Кіріспе
Математикада Ньютон көпбұрышы – жергілікті өрістерде немесе жалпы алғанда ультраметрлік өрістерде көпбұрыштардың мінез-құлқын түсінуге арналған құрал. Бастапқы жағдайда қызығушылық тудырған жергілікті өріс негізінен X белгісізіндегі формальді Лоран қатарларының өрісі, яғни формальді қуат қатарлары сақинасының бөлшектері өрісі, болатын, мұндағы – нақты немесе кешенді сандар өрісі. Бұл Пуизо кеңейтулеріне қатысты әлі де маңызды пайдалы. Ньютон көпбұрышы – көпбұрыш сақинасындағы коэффициенттері бар көпбұрыштарға қатысты теңдеулердің қуат қатарлы шешімдеріндегі жетекші мүшелерді түсінудің тиімді құралы, яғни жасырын түрде анықталған алгебралық функциялар. Мұндағы көрсеткіштер таңдалған тармаққа байланысты белгілі бір рационалдық сандар болып табылады, ал шешімдердің өзі – тармаққа сәйкес келетін бөлім үшін мәнді құндылықтар қатары. Ньютон көпбұрышы есептеуге тиімді алгоритмдік тәсіл ұсынады. p-адикалық сандар енгізілгеннен кейін Ньютон көпбұрышы жергілікті өрістер үшін тармақталу мәселелерінде, сондай-ақ алгебралық сандар теориясында да тиімді екені көрсетілді. Ньютон көпбұрыштары эллиптік қисықтарды зерттеуде де қолданылады.
over , where was the real number or complex number field. This is still of considerable utility with respect to Puiseux expansions. The Newton polygon is an effective device for understanding the leading terms
of the power series expansion solutions to equations
where is a polynomial with coefficients in , the polynomial ring; that is, implicitly defined algebraic functions. The exponents here are certain rational numbers, depending on the branch chosen; and the solutions themselves are power series in
with for a denominator corresponding to the branch. The Newton polygon gives an effective, algorithmic approach to calculating
After the introduction of the p adic numbers, it was shown that the Newton polygon is just as useful in questions of ramification for local fields, and hence in algebraic number theory. Newton polygons have also been useful in the study of elliptic curves.
Симметриялық функцияның түсіндірмесі
Бағалау контекстінде бізге полином түбірлерінің элементарлық симметриялық функцияларының бағалары түрінде белгілі бір ақпарат беріледі және алгебралық жабылудағы нақты түбірлердің бағаларын анықтау қажет. Бұл мәселе тармақтану теориясымен де, сингулярлық теориямен де байланысты. Нютонның өзара байланыстары арқылы түбірлердің дәрежелік қосындыларының бағаларын табуға болады.
Тарих
Ньютон көпбұрыштары Исаак Ньютонның есімімен аталады, ол оларды алғаш рет сипаттаған және 1676 жылы Генри Ольденбургке жолдаған хатында олардың кейбір пайдалы тұстарын көрсеткен.