Введение
Vorlesungen über Zahlentheorie (; немецкий для лекций по теории чисел) – название нескольких различных учебников по теории чисел. Наиболее известный был написан Питером Густавом Лежуном Дирихле и Рихардом Дедекиндом и опубликован в 1863 году. Другие учебники были написаны Леопольдом Кронекером, Эдмундом Ландау и Гельмутом Хассе. Все они охватывают элементарную теорию чисел, теорему Дирихле, квадратичные поля и формы, а иногда и более сложные темы.
Vorlesungen über Zahlentheorie (; German for Lectures on Number Theory) is the name of several different textbooks of number theory. The best known was written by Peter Gustav Lejeune Dirichlet and Richard Dedekind, and published in 1863. Others were written by Leopold Kronecker, Edmund Landau, and Helmut Hasse. They all cover elementary number theory, Dirichlet's theorem, quadratic fields and forms, and sometimes more advanced topics.
Книга Дирихле и Дедекинда
Основываясь на курсе теории чисел, который Дирихле читал в Геттингенском университете, "Vorlesungen" были отредактированы Дедекиндом и опубликованы после смерти Лежена Дирихле. Дедекинд добавил к "Vorlesungen" несколько приложений, в которых собрал дополнительные результаты Лежена Дирихле, а также изложил собственные оригинальные математические идеи.
Область применения
В лекциях рассматриваются темы элементарной теории чисел, алгебраической теории чисел и аналитической теории чисел, в том числе модульная арифметика, квадратные сравнения, закон квадратичной взаимности и бинарные квадратичные формы.
Важность
Ворлесунгены можно рассматривать как водораздел между классической теорией чисел Ферма, Якоби и Гаусса и современной теорией чисел Дедекинда, Римана и Гильберта. Дирихле не формулирует явно понятие группы, центрального для современной алгебры, но многие его доказательства демонстрируют неявное понимание теории групп. В "Ворлесунге" содержатся два ключевых результата в теории чисел, впервые доказанные Дирихле. Первый из них – формулы для чисел классов двоичных квадратичных форм. Второй – доказательство того, что арифметические прогрессии содержат бесконечно много простых чисел (известное как теорема Дирихле); в этом доказательстве вводятся L-функции Дирихле. Эти результаты являются важными вехами в развитии аналитической теории чисел.
Книга Кронекера
Книга Леопольда Кронекера была впервые опубликована в 1901 году в двух частях и переиздана Springer в 1978 году. Она охватывает элементарную и алгебраическую теорию чисел, включая теорему Дирихле.
Книга Ландау
Книга Эдмунда Ландау «Vorlesungen über Zahlentheorie» была впервые опубликована в виде 3-томного издания в 1927 году. Первая половина первого тома была опубликована как «Vorlesungen über Zahlentheorie. Aus der elementare Zahlentheorie» в 1950 году, с английским переводом в 1958 году под названием «Elementary number theory». В 1969 году издательство Chelsea переиздало вторую половину первого тома вместе со вторым и третьим томами в одном объеме. Первый том, посвященный элементарной и аддитивной теории чисел, включает такие темы, как теорема Дирихле, сито Бруна, бинарные квадратичные формы, гипотеза Гольдбаха, проблема Варинга и работы Харди — Литтлвуда по сингулярным рядам. Во втором томе рассматриваются темы аналитической теории чисел, такие как оценки погрешности в теореме о простых числах, а также темы геометрической теории чисел, такие как оценка количества точек решетки. Третий том посвящен алгебраической теории чисел, включая теорию идеалов, квадратичные числовые поля и приложения к последней теореме Ферма. Многие из результатов, описанных Ландау, были на тот момент самыми современными, но впоследствии были превзойдены более строгими результатами.
Vorlesungen über Zahlentheorie. Aus der elementare Zahlentheorie in 1950, with an English translation in 1958 under the title Elementary number theory. In 1969 Chelsea republished the second half of volume 1 together with volumes 2 and 3 as a single volume. Volume 1 on elementary and additive number theory includes the topics such as Dirichlet's theorem, Brun's sieve, binary quadratic forms, Goldbach's conjecture, Waring's problem, and the Hardy–Littlewood work on the singular series. Volume 2 covers topics in analytic number theory, such as estimates for the error in the prime number theorem, and topics in geometric number theory such as estimating numbers of lattice points. Volume 3 covers algebraic number theory, including ideal theory, quadratic number fields, and applications to Fermat's last theorem. Many of the results described by Landau were state of the art at the time but have since been superseded by stronger results.
Книга Хассе
Книга Гельмута Хассе «Vorlesungen über Zahlentheorie» была опубликована в 1950 году и отличается от его книги «Zahlentheorie», будучи более элементарной. В ней рассматриваются элементарная теория чисел, теорема Дирихле и квадратичные поля.