Кіріспе

Евклид кеңістігінің кіші жиыны, егер және тек егер ол жабық және шектелген болса, компактты болады. Нақты талдауда Эдуард Хайн және Эмиль Борель есімдерімен аталған Хайне-Борель теоремасы былай гласиды:

Евклид кеңістігінің Rn кіші жиыны S үшін келесі екі шарт эквивалентті:
S жабық және шектелген.
S компактты, яғни S-тің кез келген ашық жабынында шекті кіші жабын бар.

Тарих және мотивация

Бүгінде Хайне-Борель теоремасы деп аталатын теореманың тарихы 19 ғасырда нақты анализдің берік негіздерін іздеумен басталады. Теорияның орталық тұжырымдамасы – біркелкі үздіксіздік және жабық және шектелген аралықтағы кез келген үздіксіз функцияның біркелкі үздіксіз екенін күндіздей жарыққа шығаратын теорема. Питер Густав Лежун Дирихле бұл теореманы алғаш дәлелдеді, дәлелінде берілген ашық қаптаманың жабық аралықтағы шекті ішкі қаптамасының бар екенін пайдаланды. Кейін Эдуард Хайне, Карл Вейерштрасс және Сальваторе Пинчерле де ұқсас тәсілдер қолданды. 1895 жылы Эмиль Борель қазіргі Хайне-Борель теоремасы деп аталатын теореманың бір түрін тұжырымдап, дәлелдеді. Оның бұл тұжырымы санаулы қаптамалармен шектелген. Пьер Кузин (1895), Лебег (1898) және Шенфлиз (1900) оны кез келген қаптамаларға жалпылады.

HeineBorel мүлкі

Хайне-Борль теоремасы жалпы метрикалық және топологиялық векторлық кеңістіктер үшін қатал түрде дұрыс емес, және осы себепті бұл теореманың дұрыс болатын кеңістіктердің арнайы кластарын қарастыру қажеттілігі туындайды. Мұндай кеңістіктер Хайне-Борль қасиетіне ие деп айтылады.

Метриялық кеңістіктер теориясында

Егер әрбір жабық шектелген жиын компакт болса, метрикалық кеңістік Heine–Borel қасиетіне ие деп айтылады. Көптеген метрикалық кеңістіктер Heine–Borel қасиетіне ие емес, мысалы, рационал сандардың метрикалық кеңістігі (немесе кез келген толық емес метрикалық кеңістік). Толық метрикалық кеңістіктер де бұл қасиетке ие болмауы мүмкін; мысалы, шексіз өлшемді Банах кеңістіктері Heine–Borel қасиетіне ие емес (метрикалық кеңістіктер ретінде). Тіпті, егер нақты сызық стандартты метрикамен жабдықталмаса, онда ол Heine–Borel қасиетіне ие болмауы мүмкін. Метрикалық кеңістік Heine–Borel метрикасына ие, ол Коши бойынша жергілікті түрде бірдей болса және тек қана егер ол толық, компактты және жергілікті компактты болса ғана.

Топологиялық векторлық кеңістіктер теориясында

Топологиялық векторлық кеңістік Heine–Borel қасиетіне ие деп айтылады (Р. Эдвардс шектелген компактты кеңістік терминін қолданады), егер оның әрбір жабық шектелген жиыны компактты болса. Шексіз өлшемді Банах кеңістіктерінде (топологиялық векторлық кеңістіктер ретінде) Heine–Borel қасиеті жоқ. Бірақ кейбір шексіз өлшемді Фреше кеңістіктерінде, мысалы, ашық жиынғы тегіс функциялар кеңістігі және ашық жиынғы голоморфтық функциялар кеңістігі осы қасиетке ие. Кез келген жартылай толық ядролық кеңістік жалпы алғанда Heine–Borel қасиетіне ие. Барлық Монтель кеңістіктері де Heine–Borel қасиетіне ие.