Кіріспе

Шеңбердің үш өлшемді Евклид кеңістігіне ендірілуі – математикалық объект.

Математикада түйін – бұл шеңбердің үш өлшемді Евклид кеңістігіне (R³ деп те аталады, сондай-ақ E³) ендірілуі. Көбінесе екі түйін, егер олар қоршаған кеңістікте изотопты болса, яғни бір түйіннен екіншісіне үздіксіз деформация жасау мүмкін болса, эквивалентті деп есептеледі. Стандартты математикалық және дәстүрлі түйін ұғымдарының арасындағы маңызды айырмашылық – математикалық түйіндер жабық болады, яғни математикалық түйінде байлауға немесе ашуға арналған ұштары жоқ. Физикалық қасиеттер, мысалы, үйкеліс және қалыңдық та ескерілмейді, бірақ мұндай қасиеттерді ескеретін түйіннің математикалық анықтамалары да бар. «Түйін» термині сонымен қатар басқа кеңістіктерге ендірілулерге де қолданылады, әсіресе жағдайда. Түйіндерді зерттейтін математика саласы түйін теориясы деп аталады және ол граф теориясымен тығыз байланысты.

Ресми анықтама

Торап – шеңбердің үш өлшемді Евклид кеңістігіне (R³) немесе 3 сфераға енуі, себебі 3 сфера тығыз. Екі тораптың эквивалентті екені олардың арасында кеңістіктік изотопия болған жағдайда анықталады.

Жобалау

Евклид кеңістігіндегі (немесе 3 сферадағы) түйін жазықтыққа (сәйкесінше сфераға) проекциялана алады. Бұл проекция көбінесе тұрақты болады, яғни ол барлық жерде инъективті, бірақ шекті сандағы қиылысу нүктелерінен басқа, олар түйіннің тек екі нүктесінің проекциялары және бұл нүктелер бір түзуде жатпайды. Осы жағдайда проекция жағын таңдау арқылы түйіннің изотопия класын оның тұрақты проекциясымен, осы қиылыстардағы қарапайым "үстінен" немесе "астынан" ақпаратын жазып, толыққанды түрде кодтауға болады. Графтар теориясы тұрғысынан алғанда, түйіннің тұрақты проекциясы немесе түйін диаграммасы – бұл "үстінен" немесе "астынан" белгіленген төрт валентті жазық граф. Осы графтың бір диаграммасынан сол түйіннің басқа кез келген диаграммасына (жазықтықтың айналма изотопиясына дейін) өтуге мүмкіндік беретін жергілікті өзгерістер Ридмейстер қимылдары деп аталады.

Тораптардың түрлері

Ең қарапайым түйін, түйінсіз түйін немесе тривиальді түйін деп аталады, ол [[Евклид кеңістігінде]] орналасқан дөңгелек шеңбер болып табылады. Сөздің жалпы мағынасында, түйінсіз түйін мүлдем "байланысқан" емес. Ең қарапайым бұрмаланған түйіндер – үш жақ тізбегі (31 кестеде), сегіздік түйін (41) және бес жақ тізбегі (51). Бірнеше түйіндер бір-бірімен байланысқан немесе өрілген жағдайда, олар сілтеме деп аталады. Түйіндер – бір компоненттен тұратын сілтемелер.

Торапты толықтыру

3 сферадағы түйін болғанда, түйіннің толықтырылымы – 3 сфераның түйінге кірмейтін барлық нүктелерінен тұрады. Гордон мен Люкедің маңызды теоремасы бойынша, ең көп дегенде екі түйіннің гомеоморфты толықтырылыстары болуы мүмкін (нақты түйін және оның көлеңкесі). Бұл, түйіндерді зерттеуді олардың толықтырылыстарын зерттеуге, ал содан кейін 3-көптектіктер теориясына айналдырады.

JSJ ыдырау

JSJ ыдырауы және Турстонның гиперболизация теоремасы 3 сферадағы түйіндерді зерттеуді, тікелей қосылу немесе серіктей операциялар арқылы әртүрлі геометриялық көптүрліліктерді зерттеуге келтіреді. Суретте көрсетілген түйінде JSJ ыдырауы толықтықты үш көптүрліліктің біріне бөледі: екі үш жапырақтың толықтығы және Борромея сақиналарының толықтығы. Үш жапырақтың толықтығының геометриясы 'H'^(2) × 'R', ал Борромея сақиналарының толықтығының геометриясы 'H'^(3) болып табылады.

Гармоникалық түйіндер

Тораптардың параметрлік өрнектемелері гармоникалық тораптар деп аталады. Аарон Траутвейн өзінің докторлық диссертациясында кесісу саны 8-ге дейінгі барлық тораптардың, оның ішінде 8 кесісу саны бар тораптардың параметрлік өрнектемелерін жинақтады.

Орталық графигі

Тораптық диаграммалардың тағы бір ыңғайлы бейнелеуін Питер Тейт 1877 жылы ұсынды. Кез келген торап диаграммасы жазықтық графты анықтайды, онда төбелер қиылыстар, ал қабырғалар – тікелей қиылыстар арасындағы жолдар болып табылады. Бұл жазықтық графтың дәл бір беті шексіз, ал қалғандарының әрқайсысы екі өлшемді дискке гомеоморфты. Бұл беттерді қара немесе ақ түспен бояңыз, осылайша шексіз бет қара түспен боялады, ал ортақ қабырғасы бар екі бет қарама-қарсы түстермен боялады. Жордан қисығы теоремасы мұндай бояудың тек біреу ғана бар екенін көрсетеді. Біз жаңа жазықтық граф құрастырамыз, онда төбелер ақ беттер, ал қабырғалар қиылыстарға сәйкес келеді. Осы графтың әр қабырғасын сол жақ қабырға немесе оң жақ қабырға деп белгілеуге болады, бұл қабырғаның бір ұшынан тиісті қиылысты қарағанда қай жіптің екіншісінің үстінен өтетініне байланысты. Сол және оң қабырғалар әдетте сол қабырғаларды «+» символымен, ал оң қабырғаларды «-» символымен белгіленеді немесе сол қабырғалар тұтас сызықтармен, ал оң қабырғалар үзіліс сызықтармен салынады. Алғашқы торап диаграммасы осы жаңа жазықтық графтың медиалдық графигі болып табылады, әр қиылыстың түрі сәйкес қабырғаның таңбасымен анықталады. Барлық қабырғалардың таңбасын өзгерту тораптың айнадағы бейнесіне сәйкес келеді.

Байланыссыз және түйінсіз кіріктіру

Екі өлшемде тек жазық графтар ғана қиылыстарсыз Евклид жазықтығына орналастырылуы мүмкін, бірақ үш өлшемде кез келген бағытталмаған граф қиылыстарсыз кеңістікке орналастырылуы мүмкін. Дегенмен, жазық графтардың кеңістіктік аналогын байланыссыз ендірулер мен түйінсіз ендірулер ұсынатын графтар қамтамасыз етеді. Байланыссыз ендіру – кез келген екі циклдың байланысы жоқ графтың ендірілуі; түйінсіз ендіру – кез келген циклдың түйіні жоқ графтың ендірілуі. Байланыссыз ендірілген графтар Петерсен отбасына қатысты тыйым салынған графтар арқылы сипатталады, ол жеті графтан тұратын жиынтық болып табылады және олар өзара байланысты: олар қалай ендірілсе де, екі цикл бір-бірімен байланысты болады. Түйінсіз ендірілген графтардың толық сипаттамасы әлі белгісіз, бірақ толық K7 графы түйінсіз ендіру үшін ең кішкентай тыйым салынған графтардың бірі болып табылады: K7 қалай ендірілсе де, ол үш жапырақты түйін құрайтын циклды қамтиды.

Жалпылау

Қазіргі заманғы математикада түйін термині кейде ендірулерге байланысты көбірек жалпы құбылысты сипаттау үшін қолданылады. Егер N-нің M-ге изотоптық емес ендірілісі болса, онда N-нің M-ге түйілуі мүмкін деп айтылады. Дәстүрлі түйіндер жағдайы — және немесе . Шоенфлиз теоремасы шеңбердің 2 сферада түйілуі мүмкін емес екенін көрсетеді: 2 сферадағы кез келген топологиялық шеңбер геометриялық шеңберге изотоптық. Александр теоремасы 2 сфераның 3 сферада тегіс (немесе PL немесе жайылған топологиялық) түйілуі мүмкін емес екенін көрсетеді. Жайылған топологиялық санатта, n сфераның барлық n үшін n+1 сферада түйілуі мүмкін емес екені белгілі. Бұл Мортон Браун, Барри Мазур және Марстон Морздің теоремасы. Александр мүйізді сферасы — 3 сферадағы түйілген 2 сфераның мысалы, ол жайылмаған. Тегіс санатта, n сфераның n+1 сферада түйілуі мүмкін емес екені белгілі, егер n ≠ 3 болса. = 3 жағдайы — 4 шар экзотикалық тегіс құрылымды қабылдай ма? деген сұраққа тікелей байланысты, ұзақ уақыт бойы шешілмеген мәселе. Андре Хефлигер 2n − 3j − 3 > 0 болғанда тегіс j өлшемді түйіндердің жоқ екенін дәлелдеді және n > j ≥ 1 үшін түйілген сфералардың қосымша мысалдарын берді, сондықтан n − j түйіннің кодименсиясы деп аталады. Хефлигердің жұмысының қызықты жағы — M-ге ендірулердің изотопиялық кластары топты құрайды, топтық операцияны байланыс қосындысы береді, егер кодименсия екіден үлкен болса. Хефлигер өз жұмысын Стивен Смелдің h-кобордизм теоремасына негіздеді. Смелдің теоремаларының бірі — екіден үлкен кодименсиясы бар түйіндермен жұмыс істегенде, тіпті тең емес түйіндердің де диффеоморфтық толықтырулары болады. Бұл тақыпқа 2 кодименсиялы түйін теориясынан өзгеше сипат береді. Егер топологиялық немесе PL изотопияларға рұқсат етілсе, Кристофер Земан сфералардың кодименсиясы 2-ден үлкен болғанда түйілуі мүмкін емес екенін дәлелдеді. Көптүрліліктерге жалпылауды қараңыз.