Эпиморфизмы в теории категорий и алгебре

Введение

Сюръективный гомоморфизм – математическая функция.

В теории категорий эпиморфизм – это морфизм f : X → Y, который правоотменяем в том смысле, что для всех объектов Z и всех морфизмов g1, g2: Y → Z, если g1 ∘ f = g2 ∘ f, то g1 = g2.

Эпиморфизмы являются категорными аналогами отображений «на» или сюръективных функций (и в категории множеств это понятие точно соответствует сюръективным функциям), но они могут не совпадать в точности во всех контекстах; например, включение является эпиморфизмом колец. Дуалом эпиморфизма является мономорфизм (то есть эпиморфизм в категории C является мономорфизмом в двойственной категории Cop). Многие авторы в абстрактной алгебре и универсальной алгебре определяют эпиморфизм просто как отображение «на» или сюръективный гомоморфизм. Любой эпиморфизм в этом алгебраическом смысле является эпиморфизмом в смысле теории категорий, но обратное неверно во всех категориях. В данной статье термин «эпиморфизм» будет использоваться в смысле теории категорий, указанном выше. Подробнее см. ниже.

Связанные понятия

Среди других полезных понятий — регулярный эпиморфизм, экстремальный эпиморфизм, непосредственный эпиморфизм, сильный эпиморфизм и расщепляемый эпиморфизм. Эпиморфизм называется регулярным, если он является коэквалайзером некоторой пары параллельных морфизмов. Эпиморфизм называется экстремальным, если в любом представлении , где — мономорфизм, морфизм автоматически является изоморфизмом. Эпиморфизм называется непосредственным, если в любом представлении , где — мономорфизм и — эпиморфизм, морфизм автоматически является изоморфизмом. Эпиморфизм называется сильным, если для любого мономорфизма и любых морфизмов и таких, что , существует морфизм такой, что и . Эпиморфизм называется расщепляемым, если существует морфизм такой, что (в этом случае называется правосторонним обратным для ). Существует также понятие гомологического эпиморфизма в теории колец. Морфизм f: A → B колец является гомологическим эпиморфизмом, если он является эпиморфизмом и индуцирует полный и верный функтор на производных категориях: D(f) : D(B) → D(A). Морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, называется биморфизмом. Любой изоморфизм является биморфизмом, но обратное неверно в общем случае. Например, отображение из полуоткрытого интервала [0,1) на единичную окружность S1 (рассматриваемую как подпространство комплексной плоскости), которое сопоставляет x значению exp(2πix) (см. формулу Эйлера), является непрерывным и биективным, но не гомеоморфизмом, поскольку обратное отображение не является непрерывным в точке 1, поэтому это пример биморфизма, который не является изоморфизмом в категории Top. Другой пример — вложение Q → R в категории Haus; как отмечалось выше, это биморфизм, но он не биективен и, следовательно, не изоморфизм. Аналогично, в категории колец отображение Z → Q является биморфизмом, но не изоморфизмом. Эпиморфизмы используются для определения абстрактных фактор-объектов в общих категориях: два эпиморфизма f1 : X → Y1 и f2 : X → Y2 считаются эквивалентными, если существует изоморфизм j : Y1 → Y2 такой, что j f1 = f2. Это отношение эквивалентности, и классы эквивалентности определяются как фактор-объекты X.

Among other useful concepts are regular epimorphism, extremal epimorphism, immediate epimorphism, strong epimorphism, and split epimorphism. An epimorphism is said to be regular if it is a coequalizer of some pair of parallel morphisms. An epimorphism is said to be extremal if in each representation , where is a monomorphism, the morphism is automatically an isomorphism. An epimorphism is said to be immediate if in each representation , where is a monomorphism and is an epimorphism, the morphism is automatically an isomorphism. An epimorphism is said to be strong if for any monomorphism and any morphisms and such that , there exists a morphism such that and An epimorphism is said to be split if there exists a morphism such that (in this case is called a right sided inverse for ). There is also the notion of homological epimorphism in ring theory. A morphism f: A → B of rings is a homological epimorphism if it is an epimorphism and it induces a full and faithful functor on derived categories:
D(f) : D(B) → D(A). A morphism that is both a monomorphism and an epimorphism is called a bimorphism. Every isomorphism is a bimorphism but the converse is not true in general. For example, the map from the half open interval [0,1) to the unit circle S1 (thought of as a subspace of the complex plane) that sends x to exp(2πix) (see Euler's formula) is continuous and bijective but not a homeomorphism since the inverse map is not continuous at 1, so it is an instance of a bimorphism that is not an isomorphism in the category Top. Another example is the embedding Q → R in the category Haus; as noted above, it is a bimorphism, but it is not bijective and therefore not an isomorphism. Similarly, in the category of rings, the map Z → Q is a bimorphism but not an isomorphism. Epimorphisms are used to define abstract quotient objects in general categories: two epimorphisms f1 : X → Y1 and f2 : X → Y2 are said to be equivalent if there exists an isomorphism j : Y1 → Y2 with j f1 = f2. This is an equivalence relation, and the equivalence classes are defined to be the quotient objects of X.

Терминология

Сопутствующие термины эпиморфизм и мономорфизм были впервые введены Бурбаки. Бурбаки использует эпиморфизм как сокращение для сюръективного отображения. Ранние теоретики категорий полагали, что эпиморфизмы являются корректным аналогом сюръекций в произвольной категории, подобно тому, как мономорфизмы очень близки к точному аналогу инъекций. К сожалению, это неверно: сильные или регулярные эпиморфизмы ведут себя гораздо ближе к сюръекциям, чем обычные эпиморфизмы. Сондерс Маклейн попытался провести различие между эпиморфизмами, которые были отображениями в конкретной категории, базовые отображения множеств которых были сюръективными, и эпическими морфизмами, которые являются эпиморфизмами в современном понимании. Однако это различие не прижилось. Распространенная ошибка – полагать, что эпиморфизмы либо идентичны сюръекциям, либо представляют собой более удачную концепцию. К сожалению, это редко так: эпиморфизмы могут быть весьма загадочными и демонстрировать неожиданное поведение. Например, очень сложно классифицировать все эпиморфизмы колец. В целом, эпиморфизмы – это самостоятельное, уникальное понятие, связанное с сюръекциями, но принципиально отличное от них.