Введение
В математике, полигон Ньютона — это инструмент для понимания поведения полиномов в локальных полях, или, в более широком смысле, в ультраметрических полях. Изначально, локальным полем интереса было, по сути, поле формальных рядов Лорана относительно неопределённого X, то есть поле частных формального кольца степенных рядов над полем вещественных или комплексных чисел. Это по-прежнему полезно при работе с расширениями Пуэзо. Полигон Ньютона — эффективный инструмент для анализа старших членов в степенных разложениях решений уравнений вида , где — полином с коэффициентами в , кольце полиномов; то есть, неявно заданных алгебраических функций. Показатели здесь — определённые рациональные числа, зависящие от выбранной ветви, а сами решения — степенные ряды относительно , с знаменателем, соответствующим выбранной ветви. Полигон Ньютона предоставляет эффективный алгоритмический подход к вычислению . После введения p-адических чисел было показано, что полигон Ньютона столь же полезен при изучении вопросов разветвления для локальных полей и, следовательно, в алгебраической теории чисел. Полигоны Ньютона также оказались полезными при исследовании эллиптических кривых.
over , where was the real number or complex number field. This is still of considerable utility with respect to Puiseux expansions. The Newton polygon is an effective device for understanding the leading terms
of the power series expansion solutions to equations
where is a polynomial with coefficients in , the polynomial ring; that is, implicitly defined algebraic functions. The exponents here are certain rational numbers, depending on the branch chosen; and the solutions themselves are power series in
with for a denominator corresponding to the branch. The Newton polygon gives an effective, algorithmic approach to calculating
After the introduction of the p adic numbers, it was shown that the Newton polygon is just as useful in questions of ramification for local fields, and hence in algebraic number theory. Newton polygons have also been useful in the study of elliptic curves.
Пояснение симметрической функции
В контексте оценки мы располагаем некоторой информацией в виде значений элементарных симметричных функций корней многочлена и требуется найти значения самих корней в алгебраическом замыкании. Это связано как с теорией разбиений, так и с теорией особенностей. Единственно возможные обоснованные выводы касаются значений степенных сумм, посредством тождеств Ньютона.
История
Полигоны Ньютона названы в честь Исаака Ньютона, который впервые описал их и некоторые области их применения в письмах 1676 года, адресованных Генри Олденбургу.