Ричард Хамильтон: Пионер потока Риччи и доказательства гипотезы Пуанкаре

Введение

Ричард Стрейт Гамильтон (Richard Streit Hamilton, родился 10 января 1943 года) — американский математик, занимающий должность профессора математики им. Дэвиса в Колумбийском университете. Он известен своими вкладами в геометрический анализ и уравнения в частных производных. Гамильтон наиболее известен своими основополагающими работами в теории потока Риччи и разработкой соответствующей программы методов и идей для разрешения гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации в области геометрической топологии. Григорий Перельман, опираясь на результаты Гамильтона, доказал эти гипотезы и был удостоен премии тысячелетия за свою работу. Однако Перельман отклонил награду, считая вклад Гамильтона равноценным своему.

Биография

Гамильтон получил степень бакалавра в 1963 году в Йельском университете и степень доктора философии в 1966 году в Принстонском университете. Его диссертацией руководил Роберт Ганнинг. Он преподавал в Калифорнийском университете в Ирвине, Калифорнийском университете в Сан-Диего, Корнеллском университете и Колумбийском университете. Математические работы Гамильтона в основном относятся к области дифференциальной геометрии и, в частности, геометрического анализа. Он наиболее известен тем, что открыл поток Риччи и инициировал исследовательскую программу, которая в конечном итоге привела к доказательству, выполненному Григорием Перельманом, гипотезы геометризации Уильяма Турстона и гипотезы Пуанкаре. За работу над потоком Риччи Гамильтон был удостоен премии Освальда Веблена по геометрии в 1996 году и премии Clay Research в 2003 году. В 1999 году он был избран в Национальную академию наук, а в 2003 году – в Американскую академию искусств и наук. Он также получил премию AMS Leroy P. Steele за выдающийся вклад в исследования в 2009 году за его статью 1982 года «Трёхмерные многообразия с положительной кривизной Риччи», в которой он представил и проанализировал поток Риччи. В марте 2010 года Институт математики Клэя, включивший гипотезу Пуанкаре в список задач тысячелетия, наградил Перельмана одним миллионом долларов США за доказательство гипотезы, полученное им в 2003 году. В июле 2010 года Перельман отклонил награду и денежный приз, заявив, что считает свой вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре не больше, чем вклад Гамильтона, разработавшего программу решения. В июне 2011 года было объявлено, что премия Шоу в размере одного миллиона долларов будет разделена поровну между Гамильтоном и Деметриосом Христодулу «за их новаторские работы по нелинейным частным дифференциальным уравнениям в лоренцевой и римановой геометрии и их применение к общей теории относительности и топологии». В 2022 году Гамильтон присоединился к Гавайскому университету в Маноа в качестве адъюнкт-профессора.

Математическая работа

По состоянию на 2022 год Гамильтон является автором сорока шести исследовательских статей, примерно сорока из которых посвящены геометрическим потокам.

Неравенства Харнака для уравнений теплоты

В 1986 году Питер Ли и Син Тун Яу открыли новый метод применения принципа максимума для управления решениями теплового уравнения. Среди прочих результатов, они показали, что если существует положительное решение u уравнения тепла на замкнутом римановом многообразии с неотрицательной кривизной Риччи, то для любого касательного вектора v выполняется

Такие неравенства, известные как «дифференциальные неравенства Харнака» или «неравенства Ли — Яу», полезны, поскольку их можно интегрировать вдоль путей для сравнения значений u в любых двух точках пространства-времени. Они также непосредственно дают точечную информацию об u, полагая v равным нулю. В 1993 году Гамильтон показал, что вычисления Ли и Яу можно расширить, чтобы продемонстрировать, что их дифференциальное неравенство Харнака является следствием более сильного матричного неравенства. Его результат требовал, чтобы замкнутое риманово многообразие имело неотрицательную сечную кривизну и параллельный тензор Риччи (например, плоский тор или метрику Фубини — Студи на комплексном проективном пространстве), в противном случае он получил несколько более слабый результат. Такие матричные неравенства иногда называют неравенствами Ли — Яу — Гамильтона. Гамильтон также обнаружил, что методология Ли — Яу может быть адаптирована к потоку Риччи. В случае двумерных многообразий он обнаружил, что вычисление Ли и Яу может быть непосредственно адаптировано к скалярной кривизне вдоль потока Риччи. В общем случае он показал, что тензор кривизны Римана удовлетворяет сложному неравенству, формально аналогичному его матричному расширению неравенства Ли — Яу, при условии, что оператор кривизны неотрицателен. Как непосредственное алгебраическое следствие, скалярная кривизна удовлетворяет неравенству, которое почти идентично неравенству Ли и Яу. Этот факт широко используется в дальнейшем исследовании потока Риччи Гамильтоном и Перельманом. Позднее Гамильтон адаптировал свою оценку Ли — Яу для потока Риччи к задаче среднего потока кривизны, которая несколько проще, поскольку геометрия определяется второй фундаментальной формой, имеющей более простую структуру, чем тензор кривизны Римана. Теорема Гамильтона, требующая строгой выпуклости, естественно применима к определенным сингулярностям среднего потока кривизны благодаря оценкам выпуклости Герхарда Гюйскена и Карло Синестрари.

Теорема Нэша ≈ Мозера

В 1956 году Джон Нэш решил проблему гладкого изометрического вложения римановых многообразий в евклидово пространство. Ключевым элементом его доказательства стал новый результат о "малых возмущениях", показывающий, что если риманова метрика может быть изометрически вложена определенным образом, то любая близкая риманова метрика также может быть изометрически вложена. Такой результат сильно напоминает теорему о неявной функции, и многие авторы пытались представить логику доказательства в виде общей теоремы. Эти теоремы теперь известны как теоремы Нэша — Мозера. В 1982 году Гамильтон опубликовал свою формулировку рассуждений Нэша, поместив теорему в контекст прирученных пространств Фреше; фундаментальное использование Нэшем ограничения преобразования Фурье для регуляризации функций было Гамильтоном обобщено на случай экспоненциально убывающих последовательностей в банаховых пространствах. Его формулировка широко цитировалась и использовалась впоследствии. Он сам использовал её для доказательства общей теоремы о существовании и единственности для геометрических уравнений эволюции; стандартная теорема о неявных функциях часто неприменима в таких ситуациях из-за вырождений, возникающих вследствие инвариантности относительно действия группы диффеоморфизмов. В частности, корректность задачи для потока Риччи вытекает из общего результата Гамильтона. Хотя Деннис ДеТурк предложил более простое доказательство для конкретного случая потока Риччи, результат Гамильтона был использован для других геометрических потоков, для которых метод ДеТурка недоступен.

Гармоническая карта теплового потока

В 1964 году Джеймс Илс и Джозеф Сэмпсон начали изучение потока тепла гармонических отображений, используя теорему о сходимости для этого потока, чтобы показать, что любое гладкое отображение из замкнутого многообразия в замкнутое многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение. В 1975 году Гамильтон рассмотрел соответствующую краевую задачу для этого потока, доказав аналогичный результат для условия Дирихле и условия Неймана. Аналитическая сторона этой задачи более сложна, поскольку ключевое применение принципа максимума к параболической формуле Бохнера, выполненное Илсом и Сэмпсоном, нельзя тривиально осуществить из-за того, что величина градиента на границе не автоматически контролируется краевыми условиями. Рассматривая пределы решений Гамильтона краевой задачи при неограниченно возрастающих границах, Ричард Шоэн и Шинг Тунг Яу заметили, что отображение с конечной энергией из полного риманова многообразия в замкнутое риманово многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение с конечной энергией. Доказав обобщение теоремы об исчезновении Илса и Сэмпсона для различных геометрических ситуаций, они смогли сделать замечательные геометрические выводы, например, что если (M, g) — полное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи, то для любого предкомпактного открытого множества D с гладкой и простосвязной границей не может существовать нетривиального гомоморфизма из фундаментальной группы D в какую-либо группу, являющуюся фундаментальной группой замкнутого риманова многообразия неположительной кривизны.

Средний поток кривизны

В 1986 году Гамильтон и Майкл Гейдж применили теорему Гамильтона — Неша — Мозера и результат о корректной постановке задачи для параболических уравнений, чтобы доказать корректную постановку задачи для потока средней кривизны. Они рассмотрели общий случай однопараметрического семейства погружений замкнутого многообразия в гладкое риманово многообразие. Затем они специализировались на случае погружений окружности S¹ в двумерное евклидово пространство ℝ², что является наиболее простым контекстом для потока укорочения кривой. Используя принцип максимума, примененный к расстоянию между двумя точками на кривой, они доказали, что если начальное погружение является вложением, то все последующие погружения в потоке средней кривизны также являются вложениями. Кроме того, выпуклость кривых сохраняется в будущем. Основным результатом Гейджа и Гамильтона является то, что для любого гладкого вложения S¹ → ℝ², которое является выпуклым, соответствующий поток средней кривизны существует в течение конечного времени, и по мере приближения времени к его максимальному значению кривые асимптотически становятся все меньше и приближаются к окружности. Они использовали предыдущие результаты Гейджа, а также некоторые специальные результаты для кривых, такие как неравенство Боннесена. В 1987 году Мэтью Грейсон доказал дополнительный результат, показав, что для любого гладкого вложения S¹ → ℝ², соответствующий поток средней кривизны в конечном итоге становится выпуклым. В сочетании с результатом Гейджа и Гамильтона получается, по сути, полное описание асимптотического поведения потока средней кривизны вложенных окружностей в ℝ². Этот результат иногда называют теоремой Гейджа — Гамильтона — Грейсона. Удивительно, что существует такой систематический и геометрически определенный способ деформирования произвольной петли в ℝ² в окружность. Современное понимание результатов Гейджа — Гамильтона и Грейсона обычно рассматривает обе ситуации одновременно, без необходимости отдельно доказывать, что произвольные кривые становятся выпуклыми, и изучать поведение выпуклых кривых. Их результаты также можно распространить на другие задачи, отличные от потока средней кривизны.

In 1986, Hamilton and Michael Gage applied Hamilton's Nash–Moser theorem and well posedness result for parabolic equations to prove the well posedness for mean curvature flow; they considered the general case of a one parameter family of immersions of a closed manifold into a smooth Riemannian manifold. Then, they specialized to the case of immersions of the circle S^(1) into the two dimensional Euclidean space ℝ^(2), which is the simplest context for curve shortening flow. Using the maximum principle as applied to the distance between two points on a curve, they proved that if the initial immersion is an embedding, then all future immersions in the mean curvature flow are embeddings as well. Furthermore, convexity of the curves is preserved into the future. Gage and Hamilton's main result is that, given any smooth embedding S^(1) → ℝ^(2) which is convex, the corresponding mean curvature flow exists for a finite amount of time, and as the time approaches its maximal value, the curves asymptotically become increasingly small and circular. They made use of previous results of Gage, as well as a few special results for curves, such as Bonnesen's inequality. In 1987, Matthew Grayson proved a complementary result, showing that for any smooth embedding S^(1) → ℝ^(2), the corresponding mean curvature flow eventually becomes convex. In combination with Gage and Hamilton's result, one has essentially a complete description of the asymptotic behavior of the mean curvature flow of embedded circles in ℝ^(2). This result is sometimes known as the Gage–Hamilton–Grayson theorem. It is somewhat surprising that there is such a systematic and geometrically defined means of deforming an arbitrary loop in ℝ^(2) into a round circle. The modern understanding of the results of Gage–Hamilton and of Grayson usually treat both settings at once, without the need for showing that arbitrary curves become convex and separately studying the behavior of convex curves. Their results can also be extended to settings other than the mean curvature flow.

Поток Риччи

Гамильтон расширил принцип максимума для параболических уравнений в частных производных на случай симметричных 2-тензоров, удовлетворяющих параболическому уравнению в частных производных. Он также представил это в общем виде параметрозависимого сечения векторного расслоения над замкнутым многообразием, удовлетворяющего уравнению теплопроводности, получив как сильные, так и слабые формулировки. Отчасти благодаря этим основополагающим техническим разработкам, Гамильтон смог получить по существу полное понимание поведения потока Риччи на трехмерных замкнутых римановых многообразиях с положительной кривизной Риччи и неотрицательной кривизной Риччи, четырехмерных замкнутых римановых многообразиях с положительным или неотрицательным оператором кривизны и двухмерных замкнутых римановых многообразиях с неположительной характеристикой Эйлера или с положительной кривизной. В каждом случае, после соответствующих нормализаций, поток Риччи деформирует заданную риманову метрику в метрику постоянной кривизны. Это имеет поразительно простые и непосредственные следствия, такие как тот факт, что любое замкнутое гладкое трехмерное многообразие, допускающее риманову метрику положительной кривизны, также допускает риманову метрику постоянной положительной сечной кривизны. Такие результаты существенно ограничивают топологию таких многообразий; пространства постоянной положительной кривизны в значительной степени изучены. Существуют и другие следствия, например, тот факт, что топологическое пространство римановых метрик положительной кривизны Риччи на замкнутом гладком трехмерном многообразии связно. Эти "теоремы о сходимости" Гамильтона были расширены другими авторами в 2000-х годах, что позволило получить доказательство теоремы о дифференцируемой сфере, которая являлась важной гипотезой в римановой геометрии с 1960-х годов. В 1995 году Гамильтон расширил теорию компактности Джеффа Чигера для римановых многообразий, чтобы получить теорему компактности для последовательностей потоков Риччи. Для потока Риччи на замкнутом многообразии с сингулярностью конечного времени Гамильтон разработал методы перемасштабирования в окрестности сингулярности для получения последовательности потоков Риччи; теория компактности гарантирует существование предельного потока Риччи, который моделирует геометрию малого масштаба потока Риччи в окрестности сингулярной точки. Гамильтон использовал свои принципы максимума, чтобы доказать, что для любого потока Риччи на замкнутом трехмерном многообразии наименьшее значение сечной кривизны мало по сравнению с ее наибольшим значением. Это известно как оценка Гамильтона — Айви; она чрезвычайно важна как неравенство для кривизны, которое выполняется без каких-либо дополнительных условий, кроме трехмерности. Важным следствием является то, что в трех измерениях предельный поток Риччи, полученный с помощью теории компактности, автоматически имеет неотрицательную кривизну. Следовательно, неравенство Харнака Гамильтона применимо к предельному потоку Риччи. Эти методы были расширены Григорием Перельманом, который, благодаря своей "теореме о не схлопывании", смог применить теорию компактности Гамильтона в ряде расширенных контекстов. В 1997 году Гамильтон смог объединить разработанные им методы для определения "потока Риччи с хирургией" для четырехмерных римановых многообразий с положительной изотропной кривизной. Для потоков Риччи с начальными данными в этом классе он смог классифицировать возможные варианты геометрии малого масштаба в окрестности точек с большой кривизной и, следовательно, систематически модифицировать геометрию, чтобы продолжить поток Риччи. В результате он получил теорему, классифицирующую гладкие четырехмерные многообразия, допускающие римановы метрики положительной изотропной кривизны. Шинг Тун Яу описал эту работу как "самое важное событие" в геометрическом анализе после 1993 года, отметив, что именно тогда стало ясно, что гипотезу геометризации Терстона можно доказать методами потока Риччи. Существенным нерешенным вопросом было проведение аналогичной классификации для геометрии малого масштаба в окрестности точек высокой кривизны на потоках Риччи на трехмерных многообразиях без каких-либо ограничений на кривизну; оценка кривизны Гамильтона — Айви является аналогом условия положительной изотропной кривизны. Это было решено Григорием Перельманом в его знаменитой "теореме о канонических окрестностях". Опираясь на этот результат, Перельман модифицировал процедуру хирургии Гамильтона, чтобы определить "поток Риччи с хирургией" для произвольной гладкой римановой метрики на замкнутом трехмерном многообразии. Это привело к разрешению гипотезы геометризации в 2003 году.

Hamilton extended the maximum principle for parabolic partial differential equations to the setting of symmetric 2 tensors which satisfy a parabolic partial differential equation. He also put this into the general setting of a parameter dependent section of a vector bundle over a closed manifold which satisfies a heat equation, giving both strong and weak formulations. Partly due to these foundational technical developments, Hamilton was able to give an essentially complete understanding of how Ricci flow behaves on three dimensional closed Riemannian manifolds of positive Ricci curvature and nonnegative Ricci curvature, four dimensional closed Riemannian manifolds of positive or nonnegative curvature operator, and two dimensional closed Riemannian manifolds of nonpositive Euler characteristic or of positive curvature. In each case, after appropriate normalizations, the Ricci flow deforms the given Riemannian metric to one of constant curvature. This has strikingly simple immediate corollaries, such as the fact that any closed smooth 3 manifold which admits a Riemannian metric of positive curvature also admits a Riemannian metric of constant positive sectional curvature. Such results are notable in highly restricting the topology of such manifolds; the space forms of positive curvature are largely understood. There are other corollaries, such as the fact that the topological space of Riemannian metrics of positive Ricci curvature on a closed smooth 3 manifold is path connected. These "convergence theorems" of Hamilton have been extended by later authors, in the 2000s, to give a proof of the differentiable sphere theorem, which had been a major conjecture in Riemannian geometry since the 1960s. In 1995, Hamilton extended Jeff Cheeger's compactness theory for Riemannian manifolds to give a compactness theorem for sequences of Ricci flows. Given a Ricci flow on a closed manifold with a finite time singularity, Hamilton developed methods of rescaling around the singularity to produce a sequence of Ricci flows; the compactness theory ensures the existence of a limiting Ricci flow, which models the small scale geometry of a Ricci flow around a singular point. Hamilton used his maximum principles to prove that, for any Ricci flow on a closed three dimensional manifold, the smallest value of the sectional curvature is small compared to its largest value. This is known as the Hamilton–Ivey estimate; it is extremely significant as a curvature inequality which holds with no conditional assumptions beyond three dimensionality. An important consequence is that, in three dimensions, a limiting Ricci flow as produced by the compactness theory automatically has nonnegative curvature. As such, Hamilton's Harnack inequality is applicable to the limiting Ricci flow. These methods were extended by Grigori Perelman, who due to his "noncollapsing theorem" was able to apply Hamilton's compactness theory in a number of extended contexts. In 1997, Hamilton was able to combine the methods he had developed to define "Ricci flow with surgery" for four dimensional Riemannian manifolds of positive isotropic curvature. For Ricci flows with initial data in this class, he was able to classify the possibilities for the small scale geometry around points with large curvature, and hence to systematically modify the geometry so as to continue the Ricci flow. As a consequence, he obtained a result which classifies the smooth four dimensional manifolds which support Riemannian metrics of positive isotropic curvature. Shing Tung Yau has described this article as the "most important event" in geometric analysis in the period after 1993, marking it as the point at which it became clear that it could be possible to prove Thurston's geometrization conjecture by Ricci flow methods. The essential outstanding issue was to carry out an analogous classification, for the small scale geometry around high curvature points on Ricci flows on three dimensional manifolds, without any curvature restriction; the Hamilton–Ivey curvature estimate is the analogue to the condition of positive isotropic curvature. This was resolved by Grigori Perelman in his renowned "canonical neighborhoods theorem." Building off of this result, Perelman modified the form of Hamilton's surgery procedure to define a "Ricci flow with surgery" given an arbitrary smooth Riemannian metric on a closed three dimensional manifold. This led to the resolution of the geometrization conjecture in 2003.

Другая работа

В одной из своих ранних работ Гамильтон доказал теорему о фиксированной точке Эрла — Гамильтона в сотрудничестве с Клиффордом Эрлом. В неопубликованных конспектах лекций 1980-х годов Гамильтон ввёл поток Ямабе и доказал его существование на больших временах. В сотрудничестве с Шиин Шен Черном Гамильтон изучал некоторые вариационные задачи для римановых метрик в контактной геометрии. Он также внес вклад в решение задачи о предписанной кривизне Риччи.