Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Америкалық математик (1943 жылы туған)
American mathematician (born 1943)
Ричард Стрейт Гамильтон (1943 жылғы 10 қаңтарда туған) – Колумбия университетінің математика профессоры. Ол геометриялық талдау және дербес дифференциалдық теңдеулер саласына қосқан үлесімен танымал. Гамильтон Риччи ағыны теориясына негізгі үлес қосып, геометриялық топология саласындағы Пуанкаре болжамын және геометриялық болжамды шешуге арналған техникалар мен идеялардың бағдарламасын жасауымен әйгілі. Григорий Перельман Гамильтонның нәтижелерін пайдаланып, бұл болжамдарды дәлелдеді және өз жұмысы үшін Мыңжылдық сыйлығына ие болды. Бірақ Перельман Гамильтонның үлесін өзінікімен тең деп санап, сыйлықтан бас тартты.
Richard Streit Hamilton (born 10 January 1943) is an American mathematician who serves as the Davies Professor of Mathematics at Columbia University. He is known for contributions to geometric analysis and partial differential equations. Hamilton is best known for foundational contributions to the theory of the Ricci flow and the development of a corresponding program of techniques and ideas for resolving the Poincaré conjecture and geometrization conjecture in the field of geometric topology. Grigori Perelman built upon Hamilton's results to prove the conjectures, and was awarded a Millennium Prize for his work. However, Perelman declined the award, regarding Hamilton's contribution as being equal to his own.
Өмірбаян
Гамильтон 1963 жылы Йель университетінен бакалавр, ал 1966 жылы Принстон университетінен докторлық диссертациясын қорғады. Оның диссертациясын Роберт Ганнинг жетекшілік етті. Ол Калифорния университетінде (Ирвин), Калифорния университетінде (Сан-Диего), Корнелл университетінде және Колумбия университетінде оқытумен айналысты. Гамильтонның математикалық еңбектері негізінен дифференциалдық геометрия және оның ішіндегі геометриялық талдау саласында. Ол Риччи ағынын ашқанымен және Григорий Перельманның Уильям Турстонның геометриялық болжамын және Пуанкаре болжамын дәлелдеуіне әкелген зерттеу бағдарламасын бастағанымен ең жақсы танымал. Риччи ағыны бойынша жұмысы үшін Гамильтон 1996 жылы геометрия саласындағы Освальд Веблен сыйлығымен және 2003 жылы Клей зерттеу сыйлығымен марапатталды. 1999 жылы Ұлттық ғылым академиясының, ал 2003 жылы Америка өнер және ғылым академиясының мүшесі болып сайланды. Ол сондай-ақ 2009 жылы зерттеу саласына елеулі үлес қосқаны үшін AMS Лерой П. Стил сыйлығын алды, бұл сыйлық 1982 жылғы «Оң Риччи қисықтығы бар үш манифольд» атты мақаласы үшін берілді, онда ол Риччи ағынын енгізіп, талдады. 2010 жылдың наурыз айында Клей математикалық институты Пуанкаре болжамын Мыңжылдық сыйлық проблемаларының тізіміне қосып, 2003 жылы осы болжамды дәлелдегені үшін Перельманға бір миллион АҚШ доллары сыйлады. 2010 жылдың шілдесінде Перельман сыйлықтан және ақшалай сыйлықтан бас тартты, өйткені ол Пуанкаре болжамын дәлелдеудегі өзінің үлесі Гамильтонның, шешімді табу бағдарламасын жасаған ғалымның үлесінен кем емес деп есептеді. 2011 жылдың маусым айында миллион долларлық Шоу сыйлығы Гамильтон мен Деметриос Христодулу арасында тең бөлінетіні жарияланды, олар «Лоренц және Риман геометриясындағы сызықтық емес бөлшектік дифференциалдық теңдеулер бойынша жаңашылдығы жоғары еңбектері және олардың жалпы салыстырмалылық теориясы мен топологияға қолданылуы үшін» марапатталды. 2022 жылы Гамильтон Гавайи университетінің Маноа қаласындағы адъюнкт профессор болып жұмысқа орналасты.
Hamilton received his B. A. in 1963 from Yale University and Ph. D. in 1966 from Princeton University. Robert Gunning supervised his thesis. He has taught at University of California, Irvine, University of California, San Diego, Cornell University, and Columbia University. Hamilton's mathematical contributions are primarily in the field of differential geometry and more specifically geometric analysis. He is best known for having discovered the Ricci flow and starting a research program that ultimately led to the proof, by Grigori Perelman, of William Thurston's geometrization conjecture and the Poincaré conjecture. For his work on the Ricci flow, Hamilton was awarded the Oswald Veblen Prize in Geometry in 1996 and the Clay Research Award in 2003. He was elected to the National Academy of Sciences in 1999 and the American Academy of Arts and Sciences in 2003. He also received the AMS Leroy P. Steele Prize for Seminal Contribution to Research in 2009, for his 1982 article Three manifolds with positive Ricci curvature, in which he introduced and analyzed the Ricci flow. In March 2010, the Clay Mathematics Institute, having listed the Poincaré conjecture among their Millennium Prize Problems, awarded Perelman with one million USD for his 2003 proof of the conjecture. In July 2010, Perelman turned down the award and prize money, saying that he believed his contribution in proving the Poincaré conjecture was no greater than that of Hamilton, who had developed the program for the solution. In June 2011, it was announced that the million dollar Shaw Prize would be split equally between Hamilton and Demetrios Christodoulou "for their highly innovative works on nonlinear partial differential equations in Lorentzian and Riemannian geometry and their applications to general relativity and topology." In 2022, Hamilton joined University of Hawaiʻi at Mānoa as an adjunct professor.
Математикалық жұмыс
2022 жылға дейін Гамильтон қырық алты ғылыми мақаланың авторы болды, олардың шамамен қырығы геометриялық ағымдар саласында жазылған.
As of 2022, Hamilton has been the author of forty six research articles, around forty of which are in the field of geometric flows.
Жылу теңдеулері үшін Харнак теңсіздіктері
1986 жылы Питер Ли мен Шинг Тунг Яу жылу теңдеуінің шешімдерін бақылау үшін максимум принципін қолданудың жаңа әдісін тапты. Басқа нәтижелердің ішінде, олар егер жабық Риманн көптүгіндегі жағымсыз емес Риччи қисықтығында жылу теңдеуінің оң шешімі u болса, онда кез келген жанама вектор v үшін
In 1986, Peter Li and Shing Tung Yau discovered a new method for applying the maximum principle to control the solutions of the heat equation. Among other results, they showed that if one has a positive solution u of the heat equation on a closed Riemannian manifold of nonnegative Ricci curvature, then one has
теңсіздігі орындалады. Мұндай теңсіздіктер «дифференциалдық Харнак теңсіздіктері» немесе «Ли–Яу теңсіздіктері» деп белгілі, себебі оларды кез келген екі нүктенің арасындағы жолдар бойынша интегралдау арқылы u-дың мәнін салыстыруға болады. v-ді нөлге тең қою арқылы u туралы нүктелік ақпаратты да алуға болады. 1993 жылы Гамильтон Ли мен Яудың есептеулерін олардың дифференциалдық Харнак теңсіздігі күшті матрицалық теңсіздіктің салдары екенін көрсету үшін кеңейтуге болатынын көрсетті. Оның нәтижесі үшін жабық Риманн көптүгінің жағымсыз емес қималық қисықтығы және параллель Риччи тензоры (мысалы, жалпақ тор немесе күрделі проективті кеңістіктегі Фубини–Студи метрикасы) болуы керек, әйтпесе ол сәл әлсіз нәтижеге қол жеткізді. Мұндай матрицалық теңсіздіктер кейде Ли–Яу–Гамильтон теңсіздіктері деп аталады. Гамильтон сондай-ақ Ли–Яу әдістемесін Риччи ағынына бейімдеуге болатынын анықтады. Екі өлшемді көптүрліліктер үшін ол Ли мен Яудың есептеуін Риччи ағыны бойымен скалярлық қисықтыққа тікелей бейімдеуге болатынын көрсетті. Жалпы өлшемдерде ол қисықтық операторы жағымсыз емес болған жағдайда, Риман қисықтық тензоры формальды түрде Ли–Яу теңсіздігінің матрицалық кеңейтуіне ұқсас күрделі теңсіздікті қанағаттандыратынын көрсетті. Алгебралық салдарынан, скалярлық қисықтық Ли мен Яу теңсіздігіне өте ұқсас теңсіздікті қанағаттандырады. Бұл факт Гамильтон мен Перелманның Риччи ағынын одан әрі зерттеуінде кеңінен қолданылады. Кейін Гамильтон өзінің Ли–Яу бағасын Риччи ағыны үшін орташа қисықтық ағынына бейімдеді, себебі геометрия екінші түбір формамен басқарылады, ол Риман қисықтық тензорынан қарапайым құрылымға ие. Қатаң дөңестікті талап ететін Гамильтон теоремасы, Герхард Хьюискен мен Карло Синестраридің дөңестік бағалауларына байланысты орташа қисықтық ағынының белгілі бір ерекшеліктеріне табиғи түрде қолданылады.
for any tangent vector v. Such inequalities, known as "differential Harnack inequalities" or "Li–Yau inequalities," are useful since they can be integrated along paths to compare the values of u at any two spacetime points. They also directly give pointwise information about u, by taking v to be zero. In 1993, Hamilton showed that the computations of Li and Yau could be extended to show that their differential Harnack inequality was a consequence of a stronger matrix inequality. His result required the closed Riemannian manifold to have nonnegative sectional curvature and parallel Ricci tensor (such as the flat torus or the Fubini–Study metric on complex projective space), in the absence of which he obtained with a slightly weaker result. Such matrix inequalities are sometimes known as Li–Yau–Hamilton inequalities. Hamilton also discovered that the Li–Yau methodology could be adapted to the Ricci flow. In the case of two dimensional manifolds, he found that the computation of Li and Yau can be directly adapted to the scalar curvature along the Ricci flow. In general dimensions, he showed that the Riemann curvature tensor satisfies a complicated inequality, formally analogous to his matrix extension of the Li–Yau inequality, in the case that the curvature operator is nonnegative. As an immediate algebraic consequence, the scalar curvature satisfies an inequality which is almost identical to that of Li and Yau. This fact is used extensively in Hamilton and Perelman's further study of Ricci flow. Hamilton later adapted his Li–Yau estimate for the Ricci flow to the setting of the mean curvature flow, which is slightly simpler since the geometry is governed by the second fundamental form, which has a simpler structure than the Riemann curvature tensor. Hamilton's theorem, which requires strict convexity, is naturally applicable to certain singularities of mean curvature flow due to the convexity estimates of Gerhard Huisken and Carlo Sinestrari.
Нэш-Мозер теоремасы
1956 жылы Джон Нэш Римандық сан алуандықтарды Евклид кеңістігіне тегіс изометриялық түрде енгізу мәселесін шешті. Оның дәлелінің негізінде жаңа "шағын бұзылыс" нәтижесі жатты, яғни егер Риман метрикасы белгілі бір тәсілмен изометриялық түрде енгізілсе, онда кез келген жақын Риман метрикасы да изометриялық түрде енгізіле алады. Мұндай нәтиже жасырын функция теоремасын еске салады, сондықтан көптеген авторлар дәлелдің логикасын жалпы теореманың шеңберіне енгізуге тырысты. Бұл теоремалар қазір Нэш-Мозер теоремалары деп аталады. 1982 жылы Гамильтон Нэштің ой-пікірін жариялап, теореманы бақыланатын Фреше кеңістіктерінің аясында тұжырымдады; функцияларды реттеу үшін Фурье түрлендірмесін шектеуді пайдалануды Нэш негізгі есептеуін Гамильтон Банах кеңістіктерінде экспоненциалды түрде кемитін тізбектерге абстракциялады. Оның бұл тұжырымдамасы кейіннен кеңінен қолданылып, сілтеме жасалды. Ол оны геометриялық эволюция теңдеулері үшін жалпы жарату және бірегейлік теоремасын дәлелдеу үшін өзі де қолданды; стандартты жасырын функция теоремасы диффеоморфизм тобының әрекетінен туындаған дегенерацияларға байланысты мұндай жағдайларда көбінесе қолданылмайды. Атап айтқанда, Риччи ағынының дұрыс шешілуі Гамильтонның жалпы нәтижесінен туындайды. Денис ДеТурк Риччи ағынының нақты жағдайы үшін қарапайым дәлел келтіргенімен, Гамильтонның нәтижесі ДеТурк әдісі қолжетімсіз басқа геометриялық ағымдар үшін де қолданылды.
In 1956, John Nash resolved the problem of smoothly isometrically embedding Riemannian manifolds in Euclidean space. The core of his proof was a novel "small perturbation" result, showing that if a Riemannian metric could be isometrically embedded in a certain way, then any nearby Riemannian metric could be isometrically embedded as well. Such a result is highly reminiscent of an implicit function theorem, and many authors have attempted to put the logic of the proof into the setting of a general theorem. Such theorems are now known as Nash–Moser theorems. In 1982, Hamilton published his formulation of Nash's reasoning, casting the theorem into the setting of tame Fréchet spaces; Nash's fundamental use of restricting the Fourier transform to regularize functions was abstracted by Hamilton to the setting of exponentially decreasing sequences in Banach spaces. His formulation has been widely quoted and used in the subsequent time. He used it himself to prove a general existence and uniqueness theorem for geometric evolution equations; the standard implicit function theorem does not often apply in such settings due to the degeneracies introduced by invariance under the action of the diffeomorphism group. In particular, the well posedness of the Ricci flow follows from Hamilton's general result. Although Dennis DeTurck gave a simpler proof in the particular case of the Ricci flow, Hamilton's result has been used for some other geometric flows for which DeTurck's method is inaccessible.
Гармоникалық картаның жылу ағыны
1964 жылы Джеймс Элс және Джозеф Сэмпсон гармоникалық картаның жылу ағынын зерттеуді бастады. Ағынға қатысты жинақталу теоремасын қолдана отырып, жабық көпқұрылымнан оң емес қисықтығы бар жабық көпқұрылымға дейінгі кез келген тегіс картаны гармоникалық картаға деформациялауға болатынын көрсетті. 1975 жылы Гамильтон осы ағынға қатысты шекаралық мәселелерді қарастырып, Дирихле және Нейман шарттары үшін Элс пен Сэмпсонның нәтижесіне ұқсас теореманы дәлелдеді. Бұл жағдайда мәселенің аналитикалық жағы күрделі, себебі Элс пен Сэмпсонның параболалық Бохнер формуласына қолданған максимум принципін тікелей қолдану мүмкін емес, өйткені шекарадағы градиент мөлшері шекаралық шарттармен автоматты түрде бақыланбайды. Гамильтонның шекаралық мәселелерге қатысты шешімдерінің шектерін, шекаралардың үлкейтілуімен қарастырып, Рихард Шоэн мен Шинг Тунг Яу толық Риманн көпқұрылымынан оң емес қисықтығы бар жабық Риманн көпқұрылымына дейінгі шекті энергиясы бар картаны шекті энергиясы бар гармоникалық картаға деформациялауға болатынын анықтады. Элс пен Сэмпсонның жоғалу теоремасын әртүрлі геометриялық жағдайларда кеңейте отырып, олар керемет геометриялық қорытындыларға келді, мысалы, егер (M, g) теріс емес Риччи қисықтығы бар толық Риманн көпқұрылымы болса, онда тегіс және қарапайым байланысқан шекарасы бар кез келген алдын ала жиналған ашық жиын D үшін, D-нің негізгі тобынан оң емес қисықтығы бар жабық Риманн көпқұрылымының негізгі тобына тривиальді емес гомоморфизм болмайды.
In 1964, James Eells and Joseph Sampson initiated the study of harmonic map heat flow, using a convergence theorem for the flow to show that any smooth map from a closed manifold to a closed manifold of nonpositive curvature can be deformed to a harmonic map. In 1975, Hamilton considered the corresponding boundary value problem for this flow, proving an analogous result to Eells and Sampson's for the Dirichlet condition and Neumann condition. The analytic nature of the problem is more delicate in this setting, since Eells and Sampson's key application of the maximum principle to the parabolic Bochner formula cannot be trivially carried out, due to the fact that size of the gradient at the boundary is not automatically controlled by the boundary conditions. By taking limits of Hamilton's solutions of the boundary value problem for increasingly large boundaries, Richard Schoen and Shing Tung Yau observed that a finite energy map from a complete Riemannian manifold to a closed Riemannian manifold of nonpositive curvature could be deformed into a harmonic map of finite energy. By proving extension of Eells and Sampson's vanishing theorem in various geometric settings, they were able to draw striking geometric conclusions, such as that if (M, g) is a complete Riemannian manifold of nonnegative Ricci curvature, then for any precompact open set D with smooth and simply connected boundary, there cannot exist a nontrivial homomorphism from the fundamental group of D into any group which is the fundamental group of a closed Riemannian manifold of nonpositive curvature.
Орташа қисықтық ағыны
1986 жылы Гамильтон мен Майкл Гейдж Гамильтонның Нэш-Мозер теоремасын және параболалық теңдеулер үшін жақсы қойылғандық туралы нәтижені пайдаланып, орташа қисықтық ағыны үшін жақсы қойылғандығын дәлелдеді; олар жабық көпқырлының тегіс Риман көпқырлысына енгізілуінің бір параметрлі отбасының жалпы жағдайын қарастырды. Содан кейін олар екі өлшемді Евклид кеңістігіне S^(1) шеңберінің енгізілуіне назар аударды, бұл қисық қысқарту ағынының ең қарапайым түрі. Қисықтағы екі нүкте арасындағы қашықтыққа қолданылатын максимум принципін қолдана отырып, олар бастапқы енгізілу кіріктіру болса, орташа қисықтық ағынындағы болашақ енгізілулердің барлығы да кіріктіру болады екенін көрсетті. Сонымен қатар, қисықтардың дөңестігі болашақта сақталады. Гейдж бен Гамильтонның негізгі нәтижесі – кез келген тегіс S^(1) → ℝ^(2) кіріктіруі, егер дөңес болса, сәйкес орташа қисықтық ағыны шекті уақытқа дейін бар, ал уақыт максималды мәніне жақындағанда қисықтар асимптотикалық түрде кішірейіп, дөңгелекке жақындайды. Олар Гейджтің бұрынғы нәтижелерін, сондай-ақ Боннесеннің теңсіздігі сияқты қисықтарға қатысты бірнеше арнайы нәтижелерді пайдаланды. 1987 жылы Мэтью Грейсон толықтыратын нәтижені дәлелдеді, яғни кез келген тегіс S^(1) → ℝ^(2) кіріктіруі үшін сәйкес орташа қисықтық ағыны ақырында дөңес болады. Гейдж бен Гамильтонның нәтижесімен біріктірілгенде, ℝ^(2) кеңістігіндегі кіріктірілген шеңберлердің орташа қисықтық ағынының асимптотикалық мінез-құлқының толық сипаттамасы алынады. Бұл нәтиже кейде Гейдж-Гамильтон-Грейсон теоремасы деп аталады. ℝ^(2) кеңістігіндегі кез келген циклді дөңгелек шеңберге айналдыру үшін осындай жүйелі және геометриялық анықталған тәсілдің болуы таң қалдырады. Гейдж-Гамильтон және Грейсонның нәтижелерін қазіргі заманғы түсінік көбінесе екі жағдайды бірдей қарастырады, кез келген қисықтың дөңес болатынын көрсетудің және дөңес қисықтардың мінез-құлқын бөлек зерттеудің қажеті жоқ. Олардың нәтижелерін орташа қисықтық ағынынан басқа жағдайларға да қолдануға болады.
In 1986, Hamilton and Michael Gage applied Hamilton's Nash–Moser theorem and well posedness result for parabolic equations to prove the well posedness for mean curvature flow; they considered the general case of a one parameter family of immersions of a closed manifold into a smooth Riemannian manifold. Then, they specialized to the case of immersions of the circle S^(1) into the two dimensional Euclidean space ℝ^(2), which is the simplest context for curve shortening flow. Using the maximum principle as applied to the distance between two points on a curve, they proved that if the initial immersion is an embedding, then all future immersions in the mean curvature flow are embeddings as well. Furthermore, convexity of the curves is preserved into the future. Gage and Hamilton's main result is that, given any smooth embedding S^(1) → ℝ^(2) which is convex, the corresponding mean curvature flow exists for a finite amount of time, and as the time approaches its maximal value, the curves asymptotically become increasingly small and circular. They made use of previous results of Gage, as well as a few special results for curves, such as Bonnesen's inequality. In 1987, Matthew Grayson proved a complementary result, showing that for any smooth embedding S^(1) → ℝ^(2), the corresponding mean curvature flow eventually becomes convex. In combination with Gage and Hamilton's result, one has essentially a complete description of the asymptotic behavior of the mean curvature flow of embedded circles in ℝ^(2). This result is sometimes known as the Gage–Hamilton–Grayson theorem. It is somewhat surprising that there is such a systematic and geometrically defined means of deforming an arbitrary loop in ℝ^(2) into a round circle. The modern understanding of the results of Gage–Hamilton and of Grayson usually treat both settings at once, without the need for showing that arbitrary curves become convex and separately studying the behavior of convex curves. Their results can also be extended to settings other than the mean curvature flow.
Риччи ағыны
Гамильтон параболалық бөлшектік дифференциалдық теңдеулер үшін максималды принципті симметриялық 2 тензорлардың параболалық бөлшектік дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын жағдайына дейін кеңейтті. Ол мұны жылу теңдеуін қанағаттандыратын жабық көптүрліліктегі векторлық буып-түйеудің параметрге тәуелді қимасының жалпы жағдайына енгізді, соның нәтижесінде күшті және әлсіз формулировкалар алынды. Осы негізгі техникалық жетістіктердің ішінара нәтижесінде Гамильтон Риччи ағынының үш өлшемді жабық Риманн көптүрліліктеріндегі оң Риччи қисықтығы және теріс емес Риччи қисықтығы, төрт өлшемді жабық Риманн көптүрліліктеріндегі оң немесе теріс емес қисықтық операторы, және екі өлшемді жабық Риманн көптүрліліктеріндегі теріс емес Эйлер сипаттамасы немесе оң қисықтық бойынша қалай өтетінін толыққанды түсіндіре алды. Әр жағдайда, тиісті нормалаудан кейін Риччи ағыны берілген Риманн метрикасын тұрақты қисықтыққа деформациялайды. Бұл өте қарапайым тікелей салдарларға ие, мысалы, оң қисықтығы бар Риманн метрикасын қабылдайтын кез келген жабық тегіс 3-көптүрлілік, тұрақты оң қисақтық қисықтығы бар Риманн метрикасын да қабылдайды. Мұндай нәтижелер мұндай көптүрліліктердің топологиясын күшті шектеуімен ерекшеленеді; оң қисықтығы бар кеңістіктік формалар көбінесе түсініледі. Басқа да салдарлар бар, мысалы, жабық тегіс 3-көптүрліліктегі оң Риччи қисықтығы бар Риманн метрикаларының топологиялық кеңістігі жолмен байланысты. Гамильтонның бұл "конвергенция теоремалары" кейінгі авторлармен 2000-шы жылдары Риман геометриясында 1960 жылдан бері маңызды болжам болған дифференциалдық сфера теоремасын дәлелдеу үшін кеңейтілді. 1995 жылы Гамильтон Джефф Чигердің Риман көптүрліліктері үшін ықшамдық теориясын кеңейтіп, Риччи ағындарының тізбектері үшін ықшамдық теоремасын берді. Риччи ағыны берілген жабық көптүрлілікте шекті уақыт сингулярлығы бар болған жағдайда, Гамильтон сингулярлықтың айналасында масштабтау әдістерін әзірледі, нәтижесінде Риччи ағындарының тізбегі пайда болды; ықшамдық теория Риччи ағынының шегінің болуын қамтамасыз етеді, ол сингулярлық нүкте айналасында Риччи ағынының шағын масштабты геометриясын модельдейді. Гамильтон өзінің максимум принциптерін қолданып, жабық үш өлшемді көптүрліліктегі кез келген Риччи ағыны үшін секциялық қисықтықтың ең кіші мәні оның ең үлкен мәнімен салыстырғанда кіші екенін дәлелдеді. Бұл Гамильтон-Иви бағалауы деп аталады; ол үш өлшемнен тыс шартты болжамдарсыз сақталатын қисықтық теңсіздігі ретінде маңызды. Маңызды салдары – үш өлшемде ықшамдық теориясы бойынша алынған Риччи ағыны автоматты түрде теріс емес қисықтыққа ие. Осылайша, Гамильтонның Харнак теңсіздігі Риччи ағынының шегіне қолданылады. Бұл әдістерді Григорий Перельман кеңейтті, ол өзінің "құламайтын теоремасы" арқасында Гамильтонның ықшамдық теориясын бірқатар кеңейтілген жағдайларда қолдана алды. 1997 жылы Гамильтон оң изотроптық қисықтығы бар төрт өлшемді Риманн көптүрліліктері үшін "хирургиямен Риччи ағынын" анықтауға арналған әдістерді біріктіре алды. Осы кластағы бастапқы деректер үшін ол үлкен қисықтығы бар нүктелердің айналасындағы шағын масштабты геометрияның мүмкіндіктерін жіктеді, соның нәтижесінде Риччи ағынын жалғастыру үшін геометрияны жүйелі түрде өзгертуге болады. Нәтижесінде ол оң изотроптық қисықтығы бар Риманн метрикасын қолдайтын төрт өлшемді тегіс көптүрліліктерді жіктейтін нәтиже алды. Шинг Тунг Яу бұл мақаланы 1993 жылдан кейінгі геометриялық талдаудағы "ең маңызды оқиға" деп сипаттады, оны Рисчи ағыны әдістерімен Турстонның геометриялық болжамын дәлелдеу мүмкін екендігі анық болған нүкте деп белгіледі. Негізгі мәселе – үш өлшемді көптүрліліктердегі Риччи ағындарының жоғары қисықтық нүктелерінің айналасындағы шағын масштабты геометрия үшін, қисықтық шектеусіз, ұқсас жіктеме жасау болды; Гамильтон-Иви қисықтығы бағасы оң изотроптық қисықтық жағдайына ұқсас. Бұл мәселені Григорий Перельман өзінің танымал "каноникалық маңайлар теоремасы" арқылы шешті. Осы нәтижеге сүйене отырып, Перельман Гамильтонның хирургиялық процедурасының нысанын өзгертіп, жабық үш өлшемді көптүрліліктегі кез келген тегіс Риманн метрикасы үшін "хирургиямен Риччи ағынын" анықтады. Бұл 2003 жылы геометриялық болжамды шешуге әкелді.
Hamilton extended the maximum principle for parabolic partial differential equations to the setting of symmetric 2 tensors which satisfy a parabolic partial differential equation. He also put this into the general setting of a parameter dependent section of a vector bundle over a closed manifold which satisfies a heat equation, giving both strong and weak formulations. Partly due to these foundational technical developments, Hamilton was able to give an essentially complete understanding of how Ricci flow behaves on three dimensional closed Riemannian manifolds of positive Ricci curvature and nonnegative Ricci curvature, four dimensional closed Riemannian manifolds of positive or nonnegative curvature operator, and two dimensional closed Riemannian manifolds of nonpositive Euler characteristic or of positive curvature. In each case, after appropriate normalizations, the Ricci flow deforms the given Riemannian metric to one of constant curvature. This has strikingly simple immediate corollaries, such as the fact that any closed smooth 3 manifold which admits a Riemannian metric of positive curvature also admits a Riemannian metric of constant positive sectional curvature. Such results are notable in highly restricting the topology of such manifolds; the space forms of positive curvature are largely understood. There are other corollaries, such as the fact that the topological space of Riemannian metrics of positive Ricci curvature on a closed smooth 3 manifold is path connected. These "convergence theorems" of Hamilton have been extended by later authors, in the 2000s, to give a proof of the differentiable sphere theorem, which had been a major conjecture in Riemannian geometry since the 1960s. In 1995, Hamilton extended Jeff Cheeger's compactness theory for Riemannian manifolds to give a compactness theorem for sequences of Ricci flows. Given a Ricci flow on a closed manifold with a finite time singularity, Hamilton developed methods of rescaling around the singularity to produce a sequence of Ricci flows; the compactness theory ensures the existence of a limiting Ricci flow, which models the small scale geometry of a Ricci flow around a singular point. Hamilton used his maximum principles to prove that, for any Ricci flow on a closed three dimensional manifold, the smallest value of the sectional curvature is small compared to its largest value. This is known as the Hamilton–Ivey estimate; it is extremely significant as a curvature inequality which holds with no conditional assumptions beyond three dimensionality. An important consequence is that, in three dimensions, a limiting Ricci flow as produced by the compactness theory automatically has nonnegative curvature. As such, Hamilton's Harnack inequality is applicable to the limiting Ricci flow. These methods were extended by Grigori Perelman, who due to his "noncollapsing theorem" was able to apply Hamilton's compactness theory in a number of extended contexts. In 1997, Hamilton was able to combine the methods he had developed to define "Ricci flow with surgery" for four dimensional Riemannian manifolds of positive isotropic curvature. For Ricci flows with initial data in this class, he was able to classify the possibilities for the small scale geometry around points with large curvature, and hence to systematically modify the geometry so as to continue the Ricci flow. As a consequence, he obtained a result which classifies the smooth four dimensional manifolds which support Riemannian metrics of positive isotropic curvature. Shing Tung Yau has described this article as the "most important event" in geometric analysis in the period after 1993, marking it as the point at which it became clear that it could be possible to prove Thurston's geometrization conjecture by Ricci flow methods. The essential outstanding issue was to carry out an analogous classification, for the small scale geometry around high curvature points on Ricci flows on three dimensional manifolds, without any curvature restriction; the Hamilton–Ivey curvature estimate is the analogue to the condition of positive isotropic curvature. This was resolved by Grigori Perelman in his renowned "canonical neighborhoods theorem." Building off of this result, Perelman modified the form of Hamilton's surgery procedure to define a "Ricci flow with surgery" given an arbitrary smooth Riemannian metric on a closed three dimensional manifold. This led to the resolution of the geometrization conjecture in 2003.
Басқа жұмыстар
Алғашқы еңбектерінің бірінде Гамильтон Клиффорд Эрлмен бірлесіп Ерл-Гамильтон тұрақты нүкте теоремасын дәлелдеді. 1980-ші жылдардағы жарияланбаған лекция жазбаларында Гамильтон Ямабе ағынын енгізіп, оның ұзақ мерзімді сақталуын дәлелдеді. Шиң Шен Чернмен бірлесіп, Гамильтон контакттік геометриядағы Риман метрикаларына қатысты кейбір вариациялық есептерді зерттеді. Ол сондай-ақ белгілі бір Риччи қисықтығы мәселесіне де үлес қосты.
In one of his earliest works, Hamilton proved the Earle–Hamilton fixed point theorem in collaboration with Clifford Earle. In unpublished lecture notes from the 1980s, Hamilton introduced the Yamabe flow and proved its long time existence. In collaboration with Shiing Shen Chern, Hamilton studied certain variational problems for Riemannian metrics in contact geometry. He also made contributions to the prescribed Ricci curvature problem.