Кіріспе
Сүреттік гомоморфизм – математикалық функция.
the mathematical function
In category theory, an epimorphism is a morphism f : X → Y that is right cancellative in the sense that, for all objects Z and all morphisms g1, g2: Y → Z,
Epimorphisms are categorical analogues of onto or surjective functions (and in the category of sets the concept corresponds exactly to the surjective functions), but they may not exactly coincide in all contexts; for example, the inclusion is a ring epimorphism. The dual of an epimorphism is a monomorphism (i. e. an epimorphism in a category C is a monomorphism in the dual category Cop). Many authors in abstract algebra and universal algebra define an epimorphism simply as an onto or surjective homomorphism. Every epimorphism in this algebraic sense is an epimorphism in the sense of category theory, but the converse is not true in all categories. In this article, the term "epimorphism" will be used in the sense of category theory given above. For more on this, see below.
Категориялар теориясында эпиморфизм – бұл f: X → Y морфизмі, ол оңнан жоюға ие, яғни барлық Z нысандары және g1, g2: Y → Z морфизмдері үшін, егер g1 ∘ f = g2 ∘ f болса, онда g1 = g2 болады. Эпиморфизмдер – onto немесе surjective функциялардың категориялық аналогтары (және жиынтар санатында бұл ұғым дәл surjective функциялармен сәйкес келеді), бірақ олар барлық контекстерде толық сәйкес келмейді; мысалы, кіріктіру – сақина эпиморфизмі болып табылады. Эпиморфизмнің дуалы – мономорфизм (яғни, C санатындағы эпиморфизм, Cop дуалды санатындағы мономорфизм). Абстрактілік алгебра және әмбебап алгебра саласындағы көптеген авторлар эпиморфизмді жай ғана onto немесе surjective гомоморфизм деп анықтайды. Бұл алгебралық мағынадағы әрбір эпиморфизм, категориялар теориясы мағынасындағы эпиморфизм болып табылады, бірақ керісінше барлық категорияларда дұрыс емес. Осы мақалада "эпиморфизм" термині жоғарыда келтірілген категориялар теориясы мағынасында қолданылады. Толық ақпарат алу үшін төмендегі бөлімді қараңыз.
the mathematical function
In category theory, an epimorphism is a morphism f : X → Y that is right cancellative in the sense that, for all objects Z and all morphisms g1, g2: Y → Z,
Epimorphisms are categorical analogues of onto or surjective functions (and in the category of sets the concept corresponds exactly to the surjective functions), but they may not exactly coincide in all contexts; for example, the inclusion is a ring epimorphism. The dual of an epimorphism is a monomorphism (i. e. an epimorphism in a category C is a monomorphism in the dual category Cop). Many authors in abstract algebra and universal algebra define an epimorphism simply as an onto or surjective homomorphism. Every epimorphism in this algebraic sense is an epimorphism in the sense of category theory, but the converse is not true in all categories. In this article, the term "epimorphism" will be used in the sense of category theory given above. For more on this, see below.
Қарым-қатынас ұғымдары
Басқа пайдалы түсініктердің арасында тұрақты эпиморфизм, экстремалды эпиморфизм, дереу эпиморфизм, күшті эпиморфизм және бөлінген эпиморфизм бар. Эпиморфизм егер ол кейбір параллель морфизмдердің коэквалайзері болса, тұрақты деп айтылады. Эпиморфизм экстремалды деп аталады, егер кез келген бейнелеуде , онда мономорфизм болса, морфизм автоматты түрде изоморфизм болып табылады. Эпиморфизм дереу деп аталады, егер кез келген бейнелеуде , мұндағы мономорфизм және эпиморфизм болса, морфизм автоматты түрде изоморфизм болып табылады. Эпиморфизм күшті деп аталады, егер кез келген мономорфизм және кез келген морфизмдер үшін және осындай болса, морфизмі бар болса және . Эпиморфизм бөлінген деп аталады, егер морфизмі болса (бұл жағдайда оң жақты кері деп аталады). Сонымен қатар, сақиналар теориясында гомологиялық эпиморфизм ұғымы бар. Егер шеңберлерінің морфизмі эпиморфизм болса және ол туынды категориялар бойынша толық және адал функторды индукцияласа, онда ол гомологиялық эпиморфизм болып табылады: . Мономорфизм және эпиморфизм болып табылатын морфизм биморфизм деп аталады. Кез келген изоморфизм - биморфизм, бірақ керісінше, жалпы алғанда, дұрыс емес. Мысалы, жартылай ашық интервалдан [0,1) бірлік шеңберге S1 (көпшіл жазықтықтың субкеңістігі ретінде қарастырылады) x-ті exp(2πix) -ке жіберетін (Ойлер формуласын қараңыз) үздіксіз және биективті, бірақ гомеоморфизм емес, өйткені кері карта 1-де үздіксіз емес, сондықтан ол биморфизмнің мысалы болып табылады, бірақ изоморфизм емес. Тағы бір мысал - Haus санатындағы Q → R кіріктірілуі; жоғарыда айтылғандай, бұл биморфизм, бірақ бұл биективті емес, сондықтан изоморфизм емес. Сол сияқты, сақиналар санатында Z → Q картасы биморфизм, бірақ изоморфизм емес. Эпиморфизмдер абстрактілік бөлу объектілерін жалпы санаттарда анықтау үшін қолданылады: екі эпиморфизм және егер изоморфизмі болса, тең деп есептеледі, мұндағы . Бұл эквиваленттік қатынас, ал эквиваленттік сыныптар объектісінің бөлу объектілері ретінде анықталады.
D(f) : D(B) → D(A). A morphism that is both a monomorphism and an epimorphism is called a bimorphism. Every isomorphism is a bimorphism but the converse is not true in general. For example, the map from the half open interval [0,1) to the unit circle S1 (thought of as a subspace of the complex plane) that sends x to exp(2πix) (see Euler's formula) is continuous and bijective but not a homeomorphism since the inverse map is not continuous at 1, so it is an instance of a bimorphism that is not an isomorphism in the category Top. Another example is the embedding Q → R in the category Haus; as noted above, it is a bimorphism, but it is not bijective and therefore not an isomorphism. Similarly, in the category of rings, the map Z → Q is a bimorphism but not an isomorphism. Epimorphisms are used to define abstract quotient objects in general categories: two epimorphisms f1 : X → Y1 and f2 : X → Y2 are said to be equivalent if there exists an isomorphism j : Y1 → Y2 with j f1 = f2. This is an equivalence relation, and the equivalence classes are defined to be the quotient objects of X.
Терминология
Эпиморфизм және мономорфизм терминдерін алғаш рет Бурбаки енгізді. Бурбаки эпиморфизмді сюръективті функцияның қысқаша жазылуы ретінде пайдаланады. Алғашқы санаттар теориясымен айналысушылар эпиморфизмдердің кез келген санаттағы сюръекциялардың дұрыс аналогы екенін ойлады, мономорфизмдер инъекциялардың шамамен дәл аналогы болғандай. Алайда, бұл дұрыс емес; күшті немесе реттелген эпиморфизмдер, қалыпты эпиморфизмдерге қарағанда сюръекцияларға көбірек ұқсайды. Сондерс Мак Лейн эпиморфизмдерді – негізгі жиын карталары сюръективті болатын нақты санаттағы бейнелеулерді, ал эпикалық морфизмдерді – қазіргі мағынадағы эпиморфизмдерді ажыратуға тырысты. Бірақ, бұл ажырату кеңінен қолданылған жоқ. Эпиморфизмдердің сюръекциялармен бірдей немесе олардан жақсы түсінік екенін ойлау – жиі кездесетін қателік. Өкінішке орай, мұндай жағдай сирек; эпиморфизмдер өте күрделі және күтпеген қасиеттерге ие болуы мүмкін. Мысалы, сақиналардың барлық эпиморфизмдерін жіктеу өте қиын. Жалпы айтқанда, эпиморфизмдер – өзіндік ерекше түсінік, сюръекциялармен байланысты болғанымен, түбірінен бөлек.