Введение

В математике топологическое кольцо — это кольцо, которое также является топологическим пространством, при этом сложение и умножение являются непрерывными отображениями: где наделено топологией произведения. Это означает, что является аддитивной топологической группой и мультипликативной топологической полугруппой. Топологические кольца тесно связаны с топологическими полями и возникают естественным образом при их изучении, поскольку, например, завершение топологического поля может являться топологическим кольцом, которое не является полем.

Общие замечания

Группа единиц топологического кольца является топологической группой, если ей наделена топология, порожденная вложением в произведение как . Однако, если группа единиц наделена топологией подпространства как подпространство, то она может не быть топологической группой, поскольку операция взятия обратного элемента не обязательно будет непрерывной относительно этой топологии подпространства. Примером такой ситуации является кольцо аделей глобального поля; его группа единиц, называемая группой иделей, не является топологической группой в топологии подпространства. Если операция взятия обратного элемента непрерывна в топологии подпространства, то эти две топологии совпадают. Если для кольца не требуется наличие единицы, то необходимо добавить требование непрерывности аддитивного обратного элемента, или, что эквивалентно, определить топологическое кольцо как кольцо, являющееся топологической группой (относительно сложения), в котором также непрерывно умножение.

Примеры

Топологические кольца встречаются в математическом анализе, например, как кольца непрерывных вещественнозначных функций на некотором топологическом пространстве (где топология задается поточечной сходимостью), или как кольца непрерывных линейных операторов на некотором нормированном векторном пространстве; все алгебры Банаха являются топологическими кольцами. Рациональные, действительные, комплексные и p-адические числа также являются топологическими кольцами (даже топологическими полями, см. ниже) со своими стандартными топологиями. В плоскости расщеплённые комплексные числа и двойственные числа образуют альтернативные топологические кольца. См. гиперкомплексные числа для других примеров малой размерности. В коммутативной алгебре распространено следующее построение: задан идеал I в коммутативном кольце R, I-адическая топология на R определяется следующим образом: подмножество U в R открыто тогда и только тогда, когда для каждого x из R существует натуральное число n такое, что x^n принадлежит U. Это превращает R в топологическое кольцо. I-адическая топология является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда пересечение всех степеней идеала I равно нулевому идеалу.

I-адическая топология на целых числах является примером I-адической топологии (с I = (p)).

Топологические поля

Некоторые из наиболее важных примеров — топологические поля. Топологическое поле — это топологическое кольцо, являющееся также полем, причём инверсия ненулевых элементов является непрерывной функцией. Наиболее распространёнными примерами служат комплексные числа и все их подполя, а также пополненные поля, включающие адические поля.