Введение

Математическая основа для оценки инвестиционных рисков

Современная теория портфеля (MPT), или анализ «среднее-дисперсия», представляет собой математическую основу для формирования портфеля активов, обеспечивающего максимальную ожидаемую доходность при заданном уровне риска. Это формализация и расширение концепции диверсификации в инвестировании, согласно которой владение различными видами финансовых активов менее рискованно, чем владение активами только одного типа. Ключевой идеей является то, что риск и доходность актива следует оценивать не изолированно, а с точки зрения его вклада в общий риск и доходность портфеля. Дисперсия доходности (или ее преобразование, стандартное отклонение) используется в качестве меры риска, поскольку она удобна для расчетов при объединении активов в портфели, однако существуют и другие, более сложные методы. Экономист Гарри Марковиц представил MPT в эссе 1952 года, за которое впоследствии был удостоен Нобелевской мемориальной премии по экономическим наукам; см. модель Марковица. В 1940 году Бруно де Финетти опубликовал метод анализа «среднее-дисперсия» в контексте пропорционального перестрахования, основываясь на более строгом предположении. Эта работа оставалась малоизвестной и стала доступна экономистам англоязычного мира только в 2006 году.

Диверсификация

Инвестор может снизить риск портфеля (в особенности) просто за счет владения комбинациями инструментов, которые не имеют полной положительной корреляции (коэффициент корреляции). Иными словами, инвесторы могут уменьшить свою подверженность риску отдельных активов, формируя диверсифицированный портфель. Диверсификация может позволить достичь той же ожидаемой доходности портфеля при более низком риске. Теоретическая основа среднего отклонения для построения оптимальных инвестиционных портфелей была впервые предложена Марковицем и впоследствии доработана и улучшена другими экономистами и математиками, которые учли ограничения этой основы. Если корреляция между всеми парами активов равна 0 – то есть они совершенно некоррелированы – дисперсия доходности портфеля будет равна сумме квадратов долей активов в портфеле, умноженных на дисперсию доходности каждого актива (а стандартное отклонение портфеля – квадратному корню этой суммы). Если корреляция между всеми парами активов равна 1 – то есть они полностью положительно коррелированы – стандартное отклонение доходности портфеля будет равно сумме стандартных отклонений доходности активов, взвешенных по их долям в портфеле. При заданных весах портфеля и стандартных отклонениях доходности активов, случай, когда все корреляции равны 1, приводит к максимально возможному стандартному отклонению доходности портфеля.

Теорема двух взаимных фондов

Одним из ключевых результатов вышеуказанного анализа является теорема о двух взаимных фондах. Эта теорема утверждает, что любой портфель на эффективной границе может быть сформирован путем комбинирования любых двух заданных портфелей, лежащих на этой границе; эти два заданных портфеля и являются "взаимными фондами", упомянутыми в названии теоремы. Следовательно, при отсутствии безрискового актива, инвестор может достичь любого желаемого эффективного портфеля, даже если в его распоряжении есть только пара эффективных взаимных фондов. Если целевой портфель на границе расположен между двумя взаимными фондами, оба фонда будут удерживаться в положительном объеме. Если же целевой портфель находится за пределами диапазона, определяемого двумя взаимными фондами, то один из фондов необходимо продать в шорт (то есть, держать в отрицательном объеме), а объем инвестиций в другой фонд должен превышать доступную сумму (дефицит покрывается за счет заимствования из первого фонда).

Критика

Несмотря на теоретическую важность, критики МПТ сомневаются в том, что это идеальный инвестиционный инструмент, поскольку его модель финансовых рынков во многих отношениях не соответствует реальному миру. На практике инвесторы должны заменять значения в уравнениях прогнозами, основанными на исторических измерениях доходности активов и волатильности. Зачастую такие ожидаемые значения не учитывают новые обстоятельства, которых не существовало на момент получения исторических данных. Оптимальный подход к выявлению трендов, отличающийся от оптимизации Марковица использованием свойств инвариантности, также заимствован из физики. Вместо преобразования нормализованных ожиданий с использованием обратной корреляционной матрицы, инвариантный портфель использует обратную квадратного корня корреляционной матрицы. Задача оптимизации решается при допущении, что ожидаемые значения неопределенны и коррелируют между собой. Решение Марковица соответствует лишь случаю, когда корреляция между ожидаемой доходностью сопоставима с корреляцией между доходностями. В корне, инвесторы вынуждены оценивать ключевые параметры на основе прошлых рыночных данных, поскольку МПТ пытается моделировать риск с точки зрения вероятности убытков, но не объясняет причины их возникновения. Используемые измерения риска носят вероятностный, а не структурный характер. Это существенное отличие от многих инженерных подходов к управлению рисками. Математические измерения риска полезны лишь в той мере, в которой они отражают истинные опасения инвесторов – нет смысла минимизировать переменную, которая на практике никого не интересует. В частности, дисперсия является симметричной мерой, считающей аномально высокую доходность столь же рискованной, как и аномально низкую. Психологический феномен неприятия потерь заключается в том, что инвесторы больше обеспокоены убытками, чем прибылью, что означает, что наше интуитивное понимание риска фундаментально асимметрично. В этом случае другие меры риска (например, когерентные меры риска) могли бы лучше отражать истинные предпочтения инвесторов. Современная теория портфеля также подвергается критике за предположение о том, что доходность следует нормальному (гауссову) распределению. Уже в 1960-х годах Бенуа Мандельброт и Юджин Фама показали несостоятельность этого предположения и предложили использовать более общие стабильные распределения. Стефан Миттник и Светлозар Рачев представили стратегии построения оптимальных портфелей в таких условиях. Недавно Нассим Николас Талеб также подверг критике современную теорию портфеля по этой причине, написав:

Контрарные и стоимостные инвесторы, как правило, не придерживаются современной теории портфеля. Одно из возражений заключается в том, что МПТ опирается на гипотезу эффективного рынка и использует колебания цен акций в качестве суррогата риска. Сэр Джон Темплтон верил в диверсификацию как концепцию, но также считал, что теоретические основы МПТ сомнительны, и пришел к выводу (как описано в его биографии): "идея о создании портфелей на основе ненадежных и нерелевантных статистических данных, таких как историческая волатильность, обречена на провал". Некоторые исследования показали, что "наивная диверсификация", то есть равномерное распределение капитала между доступными инвестиционными вариантами, может иметь преимущества перед МПТ в определенных ситуациях. При применении к определенным наборам активов модель Марковица была признана учеными неадекватной из-за ее подверженности нестабильности модели, которая может возникнуть, например, среди набора высококоррелированных активов.

Расширения

С момента введения МПТ в 1952 году было предпринято множество попыток улучшить модель, особенно путем использования более реалистичных предположений. Постмодернистская теория портфеля расширяет МПТ, используя ненормальные, асимметричные и "тяжелохвостые" меры риска. Это помогает решить некоторые из этих проблем, но не все. Оптимизация модели Блэка-Литермана является расширением неограниченной оптимизации Марковица, включающей относительные и абсолютные "взгляды" на входные данные по риску и доходности. Модель также расширяется, предполагая неопределенность ожидаемой доходности, при этом матрица корреляции может отличаться от матрицы корреляции доходностей, и может рекомендовать инвестировать в Y, основываясь на более низкой волатильности. Маккерони и др. описали теорию выбора, максимально приближенную к современной теории портфеля при соблюдении аксиомы монотонности. Альтернативно, анализ среднего отклонения представляет собой теорию рационального выбора, полученную путем замены дисперсии на соответствующую меру риска отклонения.

Другие применения

В 1970-х годах концепции из MPT проникли в область региональной науки. В серии основополагающих работ Майкл Конрой смоделировал трудовые ресурсы в экономике, используя методы теории портфеля для изучения роста и вариабельности рабочей силы. За этим последовала обширная литература, посвященная взаимосвязи между экономическим ростом и волатильностью. В последнее время современная теория портфеля стала применяться для моделирования самоконцепции в социальной психологии. Если атрибуты, составляющие самоконцепцию, формируют хорошо диверсифицированный портфель, то психологические показатели на уровне индивида, такие как настроение и самооценка, должны быть более устойчивыми, чем при недиверсифицированной самоконцепции. Это предсказание было подтверждено в исследованиях с участием людей. Недавно современная теория портфеля была применена для моделирования неопределенности и корреляции между документами в задачах информационного поиска. При заданном запросе целью является максимизация общей релевантности ранжированного списка документов и одновременная минимизация общей неопределенности этого списка.

Портфели проектов и другие "нефинансовые" активы

Некоторые эксперты применяют MPT к портфелям проектов и другим активам, помимо финансовых инструментов. При применении MPT к активам, отличным от традиционных финансовых портфелей, необходимо учитывать некоторые различия между этими типами портфелей. Активы в финансовых портфелях, по сути, непрерывно делимы, в то время как портфели проектов состоят из дискретных элементов. Например, мы можем рассчитать, что оптимальное распределение для портфеля из трех акций составляет 44%, 35% и 21% соответственно, однако оптимальное распределение в портфеле проектов может не позволить просто изменить объем финансирования проекта. Проекты могут быть реализованы полностью или не реализованы вовсе, либо, по крайней мере, состоять из логических блоков, которые нельзя разделить. Метод оптимизации портфеля должен учитывать дискретный характер проектов. Активы финансовых портфелей ликвидны; их можно оценить или переоценить в любой момент времени. Однако возможности для запуска новых проектов могут быть ограничены и возникать лишь в определенные периоды. Отказ от уже начатых проектов невозможен без потери вложенных средств (то есть стоимость незавершенного проекта, как правило, незначительна или отсутствует). Ни один из этих факторов не исключает возможности использования MPT для таких портфелей. Они лишь указывают на необходимость проведения оптимизации с дополнительным набором математически выраженных ограничений, которые обычно не применяются к финансовым портфелям. Более того, некоторые базовые принципы современной теории портфеля применимы практически к любому типу портфеля. Концепция определения склонности инвестора к риску путем оценки допустимого уровня риска для заданной доходности может быть применена к различным задачам анализа решений. MPT использует историческую дисперсию в качестве меры риска, но портфели активов, таких как крупные проекты, не имеют четко определенной "исторической дисперсии". В этом случае инвестиционная граница MPT может быть выражена в более общих терминах, например, как "вероятность получения доходности ниже стоимости капитала" или "вероятность потери более половины инвестиций". Когда риск выражается через неопределенность прогнозов и возможные потери, эта концепция становится применимой к различным видам инвестиций.