Кіріспе
Сандар теориясының бірнеше оқулықтары
Vorlesungen über Zahlentheorie (; неміс тілінде «Сандар теориясы бойынша лекциялар») – сандар теориясы бойынша жазылған бірнеше оқулықтың атауы. Ең белгілісі Питер Густав Лежун Дирихле мен Рихард Дедекинд еңбегі, ол 1863 жылы жарық көрген. Басқаларын Леопольд Кронекер, Эдмунд Ландау және Хельмут Хассе жазған. Олардың барлығы элементарлық сандар теориясы, Дирихле теоремасы, квадраттық өрістер мен формалар, сондай-ақ кейде одан да жоғары деңгейдегі тақырыптарды қамтиды.
Дирихле мен Дедекиндтің кітабы
Дирихлеттің Геттинген университетіндегі сандар теориясы бойынша лекциялары Дедекиндтің өңдеуімен жарық көрді және Лежен Дирихле қайтыс болғаннан кейін жарияланды. Дедекинд лекцияларға бірнеше қосымшалар енгізді, онда Лежен Дирихленің толықтыру нәтижелерін жинақтады, сонымен қатар өзінің жаңа математикалық ойларын жетілдірді.
Қолданылу аясы
Лекциялар элементар сандар теориясы, алгебралық сандар теориясы және аналитикалық сандар теориясы тақырыптарын қамтиды, оның ішінде модульдік арифметика, квадраттық келісімдер, квадраттық өзара байланыс және екілік квадраттық формалар қарастырылады.
Маңыздылық
Ферма, Якоби және Гаусс классикалық сан теориясы мен Дедекинд, Риман және Гильберттің қазіргі заманғы сан теориясы арасындағы шешуші кезең ретінде қарастырылуы мүмкін. Дирихлет қазіргі алгебраның орталық ұғымы болып табылатын топ ұғымын нақты түрде мойындамаса да, оның көптеген дәлелдері топ теориясын жасырын түсінуді көрсетеді. Vorlesungen сандар теориясындағы Дирихлет алғаш дәлелдеген екі маңызды нәтижені қамтиды. Біріншісі – екілік квадраттық формалар үшін класс сандарының формулалары. Екіншісі – арифметикалық прогрессиялар шексіз көп жай сандарды қамтиды деген дәлел (Дирихлет теоремасы деп белгілі); бұл дәлел Дирихлет L қатарларын енгізеді. Бұл нәтижелер аналитикалық сан теориясының дамуындағы маңызды этаптар болып табылады.
Кронекер кітабы
Леопольд Кронекердің кітабы алғаш рет 1901 жылы 2 томдық түрінде жарық көрді және 1978 жылы Springer баспасы тарапынан қайта басылды. Онда Дирихле теоремасы да бар, элементарлық және алгебралық сан теориясы қарастырылады.
Ландау кітабы
Эдмунд Ландаудың "Vorlesungen über Zahlentheorie" атты кітабы алғаш рет 1927 жылы 3 томдық жинақ ретінде жарық көрді. 1-томның бірінші жартысы "Vorlesungen über Zahlentheorie. Aus der elementare Zahlentheorie" деген атпен 1950 жылы жарияланды, ал 1958 жылы ағылшын тілінде "Elementary number theory" деген атаумен аудармасы шықты. 1969 жылы "Chelsea" баспасы 1-томның екінші жартысын 2- және 3-томдармен бірге бір том ретінде қайта басып шығарды. Элементарлық және қосымша сандар теориясы туралы 1-томда Дирихле теоремасы, Брунның иісі (сәулесі), бинарлық квадраттық формалар, Гольдбахтың болжамы, Уорингтің мәселесі және Харди-Литтлвудтың сингулярлық қатарлар бойынша жұмысы сияқты тақырыптар қарастырылады. 2-том аналитикалық сандар теориясының тақырыптарын, мысалы, жай сандар теоремасының қатесін бағалауды, және геометриялық сандар теориясының тақырыптарын, мысалы, торлық нүктелер санын бағалауды қамтиды. 3-том алгебралық сандар теориясын, оның ішінде идеалдар теориясын, квадраттық сандар денелерін және Ферманың соңғы теоремасына қолданылуын қамтиды. Ландау сипаттаған көптеген нәтижелер сол кездегі ең жетілген деңгейде болды, бірақ кейіннен одан да күшті нәтижелермен алмастырылды.
Vorlesungen über Zahlentheorie. Aus der elementare Zahlentheorie in 1950, with an English translation in 1958 under the title Elementary number theory. In 1969 Chelsea republished the second half of volume 1 together with volumes 2 and 3 as a single volume. Volume 1 on elementary and additive number theory includes the topics such as Dirichlet's theorem, Brun's sieve, binary quadratic forms, Goldbach's conjecture, Waring's problem, and the Hardy–Littlewood work on the singular series. Volume 2 covers topics in analytic number theory, such as estimates for the error in the prime number theorem, and topics in geometric number theory such as estimating numbers of lattice points. Volume 3 covers algebraic number theory, including ideal theory, quadratic number fields, and applications to Fermat's last theorem. Many of the results described by Landau were state of the art at the time but have since been superseded by stronger results.
Хассе кітабы
Гельмут Хасседің "Vorlesungen über Zahlentheorie" кітабы 1950 жылы жарық көрді, және ол "Zahlentheorie" кітабынан өзгеше, сондай-ақ одан қарапайым. Кітап элементар сандар теориясы, Дирихле теоремасы және квадраттық өрістерді қамтиды.