Введение

Подмножество евклидова пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. В реальном анализе теорема Хайне — Бореля, названная в честь Эдуарда Хайне и Эмиля Бореля, утверждает:

Для подмножества S евклидова пространства Rn следующие два утверждения эквивалентны:
S замкнуто и ограничено.
S компактно, то есть любое открытое покрытие S имеет конечное подпокрытие.

История и мотивация

История того, что сегодня известно как теорема Хайне–Бореля, начинается в XIX веке с поисков надёжных основ вещественного анализа. Ключевым понятием в этой теории была равномерная непрерывность, а также теорема о том, что любая непрерывная функция на замкнутом и ограниченном интервале является равномерно непрерывной. Питер Густав Лежен Дирихле первым доказал эту теорему, и в своём доказательстве неявно использовал существование конечного подпокрытия заданного открытого покрытия замкнутого интервала. Позже Эдуард Хайне, Карл Вейерштрасс и Сальваторе Пинчерле использовали схожие методы. Эмиль Борель в 1895 году первым сформулировал и доказал форму теоремы, которая теперь называется теоремой Хайне–Бореля. Его формулировка была ограничена счётными покрытиями. Пьер Кузен (1895), Лебег (1898) и Шёнфлис (1900) обобщили её на произвольные покрытия.

Собственность HeineBorel

Теорема Хайне — Бореля не выполняется в общей форме для общих метрических и топологических векторных пространств, что обуславливает необходимость рассмотрения специальных классов пространств, в которых это утверждение справедливо. Такие пространства говорят, что обладают свойством Хайне — Бореля.

В теории метрических пространств

Метрическое пространство называется обладающим свойством Хайне — Бореля, если каждое замкнутое ограниченное множество в нём компактно. Многие метрические пространства не обладают свойством Хайне — Бореля, например, метрическое пространство рациональных чисел (или, вообще, любое неполное метрическое пространство). Полные метрические пространства также могут не обладать этим свойством; например, никакие бесконечномерные пространства Банаха не обладают свойством Хайне — Бореля (как метрические пространства). Более того, даже если вещественная прямая не снабжена обычной метрикой, она может не обладать свойством Хайне — Бореля. Метрическое пространство имеет метрику Хайне — Бореля, локально коши-эквивалентную исходной метрике, тогда и только тогда, когда оно полное, компактное и локально компактное.

В теории топологических векторных пространств

Топологическое векторное пространство называется обладающим свойством Хайне–Бореля (Р. Эдвардс использует термин "ограниченно компактное пространство"), если каждое замкнутое ограниченное множество в нем компактно. Ни одно бесконечномерное банахово пространство не обладает свойством Хайне–Бореля (как топологическое векторное пространство). Однако некоторые бесконечномерные пространства Фреше обладают этим свойством, например, пространство гладких функций на открытом множестве и пространство голоморфных функций на открытом множестве. В более общем случае, любое квазиполное ядерное пространство обладает свойством Хайне–Бореля. Все пространства Монтеля также обладают свойством Хайне–Бореля.