Инвестициялық тәуекелге математикалық көзқарас

Кіріспе

Инвестициялық тәуекелдің математикалық негізі

Қазіргі портфель теориясы (ҚПТ) немесе орташа дисперсиялық талдау – бұл белгілі бір тәуекел деңгейінде күтілетін кірісті максималды деңгейге жеткізуге мүмкіндік беретін активтер портфелін құрастыруға арналған математикалық негіз. Бұл инвестицияларды диверсификациялауды формалдау және кеңейту болып табылады, яғни әртүрлі қаржы активтеріне ие болу, тек бір типке ие болудан гөрі аз тәуекелді. Оның негізгі ойы – активтің тәуекелі мен кірісі оның өзімен емес, портфельдің жалпы тәуекелі мен кірісіне қандай үлес қосатынымен бағалануы керек. Кірістің дисперсиясы (немесе оның түрленуі, стандартты ауытқу) тәуекелді өлшеу үшін қолданылады, себебі активтер портфельдерге біріктірілген кезде оны басқару оңай. Бірақ одан да күрделі әдістер бар. Экономист Гарри Марковиц 1952 жылы мақалада ҚПТ-ны ұсынды, осы еңбегі үшін ол кейіннен Экономика ғылымдары саласындағы Нобель жүлдесіне ие болды; Марковиц моделіне қараңыз. 1940 жылы Бруно де Финетти пропорционалдық қайта сақтандыру контекстінде, күшті талаптармен орташа дисперсиялық талдау әдісін жариялады. Бұл мақала көпке танымал болған жоқ, және тек 2006 жылы ғана ағылшын тілінде сөйлейтін елдердің экономистері оны білді.

Түрлендіру

Инвестор портфельдік тәуекелді (әсіресе) тек оң корреляциясы жоқ құралдардың комбинациясын ұстау арқылы азайта алады (корреляция коэффициенті). Басқаша айтқанда, инвесторлар жеке активтерге қатысты тәуекелді азайту үшін әртүрлі активтерден құралған диверсификацияланған портфельді ұстай алады. Диверсификация бірдей күтілетін портфельдік кірісті төмендетілген тәуекелмен қамтамасыз етуге мүмкіндік береді. Оптималды инвестициялық портфельдерді құруға арналған орташа дисперсиялық модельді алғаш Марковиц ұсынды, кейіннен басқа экономистер мен математиктер оны жетілдіріп, осы модельдің шектеулерін ескерді. Егер барлық активтер жұптарының корреляциясы 0 болса – яғни, олар мүлдем корреляцияланбаса – портфельдің кірістілігінің дисперсиясы, әрбір активтегі үлестің квадратының барлық активтер бойынша қосындысы, активтің кірістілігінің дисперсиясына көбейтілгенге тең болады (ал портфельдің стандартты ауытқуы осы қосындының квадрат түбіріне тең). Егер барлық активтер жұптарының корреляциясы 1 болса – яғни, олар толық оң корреляцияланса – портфель кірістілігінің стандартты ауытқуы, портфельдегі үлестермен салмақталған активтер кірістілігінің стандартты ауытқуларының қосындысына тең болады. Белгілі портфель салмақтары және активтер кірістілігінің стандартты ауытқулары үшін, барлық корреляциялар 1 болған жағдайда портфель кірістілігінің ең жоғары стандартты ауытқуына жетеді.

Екі өзара қор теоремасы

Жоғарыда келтірілген талдаудың маңызды нәтижесі – екі өзара қор теоремасы. Бұл теоремаға сәйкес, тиімді шекарадағы кез келген портфель, сол шекарадағы кез келген екі берілген портфельдің комбинациясын ұстау арқылы құрылуы мүмкін; аталған екі портфель теорема атауындағы «өзара қорлар» деп аталады. Осылайша, тәуекелсіз актив болмаған жағдайда, инвестор тіпті тек тиімді өзара қорлар жұбы ғана қолжетімді болса да, кез келген қалаған тиімді портфельге қол жеткізе алады. Егер қалаған портфельдің шекарадағы орны екі өзара қордың орналасқан жері арасында болса, екі қор да оң мөлшерде ұсталады. Егер қалаған портфель екі қордың қамтитын диапазонынан тыс болса, онда бір қордан қысқа сату (теріс мөлшерде ұстау) қажет, ал екінші қорға жасалған инвестиция көлемі, инвестицияға қолжетімді сомадан артық болуы керек (осы артық сома екінші қордан алынған қарыз есебінен қаржыландырылады).

Сындар

Оның теориялық маңыздылығына қарамастан, MPT сыншылары оның идеалды инвестициялық құрал екендігіне күмән келтіреді, өйткені оның қаржы нарықтарының моделі көп жағдайда нақты әлеммен сәйкес келмейді. Іс жүзінде инвесторлар теңдеудегі осы мәндерді активтердің табысы мен құбылмалылығының тарихи өлшемдеріне негізделген болжамдармен алмастыруға мәжбүр. Көбінесе мұндай күтілетін мәндер тарихи деректер жиналған кезде болмаған жаңа жағдайларды ескермейді. Марковиц оптимизациясынан өзгешеленетін, инварианттық қасиеттерді пайдаланатын трендтерді анықтауға арналған оңтайлы тәсіл физикадан алынған. Нормаланған күтулерді корреляциялық матрицаның кері матрицасын пайдалану арқылы түрлендірудің орнына, инвариантты портфель корреляциялық матрицаның квадрат түбірінің кері матрицасын қолданады. Оптимизациялау мәселесі күтілетін мәндердің белгісіз және өзара байланысты екендігі туралы болжаммен шешіледі. Марковиц шешімі күтілетін табыстар арасындағы корреляция, табыстар арасындағы корреляцияға ұқсас болған жағдайға ғана сәйкес келеді. Бастысы, инвесторлар негізгі параметрлерді өткен нарықтық деректерден бағалаумен айналысады, себебі MPT тәуекелді шығынның ықтималдығы тұрғысынан модельдеуге тырысады, бірақ осы шығынның неліктен туындауы мүмкін екендігі туралы ештеңе айтпайды. Қолданылатын тәуекел өлшемдерінің сипаты ғалымдық, құрылымдық емес. Бұл көптеген инженерлік тәуекелді басқару тәсілдерімен салыстырғанда маңызды айырмашылық. Математикалық тәуекел өлшемдері инвесторлардың нақты алаңдаушылықтарын көрсететін жағдайда ғана пайдалы. Әсіресе, дисперсия симметриялы өлшем болып табылады, ол ерекше жоғары табысты, ерекше төмен табыс сияқты тәуекелді деп есептейді. Жоғалтудан қашудың психологиялық құбылысы – инвесторлар пайдаға қарағанда шығынға көбірек мән береді деген идея, яғни тәуекел туралы біздің интуитивті түсінігіміз негізінен асимметриялық. Сондықтан, көптеген басқа тәуекел өлшемдері (мысалы, байланысты тәуекел өлшемдері) инвесторлардың нақты қалауларын жақсырақ көрсете алады. Қазіргі портфель теориясы сондай-ақ қайтарымдар Гаусс таралымын ұстанады деген болжамға байланысты сынға ұшырады. 1960 жылдары Бено Мандельброт пен Юджин Фама осы болжамның жеткіліксіздігін көрсетіп, оның орнына жалпырақ тұрақты таралымдарды пайдалануды ұсынды. Stefan Mittnik және Svetlozar Rachev мұндай жағдайларда оңтайлы портфельдерді құрудың стратегияларын ұсынды. Жақында Нассим Николас Талеб осы негізде қазіргі портфель теориясын сынға алып, былай деп жазды: Контрариандық және құндылық инвесторлары әдетте қазіргі портфель теориясына сене қоймайды. Бір қарсылық – MPT тиімді нарық гипотезасына сүйенеді және тәуекелді акциялар бағасының құбылуы ретінде қарастырады. Сэр Джон Темплтон әртараптандыру тұжырымдамасын қолдады, бірақ MPT-нің теориялық негіздері күмәнді деп санады және (биографы сипаттағандай) былай қорытындылады: «тарихи құбылмалылық сияқты сенімсіз және маңызсыз статистикалық деректерге негізделген портфельдерді құру идеясы сәтсіздікке ұшырауға тиіс». Бірнеше зерттеулер «наивті диверсификацияның», яғни капиталды қол жетімді инвестициялық мүмкіндіктер арасында тең бөлудің кейбір жағдайларда MPT-ге қарағанда артықшылықтары болуы мүмкін екенін көрсетті. Белгілі бір активтер жиынтығына қолданылғанда, Марковиц моделінің модельдің тұрақсыздығына бейімділігіне байланысты жеткіліксіз екені анықталды, мысалы, жоғары корреляцияланған активтер жиынтығында бұл қауіп туындауы мүмкін.

Despite its theoretical importance, critics of MPT question whether it is an ideal investment tool, because its model of financial markets does not match the real world in many ways. In practice, investors must substitute predictions based on historical measurements of asset return and volatility for these values in the equations. Very often such expected values fail to take account of new circumstances that did not exist when the historical data were generated. An optimal approach to capturing trends, which differs from Markowitz optimization by utilizing invariance properties, is also derived from physics. Instead of transforming the normalized expectations using the inverse of the correlation matrix, the invariant portfolio employs the inverse of the square root of the correlation matrix. The optimization problem is solved under the assumption that expected values are uncertain and correlated. The Markowitz solution corresponds only to the case where the correlation between expected returns is similar to the correlation between returns. More fundamentally, investors are stuck with estimating key parameters from past market data because MPT attempts to model risk in terms of the likelihood of losses, but says nothing about why those losses might occur. The risk measurements used are probabilistic in nature, not structural. This is a major difference as compared to many engineering approaches to risk management. Mathematical risk measurements are also useful only to the degree that they reflect investors' true concerns—there is no point minimizing a variable that nobody cares about in practice. In particular, variance is a symmetric measure that counts abnormally high returns as just as risky as abnormally low returns. The psychological phenomenon of loss aversion is the idea that investors are more concerned about losses than gains, meaning that our intuitive concept of risk is fundamentally asymmetric in nature. There many other risk measures (like coherent risk measures) might better reflect investors' true preferences. Modern portfolio theory has also been criticized because it assumes that returns follow a Gaussian distribution. Already in the 1960s, Benoit Mandelbrot and Eugene Fama showed the inadequacy of this assumption and proposed the use of more general stable distributions instead. Stefan Mittnik and Svetlozar Rachev presented strategies for deriving optimal portfolios in such settings. More recently, Nassim Nicholas Taleb has also criticized modern portfolio theory on this ground, writing:

Contrarian investors and value investors typically do not subscribe to Modern Portfolio Theory. One objection is that the MPT relies on the efficient market hypothesis and uses fluctuations in share price as a substitute for risk. Sir John Templeton believed in diversification as a concept, but also felt the theoretical foundations of MPT were questionable, and concluded (as described by a biographer): "the notion that building portfolios on the basis of unreliable and irrelevant statistical inputs, such as historical volatility, was doomed to failure." A few studies have argued that "naive diversification", splitting capital equally among available investment options, might have advantages over MPT in some situations. When applied to certain universes of assets, the Markowitz model has been identified by academics to be inadequate due to its susceptibility to model instability which may arise, for example, among a universe of highly correlated assets.

Ұзартулар

1952 жылы MPT енгізілгеннен бері модельді жақсартуға, әсіресе, шындыққа жақын болжамдарды қолдану арқылы көптеген талпыныстар жасалды. Постмодерн портфель теориясы MPT-ны қалыпқа келмейтін, асимметриялық және қалың құйрықты тәуекел өлшемдерін пайдалану арқылы кеңейтеді. Бұл кейбір мәселелерді шешуге көмектеседі, бірақ басқаларын шешпейді. Black-Litterman модельін оңтайландыру – бұл шектеусіз Марковиц оңтайландыруының кеңейтілген түрі, ол тәуекел және табысқа қатысты салыстырмалы және абсолютті «көзқарастарды» ескереді. Модель күтілетін табыстардың белгісіздігін ескеру арқылы да кеңейтіледі, және осы жағдайда корреляциялық матрица табыстар арасындағы корреляциялық матрицадан өзгеше болуы мүмкін. Сондай-ақ, төменгі дисперсиясы болғандықтан Y-ге инвестиция салуды ұсынуы мүмкін. Maccheroni және авторлар қазіргі портфель теориясына ең жақын, біртектілік аксиомасын қанағаттандыратын таңдау теориясын сипаттады. Орташа ауытқу талдауы – дисперсияны тиісті ауытқу тәуекелін өлшеумен алмастыру нәтижесінде туындаған рационалды таңдау теориясы.

Басқа қолданбалар

1970 жылдары МПТ-дан алынған түсініктер аймақтық ғылым саласына енді. Майкл Конрой бірнеше маңызды еңбектерінде экономикадағы еңбек күшін портфельдік теориялық әдістерді пайдаланып модельдеді, осы арқылы еңбек күшінің өсуі мен өзгеруін зерттеді. Бұдан кейін экономикалық өсім мен құбылмалылық арасындағы қатынасқа арналған кең ауқымды әдебиеттер жарық көрді. Соңғы кезде қазіргі портфельдік теория әлеуметтік психологияда өзіндік түсініктерді модельдеу үшін қолданылуда. Егер өзіндік түсініктерді құрайтын өзіндік қасиеттер жақсы диверсификацияланған портфельді құраса, онда көңіл-күй және өзіне деген сенім сияқты жеке деңгейдегі психологиялық нәтижелер, өзіндік түсінік диверсификацияланбаған жағдайдағыдан гөрі тұрақты болуы керек. Бұл болжам адамдарға қатысты жүргізілген зерттеулерде расталды. Жақында қазіргі портфельдік теория ақпаратты іздеудегі құжаттар арасындағы белгісіздік пен корреляцияны модельдеуге қолданылды. Сұраныс берілген кезде, мақсат – құжаттар тізімінің жалпы сәйкестігін барынша арттыру және сонымен бірге тізімнің жалпы белгісіздігін азайту.

Жоба портфельдері және басқа "қаржылық емес" активтер

Кейбір сарапшылар МТТ-ны жобалар портфелі және қаржы құралдарынан өзге де активтерге қолданады. МТТ-ны дәстүрлі қаржы портфельдерінен тыс қолданғанда, портфельдердің түрлері арасындағы кейбір ерекшеліктерді ескеру қажет. Қаржы портфельдеріндегі активтер, практикалық тұрғыдан алғанда, үздіксіз бөліне алады, ал жобалар портфелі "үзілісті" болады. Мысалы, 3 акция үшін оптималды портфель құрамы 44%, 35%, 21% деп есептесек, жобалар портфелінде жобаға жұмсалатын қаражатты өзгертуге мүмкіндік болмауы мүмкін. Жобалар толығымен орындалуы немесе орындалмауы мүмкін, немесе кем дегенде, бөліне алмайтын логикалық бөлімдерге ие болуы мүмкін. Портфельді оңтайландыру әдісі жобалардың дискретті сипатын ескеруі керек. Қаржы портфельдерінің активтері еркін айналымда болады, оларды кез келген уақытта бағалауға немесе қайта бағалауға болады. Бірақ жаңа жобаларды бастау мүмкіндігі шектеулі болуы мүмкін және белгілі бір уақыт аралығында ғана туындауы мүмкін. Басталған жобаларды тоқтатуға болмайды, өйткені бұл салған шығындардың жоғалуына әкеледі (яғни, жартылай аяқталған жобаны қалпына келтірудің немесе құтқарудың құны аз немесе мүлдем жоқ). Бұл факторлар МТТ-ны және осындай портфельдерді пайдалану мүмкіндігін жоққа шығармайды. Олар тек қана оңтайландыруды математикалық түрде берілген қосымша шектеулермен жүргізу қажеттігін көрсетеді, бұл шектеулер әдетте қаржы портфельдеріне қолданылмайды. Сонымен қатар, қазіргі портфель теориясының қарапайым элементтері кез келген портфель түріне қолданылады. Инвестордың тәуекелге төзімділігін, белгілі бір кіріс үшін қанша тәуекелге баруға дайын екенін анықтау тұжырымдамасы, шешімдерді талдаудың түрлі мәселелеріне қолданылуы мүмкін. МТТ тәуекелді өлшеу үшін тарихи дисперсияны пайдаланады, бірақ ірі жобалар сияқты активтер портфелінде анықталған "тарихи дисперсия" болмайды. Мұндай жағдайда, МТТ инвестициялық шекарасын "капитал құнынан төменгі рентабельділікке жететін мүмкіндік" немесе "инвестицияның жартысынан көбін жоғалту мүмкіндігі" сияқты жалпылама түсініктермен беруге болады. Егер тәуекел болжамдар мен ықтимал шығындар туралы белгісіздік ретінде қарастырылса, онда бұл тұжырымдама әртүрлі инвестиция түрлеріне ауыстырылады.

Some experts apply MPT to portfolios of projects and other assets besides financial instruments. When MPT is applied outside of traditional financial portfolios, some distinctions between the different types of portfolios must be considered. The assets in financial portfolios are, for practical purposes, continuously divisible while portfolios of projects are "lumpy". For example, while we can compute that the optimal portfolio position for 3 stocks is, say, 44%, 35%, 21%, the optimal position for a project portfolio may not allow us to simply change the amount spent on a project. Projects might be all or nothing or, at least, have logical units that cannot be separated. A portfolio optimization method would have to take the discrete nature of projects into account. The assets of financial portfolios are liquid; they can be assessed or re assessed at any point in time. But opportunities for launching new projects may be limited and may occur in limited windows of time. Projects that have already been initiated cannot be abandoned without the loss of the sunk costs (i. e., there is little or no recovery/salvage value of a half complete project). Neither of these necessarily eliminate the possibility of using MPT and such portfolios. They simply indicate the need to run the optimization with an additional set of mathematically expressed constraints that would not normally apply to financial portfolios. Furthermore, some of the simplest elements of Modern Portfolio Theory are applicable to virtually any kind of portfolio. The concept of capturing the risk tolerance of an investor by documenting how much risk is acceptable for a given return may be applied to a variety of decision analysis problems. MPT uses historical variance as a measure of risk, but portfolios of assets like major projects do not have a well defined "historical variance". In this case, the MPT investment boundary can be expressed in more general terms like "chance of an ROI less than cost of capital" or "chance of losing more than half of the investment". When risk is put in terms of uncertainty about forecasts and possible losses then the concept is transferable to various types of investment.