Кіріспе

Математикада топологиялық сақина — сақина, сонымен қатар топологиялық кеңістік, мұнда қосу және көбейту операциялары үздіксіз бейнелеулер болып табылады:

мұнда өнім топологиясы қарастырылады. Яғни, бұл аддитивті топологиялық топ және мультипликативті топологиялық жартылай топ. Топологиялық сақиналар негізінен топологиялық өрістермен байланысты және оларды зерттеу барысында табиғи түрде туындайды, мысалы, топологиялық өрістің толықтырылуы өріс емес топологиялық сақина болуы мүмкін.

Жалпы ескертулер

Топологиялық сақинаның бірліктер тобы, егер ол өнімге енгізілуден туындаған топологиямен жабдықталса, топологиялық топ болады. Алайда, егер бірліктер тобының субкеңістік топологиясы қарастырылса, ол топологиялық топ болмауы мүмкін, себебі субкеңістік топологиясына қатысты инверсия үздіксіз болуы міндетті емес. Бұл жағдайға мысал – жаһандық өрістің Адель сақинасы; оның идель тобы деп аталатын бірліктер тобы субкеңістік топологиясында топологиялық топ емес. Егер инверсия субкеңістік топологиясында үздіксіз болса, онда бұл екі топология да бірдей болады. Егер сақинада міндетті түрде бірлік болуы талап етілмесе, қосымшаның керісінің үздіксіздігін қосу керек, немесе, балама ретінде, топологиялық сақинаны көбейту де үздіксіз болатын топологиялық топ (а) болып табылатын сақина ретінде анықтау керек.

Мысалдар

Топологиялық сақиналар математикалық талдауда кездеседі, мысалы, кейбір топологиялық кеңістікте үздіксіз нақты мәнді функциялар сақиналары түрінде (мұнда топология нүктелік жуықтасу арқылы беріледі) немесе кейбір нормаланған векторлық кеңістікте үздіксіз сызықтық операторлар сақиналары түрінде; барлық Банах алгебралары топологиялық сақиналар болып табылады. Рационал, нақты, кешенді және p-адық сандар да стандартты топологияларымен топологиялық сақиналар (сонымен қатар топологиялық өрістер, төменде қараңыз) болып табылады. Жазықтықта, бөлінген кешенді сандар мен дуалды сандар баламалы топологиялық сақиналарды құрайды. Басқа төмен өлшемді мысалдар үшін гиперкешенді сандарды қараңыз. Коммутативтік алгебрада келесі құрылым жиі қолданылады: коммутативтік сақинадағы идеал берілген жағдайда, I-адық топологиясы келесідей анықталады: I-дің кез келген ашық жиыны үшін, кез келген үшін, осындай табиғи сан бар, осылайша . Бұл сақинаны топологиялық сақинаға айналдырады. I-адық топологиясы Хаусдорфтық болып табылады, егер және тек қана барлық қуаттардың қиылысы нөлдік идеалға тең болса. I-адық топология бүтін сандардағы I-адық топологияның мысалы болып табылады (мұндағы I = p).

Топологиялық өрістер

Кейбір ең маңызды мысалдар – топологиялық өрістер. Топологиялық өріс – нөлдік емес элементтерінің инверсиясы үздіксіз функция болатын, сонымен қатар өріс болатын топологиялық сақина. Ең көп таралған мысалдар – кешенді сандар және оның барлық кіші өрістері, сондай-ақ адик өрістерді қамтитын бағаланған өрістер.