Кіріспе
Функцияның экстремумдарын табу әдісі
In calculus, a derivative test uses the derivatives of a function to locate the critical points of a function and determine whether each point is a local maximum, a local minimum, or a saddle point. Derivative tests can also give information about the concavity of a function. The usefulness of derivatives to find extrema is proved mathematically by Fermat's theorem of stationary points.
Математикалық анализде, туынды сынағы функцияның туындыларын функцияның тұрақ нүктелерін анықтау және әрбір нүкте жергілікті максимум, жергілікті минимум немесе шегі бар нүкте екенін білу үшін қолданылады. Туынды сынақтары функцияның дөңгелектігі туралы да ақпарат бере алады. Экстремумдарды табуда туындылардың тиімділігі Ферманың тұрақ нүктелері туралы теоремасымен математикалық тұрғыдан дәлелденген.
In calculus, a derivative test uses the derivatives of a function to locate the critical points of a function and determine whether each point is a local maximum, a local minimum, or a saddle point. Derivative tests can also give information about the concavity of a function. The usefulness of derivatives to find extrema is proved mathematically by Fermat's theorem of stationary points.
Бірінші туынды сынағы
Бірінші туынды сынағы функцияның монотонды қасиеттерін (функцияның өсу немесе кемуін) оның анықталу облысындағы нақты бір нүктеде қарастырады. Егер функция сол нүктеде өсуден кемуге өтетін болса, онда функция сол нүктеде ең жоғары мәніне жетеді. Сол сияқты, егер функция сол нүктеде кемуден өсуге өтетін болса, онда ол сол нүктеде ең төменгі мәніне жетеді. Егер функция өсуден немесе кемуден өспей, сол күйінде қалатын болса, онда ең жоғары немесе ең төменгі мәнге жетілмейді. Функцияның монотондылығын есептеусіз де анықтауға болады. Дегенмен, есептеу көбінесе тиімді, себебі жоғарыда аталған монотондылық қасиеттерін кепілдік ететін жеткілікті шарттар бар, және бұл шарттар көптеген функцияларға қолданылады.
Монотондық қасиеттерді нақты анықтау
Нақты айтқанда, f функциясын x нүктесін қамтитын ашық интервалда анықталған нақты мәнді функция деп есептейік және f функциясы x нүктесінде үздіксіз деп есептейік. Егер r > 0 оң сан болса және f функциясы интервалда әлсіз өсіп, интервалда әлсіз азаятын болса, онда f функциясы x нүктесінде жергілікті максимумға ие болады. Егер r > 0 оң сан болса және f функциясы интервалда қатаң түрде өсіп, интервалда қатаң түрде өсіп, онда f функциясы x нүктесінде жергілікті максимум немесе минимумға ие болмайды. Бірінші жағдайда f функциясы x нүктесінің сол жағында немесе оң жағында қатаң түрде өсуі немесе азаюы міндетті емес, ал соңғы жағдайда f функциясы қатаң түрде өсуі немесе қатаң түрде азаюы міндетті. Бұл себебі жергілікті максимум және минимум анықтамасында теңсіздік қатаң болуы талап етілмейді: мысалы, тұрақты функцияның кез келген мәні бір мезгілде жергілікті максимум және жергілікті минимум болып есептеледі.
Бірінші туынды сынағының нақты анықтамасы
Бірінші туынды сынағы "өсу-кему сынағына" байланысты, ол өзінің кезегінде орташа мән теоремасының салдары болып табылады. Бұл туындының қалай анықталғанының тікелей салдары және оның функцияның жергілікті азаюы мен өсуімен байланысы, бұл алдыңғы бөліммен біріктірілген. f функциясы – сындық нүкте a-ны қамтитын кейбір аралықта анықталған нақты айнымалының нақты мәнді функция деп есептейік. Сонымен қатар, f функциясы a нүктесінде үздіксіз және a-ны қамтитын ашық аралықта туындыланады, мүмкін a нүктесінің өзінде ғана. Егер r > 0 оң сан болса, онда (a − r, a) аралығындағы әр x үшін және (a, a + r) аралығындағы әр x үшін , онда f функциясы a нүктесінде жергілікті максимумға ие. Егер r > 0 оң сан болса, онда (a − r, a) аралығындағы әр x үшін және (a, a + r) аралығындағы әр x үшін , онда f функциясы a нүктесінде жергілікті минимумға ие. Егер r > 0 оң сан болса, онда (a − r, a) ∪ (a, a + r) аралығындағы әр x үшін , онда f функциясы a нүктесінде қатаң түрде өседі және онда жергілікті максимум да, жергілікті минимум да жоқ. Егер жоғарыда аталған шарттардың ешқайсысы орындалмаса, онда сынақ сәтсіз аяқталады. (Мұндай шарттар бос емес; алғашқы үш шарттың ешқайсысына да қанағаттандырмайтын функциялар бар, мысалы f(x) = x²sin(1/x)). Монотондық қасиеттер бөліміндегі түсініктемелерге сәйкес, бірінші екі жағдайда теңсіздік міндетті түрде қатаң болуы керек емес, ал үшінші жағдайда қатаң теңсіздік қажет.
Қолданбалар
Бірінші туынды сынағы физика, экономика және инженерлік салалардағы оптимизация мәселелерін шешуге көмектеседі. Экстремалды мәндер теоремасымен қатар, жабық және шектелген аралықта анықталған нақты мәнді функцияның абсолюттік максимумын және минимумын табу үшін қолданылуы мүмкін. Ілмекшелік, икемделу нүктелері және асимптоталар сияқты қосымша мәліметтермен бірге функцияның графигін салуға да пайдаланылады.
Екінші туынды сынағы (бір айнымалы)
Функцияның сынды нүктелерін анықтағаннан кейін, екінші туынды тестісі сол нүктелердегі екінші туындының мәнін пайдаланып, бұл нүктелердің жергілікті максимум немесе жергілікті минимум екенін анықтайды. Егер f функциясы x (яғни f'(x) = 0) сынды нүктеде екі рет дифференциалданатын болса, онда:
Егер f''(x) < 0 болса, f(x)-тың x нүктесінде жергілікті максимумы бар. Егер f''(x) > 0 болса, f(x)-тың x нүктесінде жергілікті минимумы бар. Егер f''(x) = 0 болса, тест нәтижесіз болады. Соңғы жағдайда, Тейлор теоремасы кейде f-тің x-ке жақын қалып-құрылысын жоғары туындыларды қолдану арқылы анықтау үшін пайдаланылуы мүмкін.
If , then has a local maximum at If , then has a local minimum at If , the test is inconclusive. In the last case, Taylor's Theorem may sometimes be used to determine the behavior of f near x using higher derivatives.
Қапшақтығы сынағы
Екінші туындылардың байланысты, бірақ ерекше қолданылуы – функцияның бір нүктеде дөңес немесе ойыс екенін анықтау. Дегенмен, ол инфлексиялық нүктелер туралы ақпарат бермейді. Нақтырақ айтқанда, екі рет дифференциалданатын f функциясы егер дөңес, ал егер ойыс болады. Егер , онда -ның екінші туындысы нөлге тең, бірақ ол инфлексиялық нүкте емес. Сондықтан, екінші туынды ғана берілген нүкте инфлексиялық нүкте екенін анықтау үшін жеткілікті ақпаратты қамтамасыз етпейді.
Көп айнымалы жағдай
Бірнеше айнымалысы бар функция үшін екінші туынды сынағы, функцияның Гессиан матрицасының критикалық нүктедегі өзіндік мәндеріне негізделген сынаққа айналады. Атап айтқанда, егер f функциясының барлық екінші реттік ішінара туындылары, x сындық нүктесінің айналасындағы аймақта үздіксіз болса, онда x нүктесіндегі Гессианның өзіндік мәндерінің бәрі оң болса, x жергілікті минимум болады. Егер өзіндік мәндердің бәрі теріс болса, онда x жергілікті максимум болады, ал егер кейбіреуі оң, ал кейбіреуі теріс болса, онда бұл нүкте шегініс нүктесі болады. Егер Гессиан матрицасы сингулярлы болса, екінші туынды сынағы нәтиже бермейді.