Введение
Инъективный гомоморфизм – математический термин.
the mathematical term
In the context of abstract algebra or universal algebra, a monomorphism is an injective homomorphism. A monomorphism from X to Y is often denoted with the notation
In the more general setting of category theory, a monomorphism (also called a monic morphism or a mono) is a left cancellative morphism. That is, an arrow f : X → Y such that for all objects Z and all morphisms g1, g2: Z → X,
Monomorphisms are a categorical generalization of injective functions (also called "one to one functions"); in some categories the notions coincide, but monomorphisms are more general, as in the examples below. In the setting of posets intersections are idempotent: the intersection of anything with itself is itself. Monomorphisms generalize this property to arbitrary categories. A morphism is a monomorphism if it is idempotent with respect to pullbacks. The categorical dual of a monomorphism is an epimorphism, that is, a monomorphism in a category C is an epimorphism in the dual category Cop. Every section is a monomorphism, and every retraction is an epimorphism.
В контексте абстрактной алгебры или универсальной алгебры, мономорфизм – это инъективный гомоморфизм. Мономорфизм из X в Y часто обозначается следующим образом.
the mathematical term
In the context of abstract algebra or universal algebra, a monomorphism is an injective homomorphism. A monomorphism from X to Y is often denoted with the notation
In the more general setting of category theory, a monomorphism (also called a monic morphism or a mono) is a left cancellative morphism. That is, an arrow f : X → Y such that for all objects Z and all morphisms g1, g2: Z → X,
Monomorphisms are a categorical generalization of injective functions (also called "one to one functions"); in some categories the notions coincide, but monomorphisms are more general, as in the examples below. In the setting of posets intersections are idempotent: the intersection of anything with itself is itself. Monomorphisms generalize this property to arbitrary categories. A morphism is a monomorphism if it is idempotent with respect to pullbacks. The categorical dual of a monomorphism is an epimorphism, that is, a monomorphism in a category C is an epimorphism in the dual category Cop. Every section is a monomorphism, and every retraction is an epimorphism.
В более общем контексте теории категорий, мономорфизм (также называемый моническим морфизмом или моно) – это левоотменяемый морфизм. То есть, стрелка f : X → Y такая, что для всех объектов Z и всех морфизмов g1, g2: Z → X,
the mathematical term
In the context of abstract algebra or universal algebra, a monomorphism is an injective homomorphism. A monomorphism from X to Y is often denoted with the notation
In the more general setting of category theory, a monomorphism (also called a monic morphism or a mono) is a left cancellative morphism. That is, an arrow f : X → Y such that for all objects Z and all morphisms g1, g2: Z → X,
Monomorphisms are a categorical generalization of injective functions (also called "one to one functions"); in some categories the notions coincide, but monomorphisms are more general, as in the examples below. In the setting of posets intersections are idempotent: the intersection of anything with itself is itself. Monomorphisms generalize this property to arbitrary categories. A morphism is a monomorphism if it is idempotent with respect to pullbacks. The categorical dual of a monomorphism is an epimorphism, that is, a monomorphism in a category C is an epimorphism in the dual category Cop. Every section is a monomorphism, and every retraction is an epimorphism.
Мономорфизмы являются категорийным обобщением инъективных функций (также называемых «взаимно однозначными функциями»); в некоторых категориях эти понятия совпадают, но мономорфизмы более общие, как показано в примерах ниже. В контексте частично упорядоченных множеств пересечения идемпотентны: пересечение любого множества с самим собой равно самому себе. Мономорфизмы обобщают это свойство на произвольные категории. Морфизм является мономорфизмом, если он идемпотентен относительно обратных отображений. Категорический дуал мономорфизма – это эпиморфизм, то есть мономорфизм в категории C является эпиморфизмом в двойственной категории Cop. Каждое сечение является мономорфизмом, а каждое вложение – эпиморфизмом.
the mathematical term
In the context of abstract algebra or universal algebra, a monomorphism is an injective homomorphism. A monomorphism from X to Y is often denoted with the notation
In the more general setting of category theory, a monomorphism (also called a monic morphism or a mono) is a left cancellative morphism. That is, an arrow f : X → Y such that for all objects Z and all morphisms g1, g2: Z → X,
Monomorphisms are a categorical generalization of injective functions (also called "one to one functions"); in some categories the notions coincide, but monomorphisms are more general, as in the examples below. In the setting of posets intersections are idempotent: the intersection of anything with itself is itself. Monomorphisms generalize this property to arbitrary categories. A morphism is a monomorphism if it is idempotent with respect to pullbacks. The categorical dual of a monomorphism is an epimorphism, that is, a monomorphism in a category C is an epimorphism in the dual category Cop. Every section is a monomorphism, and every retraction is an epimorphism.
Примеры
Каждый морфизм в конкретной категории, основная функция которого инъективна, является мономорфизмом; другими словами, если морфизмы являются функциями между множествами, то любой морфизм, являющийся взаимно однозначной функцией, обязательно будет мономорфизмом в категориальном смысле. В категории множеств обратное также верно, поэтому мономорфизмы являются именно инъективными морфизмами. Обратное также верно в большинстве естественно возникающих категорий алгебр из-за существования свободного объекта на одном порождающем элементе. В частности, это верно для категорий всех групп, всех колец и любой абелевой категории. Однако не всегда верно, что все мономорфизмы должны быть инъективными в других категориях; то есть, существуют ситуации, в которых морфизмы являются функциями между множествами, но может существовать функция, которая не является инъективной, но при этом является мономорфизмом в категориальном смысле. Например, в категории Div делимых (абелевых) групп и групповых гомоморфизмов между ними существуют мономорфизмы, которые не являются инъективными: рассмотрим, например, факторное отображение q : Q → Q/Z, где Q — рациональные числа относительно сложения, Z — целые числа (также рассматриваемые как группа относительно сложения), а Q/Z — соответствующая фактор-группа. Это не инъективное отображение, поскольку, например, каждое целое число отображается в 0. Тем не менее, это мономорфизм в этой категории. Это следует из следствия 1=q ∘ h = 0 ⇒ h = 0, которое мы сейчас докажем. Если h : G → Q, где G — некоторая делимая группа, и 1=q ∘ h = 0, то h(x) ∈ Z, ∀ x ∈ G. Теперь зафиксируем некоторое x ∈ G. Без потери общности можно предположить, что h(x) ≥ 0 (в противном случае выберем −x). Тогда, полагая 1=n = h(x) + 1, поскольку G является делимой группой, существует некоторое y ∈ G такое, что 1=x = ny, откуда 1=h(x) = n h(y). Из этого и 1=0 ≤ h(x) < h(x) + 1 = n следует, что поскольку h(y) ∈ Z, то 1=h(y) = 0, и, следовательно, 1=h(x) = 0 = h(−x), ∀ x ∈ G. Это означает, что 1=h = 0, как и требовалось. Чтобы перейти от этого следствия к тому, что q является мономорфизмом, предположим, что 1=q ∘ f = q ∘ g для некоторых морфизмов f, g : G → Q, где G — некоторая делимая группа. Тогда 1=q ∘ (f − g) = 0, где (f − g) : x ↦ f(x) − g(x). (Поскольку 1=(f − g)(0) = 0 и 1=(f − g)(x + y) = (f − g)(x) + (f − g)(y), следует, что (f − g) ∈ Hom(G, Q)). Из только что доказанного следствия 1=q ∘ (f − g) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G, f(x) = g(x) ⇔ f = g. Следовательно, q является мономорфизмом, как и утверждалось.
Since h(y) ∈ Z, it follows that 1=h(y) = 0, and thus 1=h(x) = 0 = h(−x), ∀ x ∈ G. This says that 1=h = 0, as desired. To go from that implication to the fact that q is a monomorphism, assume that 1=q ∘ f = q ∘ g for some morphisms f, g : G → Q, where G is some divisible group. Then 1=q ∘ (f − g) = 0, where (f − g) : x ↦ f(x) − g(x). (Since 1=(f − g)(0) = 0, and 1=(f − g)(x + y) = (f − g)(x) + (f − g)(y), it follows that (f − g) ∈ Hom(G, Q)). From the implication just proved, 1=q ∘ (f − g) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G, f(x) = g(x) ⇔ f = g. Hence q is a monomorphism, as claimed.
Свойства
В топосе каждое моно является эквалайзером, и любое отображение, являющееся одновременно моническим и эпическим, является изоморфизмом. Каждый изоморфизм является моническим.
Связанные понятия
Существуют также полезные понятия регулярного мономорфизма, экстремального мономорфизма, непосредственного мономорфизма, сильного мономорфизма и расщепляемого мономорфизма. Мономорфизм называется регулярным, если он является эквалайзером некоторой пары параллельных морфизмов. Мономорфизм называется экстремальным, если в любом представлении , где является эпиморфизмом, морфизм автоматически является изоморфизмом. Мономорфизм называется непосредственным, если в любом представлении , где является мономорфизмом, а является эпиморфизмом, морфизм автоматически является изоморфизмом. Мономорфизм называется сильным, если для любого эпиморфизма и любых морфизмов и таких, что , существует морфизм , такой что и . Мономорфизм называется расщепляемым, если существует морфизм , такой что (в этом случае называется левообратным для ).
Терминология
Термины мономорфизм и эпиморфизм были первоначально введены Николасом Бурбаки; Бурбаки использует мономорфизм как сокращение для инъективного отображения. Ранние теоретики категорий полагали, что правильным обобщением инъективности в контексте категорий является свойство отмены, указанное выше. Хотя это не совсем верно для монических морфизмов, это очень близко, поэтому это не вызвало серьезных затруднений, в отличие от случая эпиморфизмов. Сондерс Мак-Лейн попытался провести различие между мономорфизмами, которые он определял как морфизмы в конкретной категории, чьи лежащие в основе отображения множеств были инъективными, и моническими морфизмами, которые являются мономорфизмами в категорическом смысле. Это различие так и не получило широкого распространения. Другим названием мономорфизма является расширение, хотя оно используется и в других контекстах.