converse also holds in most naturally occurring categories of algebras because of the existence of a free object on one generator. In particular, it is true in the categories of all groups, of all rings, and in any abelian category. It is not true in general, however, that all monomorphisms must be injective in other categories; that is, there are settings in which the morphisms are functions between sets, but one can have a function that is not injective and yet is a monomorphism in the categorical sense. For example, in the category Div of divisible (abelian) groups and group homomorphisms between them there are monomorphisms that are not injective: consider, for example, the quotient map q : Q → Q/Z, where Q is the rationals under addition, Z the integers (also considered a group under addition), and Q/Z is the corresponding quotient group. This is not an injective map, as for example every integer is mapped to 0. Nevertheless, it is a monomorphism in this category. This follows from the implication 1=q ∘ h = 0 ⇒ h = 0, which we will now prove. If h : G → Q, where G is some divisible group, and 1=q ∘ h = 0, then h(x) ∈ Z, ∀ x ∈ G. Now fix some x ∈ G. Without loss of generality, we may assume that h(x) ≥ 0 (otherwise, choose −x instead). Then, letting 1=n = h(x) + 1, since G is a divisible group, there exists some y ∈ G such that 1=x = ny, so 1=h(x) = n h(y). From this, and 1=0 ≤ h(x) < h(x) + 1 = n, it follows that

Since h(y) ∈ Z, it follows that 1=h(y) = 0, and thus 1=h(x) = 0 = h(−x), ∀ x ∈ G. This says that 1=h = 0, as desired. To go from that implication to the fact that q is a monomorphism, assume that 1=q ∘ f = q ∘ g for some morphisms f, g : G → Q, where G is some divisible group. Then 1=q ∘ (f − g) = 0, where (f − g) : x ↦ f(x) − g(x). (Since 1=(f − g)(0) = 0, and 1=(f − g)(x + y) = (f − g)(x) + (f − g)(y), it follows that (f − g) ∈ Hom(G, Q)). From the implication just proved, 1=q ∘ (f − g) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G, f(x) = g(x) ⇔ f = g. Hence q is a monomorphism, as claimed.

Қасиеттері

Топоста әрбір моно теңдестіргіш, ал монолық және эпикалық кез келген бейнелеу – изоморфизм. Кез келген изоморфизм моник болады.

Қарым-қатынас ұғымдары

Сондай-ақ тұрақты мономорфизм, экстремалды мономорфизм, бірден мономорфизм, күшті мономорфизм және бөлінген мономорфизм сияқты пайдалы түсініктер бар. Мономорфизм егер ол қандай да бір параллель морфизмдер жұбының теңестіргіші болса, тұрақты деп аталады. Мономорфизм экстремалды деп аталады, егер кез келген өрнекте , мұнда – эпиморфизм болса, морфизм автоматты түрде изоморфизм болып табылады. Мономорфизм бірден деп аталады, егер кез келген өрнекте , мұнда – мономорфизм және – эпиморфизм болса, морфизм автоматты түрде изоморфизм болып табылады. Мономорфизм күшті деп аталады, егер кез келген эпиморфизм және кез келген морфизмдер үшін және осындай болса, онда морфизм болатындей морфизм табылады, мұнда және . Мономорфизм бөлінген деп аталады, егер морфизм болатындей морфизм табылады (бұл жағдайда – сол жақ кері морфизм деп аталады).

Терминология

Мономорфизм және эпиморфизм терминдерін бастапқыда Николас Бурбаки енгізген; Бурбаки мономорфизмді инъективті функцияның қысқаша белгісі ретінде пайдаланады. Алғашқы категория теориясының мамандары инъективтілікті категориялар контексіне дұрыс жалпылау жоғарыда келтірілген жою қасиеті деп санайтын. Бұл моник бейнелеулер үшін толыққанды дұрыс болмаса да, өте жақын, сондықтан эпиморфизмдермен салыстырғанда көп қиындық тудырмады. Сондерс Мак Лейн нақты категориядағы жиын карталары инъективті болатын карталарды мономорфизмдер деп, ал категориялық мағынадағы мономорфизмдерді моник бейнелеулер деп ажыратуға тырысты. Бұл ажырату кеңінен қолданысқа енген жоқ. Мономорфизмнің тағы бір атауы – кеңейту, бірақ оның басқа да қолданыстары да бар.