Геометриялық фигураларды сызу әдісі: түзу сызық және циркульмен салу, бұрыштар мен ұзындықтарды дәл құрастыру. Еуропалық геометрияның негізгі қағидалары.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометриялық нысандарды салу әдісі
Method of drawing geometric objects
Геометрияда түзу және компас салу – сондай-ақ сызғыш және компас салу, Евклидтік салу немесе классикалық салу – ұзындықтарды, бұрыштарды және басқа геометриялық фигураларды тек идеалданған сызғыш пен компастар жұбы арқылы салу болып табылады. Идеалданған сызғыш, түзу жиек деп аталады, шексіз ұзындығы бар, тек бір жиегі және оның үстінде ешқандай белгілері жоқ деп есептеледі. Компас шексіз максималды немесе минималды радиусы жоқ деп есептеледі және беттен көтерілген кезде "құлайды", сондықтан қашықтықты тікелей ауыстыру үшін қолданылмайды. (Бұл маңызды шектеу емес, өйткені көп қадамды процедураны қолдану арқылы, құлайтын компаспен де қашықтықты ауыстыруға болады; компастың эквиваленттілік теоремасын қараңыз. Дегенмен, түзуге бекітілген құламайтын компас оны белгілеуге теңдей көрінсе де, невус салуға рұқсат етілмейді және "белгісіз" дегеніміз осыны білдіреді: төмендегі белгіленетін сызғыштарды қараңыз.) Формальды түрде, рұқсат етілген жалғыз салулар – Евклидтің "Элементтерінің" алғашқы үш постулатымен берілгендер. Кез келген нүкте түзу және компас арқылы салынатын болса, оны тек компас арқылы немесе бір шеңбер мен оның центрі берілгенде тек түзу арқылы салуға болады. Ежелгі грек математиктері алғаш рет түзу және компас салуды ойлап тапты, және жазық геометриядағы көптеген ежелгі мәселелер осы шектеуді талап етеді. Ежелгі гректер көптеген салуларды жасады, бірақ кейбір жағдайларда оларды жасауға қол жеткізе алмады. Гаусс кейбір көпбұрыштарды салуға болатынын, бірақ көпшілігін салуға болмайтынын көрсетті. Пьер Вантцель 1837 жылы өріс теориясын қолданып, кейбір танымал түзу және компас мәселелерін шеше алмайтынын дәлелдеді, атап айтқанда, кез келген бұрышты үш бөлікке бөлу және кубтың көлемін екі есеге арттыру (§ мүмкін емес салулар бөлімін қараңыз). Бұл мәселелердің көпшілігі басқа геометриялық түрлендірулерге рұқсат берілген жағдайда оңай шешіледі; мысалы, невус салу алдыңғы екі мәселені шешу үшін қолданылуы мүмкін. Алгебра тұрғысынан алғанда, ұзындық салынатын болса және ғана оны салуға болатын сан болып табылады, ал бұрыш салынатын болса және ғана оның косинусы салынатын сан болып табылады. Санды салуға болады, егер оны төрт негізгі арифметикалық операцияларды және квадрат түбірлерді алуды қолдана отырып жазуға болады, бірақ жоғары дәрежелі түбірлерді алуды емес.
In geometry, straightedge and compass construction – also known as ruler and compass construction, Euclidean construction, or classical construction – is the construction of lengths, angles, and other geometric figures using only an idealized ruler and a pair of compasses. The idealized ruler, known as a straightedge, is assumed to be infinite in length, have only one edge, and no markings on it. The compass is assumed to have no maximum or minimum radius, and is assumed to "collapse" when lifted from the page, so may not be directly used to transfer distances. (This is an unimportant restriction since, using a multi step procedure, a distance can be transferred even with a collapsing compass; see compass equivalence theorem. Note however that whilst a non collapsing compass held against a straightedge might seem to be equivalent to marking it, the neusis construction is still impermissible and this is what unmarked really means: see Markable rulers below.) More formally, the only permissible constructions are those granted by the first three postulates of Euclid's Elements. It turns out to be the case that every point constructible using straightedge and compass may also be constructed using compass alone, or by straightedge alone if given a single circle and its center. Ancient Greek mathematicians first conceived straightedge and compass constructions, and a number of ancient problems in plane geometry impose this restriction. The ancient Greeks developed many constructions, but in some cases were unable to do so. Gauss showed that some polygons are constructible but that most are not. Some of the most famous straightedge and compass problems were proved impossible by Pierre Wantzel in 1837 using field theory, namely trisecting an arbitrary angle and doubling the volume of a cube (see § impossible constructions). Many of these problems are easily solvable provided that other geometric transformations are allowed; for example, neusis construction can be used to solve the former two problems. In terms of algebra, a length is constructible if and only if it represents a constructible number, and an angle is constructible if and only if its cosine is a constructible number. A number is constructible if and only if it can be written using the four basic arithmetic operations and the extraction of square roots but of no higher order roots.
Тікелей және компастық құралдар
Тура және компас конструкциялары – бұл нақты әлемдегі сызғыштар мен компастардың идеалданған нұсқалары. Сызғыш – бұл шексіз ұзын жиек, онда ешқандай белгілер жоқ. Оны тек екі нүкте арасындағы сызық кесіндісін салуға немесе қолданыстағы сызық кесіндісін ұзартуға болады. Компас белгілерсіз кез келген радиусқа ие болуы мүмкін (нақты әлемдегі кейбір компастардан өзгеше). Дөңгелектер мен дөңгелек доғаларын екі берілген нүктеден бастап салуға болады: ортасынан және дөңгелектің кез келген нүктесінен. Компас жиырылуы мүмкін немесе жиырылмауы мүмкін (яғни, беттен алынған кезде радиусын жойып, бүктелуі мүмкін). Салынған сызықтар мен шеңберлердің шексіз дәлдігі және нөлдік ені болады. Нақты компастар жиырылмайды және қазіргі заманғы геометриялық конструкциялар көбінесе осы мүмкіндікті пайдаланады. Жиырылатын компас әлсіз құрал сияқты көрінеді. Алайда, Евклидтің «Элементтер» кітабының 1-бөліміндегі 2-теоремадағы компастың эквиваленттілік теоремасы бойынша, жиырылатын компасты пайдаланудан күш жоғалтылмайды. Бұл теорема дұрыс болғанымен, оның дәлелдерінің ұзақ және қиын тарихы бар. Дегенмен, эквиваленттілік принципі идеалды компастың анықтамасында осы мүмкіндікті қарастырудың қажеттілігін жояды. Әрбір конструкция математикалық тұрғыдан нақты болуы керек. Сызғыштағы белгілерді пайдалану немесе «көзбен өлшеу» (құрылысты қарап, оның дәлдігін шамалау) рұқсат етілмейді. Әрбір конструкция да аяқталуы керек. Яғни, оның шекті қадамдары болуы тиіс, және одан әрі жақын шамалаудың лимиті болмауы керек. (Шексіз қадамдарға рұқсат етілсе, шексіз тізбектер арқылы лимитқа жақындау арқылы басқаша мүмкін емес конструкциялар жасауға болады.) Осылай айтқанда, тура және компас конструкциялары ойын-сауық сияқты көрінеді, емес, маңызды практикалық мәселе; бірақ шектеудің мақсаты – конструкциялардың дәлдігі математикалық тұрғыдан дәлелденуін қамтамасыз ету.
The "straightedge" and "compass" of straightedge and compass constructions are idealized versions of real world rulers and compasses. The straightedge is an infinitely long edge with no markings on it. It can only be used to draw a line segment between two points, or to extend an existing line segment. The compass can have an arbitrarily large radius with no markings on it (unlike certain real world compasses). Circles and circular arcs can be drawn starting from two given points: the centre and a point on the circle. The compass may or may not collapse (i. e. fold after being taken off the page, erasing its 'stored' radius). Lines and circles constructed have infinite precision and zero width. Actual compasses do not collapse and modern geometric constructions often use this feature. A 'collapsing compass' would appear to be a less powerful instrument. However, by the compass equivalence theorem in Proposition 2 of Book 1 of Euclid's Elements, no power is lost by using a collapsing compass. Although the proposition is correct, its proofs have a long and checkered history. In any case, the equivalence is why this feature is not stipulated in the definition of the ideal compass. Each construction must be mathematically exact. "Eyeballing" distances (looking at the construction and guessing at its accuracy) or using markings on a ruler, are not permitted. Each construction must also terminate. That is, it must have a finite number of steps, and not be the limit of ever closer approximations. (If an unlimited number of steps is permitted, some otherwise impossible constructions become possible by means of infinite sequences converging to a limit.) Stated this way, straightedge and compass constructions appear to be a parlour game, rather than a serious practical problem; but the purpose of the restriction is to ensure that constructions can be proved to be exactly correct.
Тарих
Ежелгі грек математиктері алғашқылардың бірі болып тек қана сызғыш пен циркуль арқылы салуға тырысты және берілген ұзындықтардың қосындыларын, айырмаларын, көбейтінділерін, қатынастарын және квадрат түбірлерін салудың жолдарын тапты. Сонымен қатар, олар берілген қабырғасы бар текшеден екі есе үлкен көлемге ие текшенің қабырғасын салып шығара алмады, себебі ұзындықтың куб түбірін салу мүмкін емес еді. Ол сондай-ақ Гаусс көрсеткен тұрақты көпбұрыштарды салу үшін жеткілікті шарты қажет екенін де дәлездеді. Салынатын бұрыштар тобы бұрыштарды екіге бөлу операциясы бойынша жабық (бұл комплекс сандарда квадрат түбірді алуға сәйкес келеді). Екі нүктеден бастап салуға болатын шекті ретті бұрыштардың реті тек екінің дәрежесіне тең немесе екінің дәрежесі мен әртүрлі Ферма сандарының көбейтіндісі болуы мүмкін. Бұған қоса, шексіз ретті салынатын бұрыштардың тығыз жиынтығы бар.
The ancient Greek mathematicians first attempted straightedge and compass constructions, and they discovered how to construct sums, differences, products, ratios, and square roots of given lengths. Nor could they construct the side of a cube whose volume is twice the volume of a cube with a given side. based on the impossibility of constructing cube roots of lengths. He also showed that Gauss's sufficient constructibility condition for regular polygons is also necessary. The group of constructible angles is closed under the operation that halves angles (which corresponds to taking square roots in the complex numbers). The only angles of finite order that may be constructed starting with two points are those whose order is either a power of two, or a product of a power of two and a set of distinct Fermat primes. In addition there is a dense set of constructible angles of infinite order.
Мүмкін емес конструкциялар
Ежелгі гректер шеше алмайтын геометриялық есептерді шешілмейтін деп емес, жай ғана қиындыққа толы деп ойлады. Бірақ, қазіргі заманғы әдістермен осы сызғыш пен циркуль көмегімен салу мүмкін емес екені дәлелденді. (Дегенмен, есептердің өзі шешіледі, ал гректер оларды тек сызғыш пен циркульді пайдалану шектеуі болмағанда қалай шешуге болатынын білген.)
The ancient Greeks thought that the construction problems they could not solve were simply obstinate, not unsolvable. With modern methods, however, these straightedge and compass constructions have been shown to be logically impossible to perform. (The problems themselves, however, are solvable, and the Greeks knew how to solve them without the constraint of working only with straightedge and compass.)
Дөңгелектің квадраты
Бұл мәселелердің ең танымал - шеңберді шаршылау, басқаша айтқанда, шеңбердің квадратурасы, ол тек қана сызғыш пен циркуль қолданып, берілген шеңбермен бірдей ауданы бар шаршыны салуды қамтиды. Шеңберді шаршылау мүмкін емес екені дәлелденді, себебі ол трансцендентті санды тудыруды қажет етеді, яғни тек белгілі бір алгебралық сандарды ғана сызғыш пен циркульдің көмегімен салуға болады, атап айтқанда, бүтін сандардан қосу, алу, көбейту, бөлу және квадрат түбір табу операцияларының шектеулі тізбегі арқылы алынғандарды. Осы себепті "шеңберді шаршылау" фразасы көбінесе "мүмкін емес нәрсені жасау" деген мағынада қолданылады. Егер сызғыш пен циркульді ғана пайдалану шарты болмаса, бұл мәселені геометриялық және алгебралық әдістердің көптеген түрлерімен оңай шешуге болады және ол ежелгі заманда бірнеше рет шешілген. Кеплер үшбұрышын пайдалану арқылы "шеңбердің квадратурасын" жақындатуға өте жақын әдіс қол жеткізілуі мүмкін.
The most famous of these problems, squaring the circle, otherwise known as the quadrature of the circle, involves constructing a square with the same area as a given circle using only straightedge and compass. Squaring the circle has been proved impossible, as it involves generating a transcendental number, that is, Only certain algebraic numbers can be constructed with ruler and compass alone, namely those constructed from the integers with a finite sequence of operations of addition, subtraction, multiplication, division, and taking square roots. The phrase "squaring the circle" is often used to mean "doing the impossible" for this reason. Without the constraint of requiring solution by ruler and compass alone, the problem is easily solvable by a wide variety of geometric and algebraic means, and was solved many times in antiquity. A method which comes very close to approximating the "quadrature of the circle" can be achieved using a Kepler triangle.
Күштілік
Күштілікті еселеу – бұл тек қана түзу сызық пен циркуль қолданып, белгілі бір жиегі бар текшенің көлемін екі есе арттыратын текшенің жиегін салу. Бұл мүмкін емес, себебі 2-нің куб түбірі алгебралық болғанымен, оны бүтін сандарды қосу, алу, көбейту, бөлу және квадрат түбірді шығару арқылы табуға болмайды. Бұл, рационал сандар бойынша оның ең төменгі полиномы 3-дәрежелі болғандықтан туындайды. Алайда, екі белгісі бар түзу сызық пен циркульді пайдаланып бұл салуға болады.
Doubling the cube is the construction, using only a straightedge and compass, of the edge of a cube that has twice the volume of a cube with a given edge. This is impossible because the cube root of 2, though algebraic, cannot be computed from integers by addition, subtraction, multiplication, division, and taking square roots. This follows because its minimal polynomial over the rationals has degree 3. This construction is possible using a straightedge with two marks on it and a compass.
Бұрыштық үшбұрышты кесу
Бұрышты үш бөлікке бөлу – тек қана сызғыш пен циркульді пайдаланып, кез келген берілген бұрыштың үштен бір бөлігін табу құрастыруы. Жалпы жағдайда мұндай құрастыру мүмкін емес. Мысалы, 2/5 радиан (72° = 360°/5) бұрышын үш бөлікке бөлуге болады, бірақ 1/3 радиан (60°) бұрышын үш бөлікке бөлуге болмайды. Екі белгісі бар сызғыш қолданылса (неузис құрастыру), бұрышты үш бөлікке бөлу мәселесі оңай шешіледі.
Angle trisection is the construction, using only a straightedge and a compass, of an angle that is one third of a given arbitrary angle. This is impossible in the general case. For example, the angle 2/5 radians (72° = 360°/5) can be trisected, but the angle of /3 radians (60°) cannot be trisected. The general trisection problem is also easily solved when a straightedge with two marks on it is allowed (a neusis construction).
Эллипске дейінгі қашықтық
Жазықтағы кез келген нүктеден шеңбердегі ең жақын нүктеге дейінгі сызық сегментін салуға болады, бірақ жазықтағы кез келген нүктеден оң эксцентриситеті бар эллипстің ең жақын нүктесіне дейінгі сегментін салу, жалпы жағдайда мүмкін емес. Назар аударыңыз, мұнда дәлелденген нәтижелердің көпшілігі коникалардың құрастырылмайтындығының салдары болып табылады. Егер бастапқы коника берілген деп есептелсе, онда дәлелді қайта қарап, басқа кониканы құрастыру қажеттігін тексеру керек. Мысалы, парабола нормальдарына салу әдістері белгілі, бірақ олар шеңбер мен параболаның өзара қиылысын пайдалануды қажет етеді. Сондықтан, олар парабола құрастырылмағандықтан, құрастырылмайды.
The line segment from any point in the plane to the nearest point on a circle can be constructed, but the segment from any point in the plane to the nearest point on an ellipse of positive eccentricity cannot in general be constructed. See Note that results proven here are mostly a consequence of the non constructivity of conics. If the initial conic is considered as a given, then the proof must be reviewed to check if other distinct conic needs to be generated. As an example, constructions for normals of a parabola are known, but they need to use an intersection between circle and the parabola itself. So they are not constructible in the sense that the parabola is not constructible.
Альхазеннің проблемасы
1997 жылы Оксфорд математигі Питер М. Нейман ежелгі Альхазеннің проблемасының (бильярд проблемасы немесе шар тәрізді айнадан шағылысу) жалпы шешімін сызық және циркуль көмегімен салу мүмкін емес екенін дәлелдеді.
In 1997, the Oxford mathematician Peter M. Neumann proved the theorem that there is no ruler and compass construction for the general solution of the ancient Alhazen's problem (billiard problem or reflection from a spherical mirror).
Үш берілген сипаттамалық нүктеден немесе ұзындығынан үшбұрышты құру
Үшбұрыштың 16 негізгі нүктесі – оның төбелері, қабырғаларының орта нүктелері, биіктіктерінің табандары, ішкі бұрыштардың биссектрисаларының табандары, сырттай ортасы, ауыр ортасы, ортоортасы және іштей ортасы. Оларды үштен алып қарасақ, үш нүктеден үшбұрыш құрудың 139 ерекше мәселесін алуға болады. Осы мәселелердің үшеуі екінші екі нүктеден бірегей түрде анықталатын нүктеге қатысты; 23-і нүктелердің орналасуы белгілі бір шектеулерді орындаған жағдайда ғана бірегей емес (яғни, шексіз көп шешімдерге ие); 74-і жалпы жағдайда құрастырылуға мүмкіндік береді; ал 39-ында қажетті үшбұрыш бар, бірақ оны құрастыру мүмкін емес. Үшбұрыштың он екі негізгі өлшемі – үш қабырғаның ұзындығы, үш биіктік, үш медиана және үш бұрыш биссектрисасы. Бұрыштардың өзімен бірге, олар 95 түрлі комбинацияны құрайды, оның 63-і құрастырылатын үшбұрышқа әкеледі, 30-ы құрастыруға болмайды, ал екеуі жеткіліксіз анықталған.
Sixteen key points of a triangle are its vertices, the midpoints of its sides, the feet of its altitudes, the feet of its internal angle bisectors, and its circumcenter, centroid, orthocenter, and incenter. These can be taken three at a time to yield 139 distinct nontrivial problems of constructing a triangle from three points. Of these problems, three involve a point that can be uniquely constructed from the other two points; 23 can be non uniquely constructed (in fact for infinitely many solutions) but only if the locations of the points obey certain constraints; in 74 the problem is constructible in the general case; and in 39 the required triangle exists but is not constructible. Twelve key lengths of a triangle are the three side lengths, the three altitudes, the three medians, and the three angle bisectors. Together with the three angles, these give 95 distinct combinations, 63 of which give rise to a constructible triangle, 30 of which do not, and two of which are underdefined.
Шектелген конструкциялар
Әртүрлі ережелер бойынша құрылысқа қолданылатын құралдарды шектеуге әртүрлі талпыныстар жасалды, соның нәтижесінде не құрылыс жасауға болады және қалай жасауға болады анықталды, сондай-ақ компас пен сызғыш арқылы жасалатын барлық нәрсені құрастыру үшін қажетті ең төменгі талаптар белгіленді.
Various attempts have been made to restrict the allowable tools for constructions under various rules, in order to determine what is still constructible and how it may be constructed, as well as determining the minimum criteria necessary to still be able to construct everything that compass and straightedge can.
Тек қана сызықпен немесе тек қана компаспен салу
Мохр–Маскерони теоремасына сәйкес, егер берілген және ізделіп отырған деректер дискретті нүктелерден (сызықтар мен шеңберлерден емес) тұрса, онда тек компаспен кез келген нәрсені салуға болады. Бұл теореманың дұрыстығы Архимед аксиомасының дұрыстығына байланысты, ал бұл аксиома бірінші реттік сипатқа ие емес. Тек компаспен салатын конструкциялардың мысалы – Наполеон мәселесі. Тек сызықпен квадрат түбір табу мүмкін емес, сондықтан сызықпен салынбайтын кейбір нәрселерді компаспен салуға болады; бірақ (Понселет–Штайнер теоремасы бойынша) берілген бір шеңбер мен оның центрі болған жағдайда, оларды салуға болады.
It is possible (according to the Mohr–Mascheroni theorem) to construct anything with just a compass if it can be constructed with a ruler and compass, provided that the given data and the data to be found consist of discrete points (not lines or circles). The truth of this theorem depends on the truth of Archimedes' axiom, which is not first order in nature. Examples of compass only constructions include Napoleon's problem. It is impossible to take a square root with just a ruler, so some things that cannot be constructed with a ruler can be constructed with a compass; but (by the Poncelet–Steiner theorem) given a single circle and its center, they can be constructed.
Ұзартылған конструкциялар
Ежелгі гректер құрылыстарды оларды шешу үшін қажетті құралдардың күрделілігіне байланысты үш негізгі санатқа бөліп қарастырды. Егер құрылыс тек түзу сызық пен циркуль қолданса, ол жазық деп аталды; егер оған бір немесе бірнеше коникалық қималар (шеңберден басқа) қажет болса, онда ол кеңістіктік деп аталды; үшінші санатқа басқа екі санатқа жатпайтын барлық құрылыстар кірді. Бұл жіктелу қазіргі алгебралық тұрғыдан келгенде өте жақсы үйлеседі. Тек өріс амалдары мен квадрат түбірлерді пайдаланып өрнектеуге болатын кешенді санның жазық құрылысы бар. Күбтік түбірлерді табуды да қамтитын кешенді санның кеңістіктік құрылысы бар. Өрістер тілінде, жазық кешенді санның дәрежесі екінің дәрежесі болып табылады және әр кеңейтуінің дәрежесі екіге тең өрістер тізбегінде орналасқан өріс кеңейтуінде жатыр. Кеністіктік құрылысы бар кешенді санның дәрежесінде тек екі және үштің жай көбейткіштері болады, және ол әр кеңейтуінің дәрежесі 2 немесе 3 болатын өрістер тізбегінің ең жоғарғы сатысында орналасқан өріс кеңейтуінде жатыр.
The ancient Greeks classified constructions into three major categories, depending on the complexity of the tools required for their solution. If a construction used only a straightedge and compass, it was called planar; if it also required one or more conic sections (other than the circle), then it was called solid; the third category included all constructions that did not fall into either of the other two categories. This categorization meshes nicely with the modern algebraic point of view. A complex number that can be expressed using only the field operations and square roots (as described above) has a planar construction. A complex number that includes also the extraction of cube roots has a solid construction. In the language of fields, a complex number that is planar has degree a power of two, and lies in a field extension that can be broken down into a tower of fields where each extension has degree two. A complex number that has a solid construction has degree with prime factors of only two and three, and lies in a field extension that is at the top of a tower of fields where each extension has degree 2 or 3.
Бұрыштық үшбұрышты кесу
Егер тура сызық пен циркульмен бірге, кез келген бұрышты (тек) үш бөлікке бөлетін құрал болса ше? Мұндай құрылымдар нақты құрылымдар болып табылады, бірақ мұндай құралдарды қолдану арқылы құрастырылмаған нақты құрылымдары бар сандар бар. Мысалы, мұндай құралмен кубты екі есеге арттыру мүмкін емес. Екінші жағынан, нақты құрылысы бар кез келген дұрыс n-бұрышты осындай құралмен құрастыруға болады.
What if, together with the straightedge and compass, we had a tool that could (only) trisect an arbitrary angle? Such constructions are solid constructions, but there exist numbers with solid constructions that cannot be constructed using such a tool. For example, we cannot double the cube with such a tool. On the other hand, every regular n gon that has a solid construction can be constructed using such a tool.
Оригами
Оригамидің математикалық теориясы тура сызық пен циркуль құрылысынан гөрі күшті. Хузита-Хатори аксиомаларын қанағаттандыратын бүктемелер, циркуль мен коникалық сызғыш қолданылатын кеңейтілген құрылыстармен салыстырылатын нақты сол нүктелер жиынын құра алады. Сондықтан, оригами кубтық теңдеулерді (және осының салдарынан төртінші дәрежелі теңдеулерді) шешуге де қолданылуы мүмкін, осылайша классикалық екі проблеманы шешеді.
The mathematical theory of origami is more powerful than straightedge and compass construction. Folds satisfying the Huzita–Hatori axioms can construct exactly the same set of points as the extended constructions using a compass and conic drawing tool. Therefore, origami can also be used to solve cubic equations (and hence quartic equations), and thus solve two of the classical problems.
Белгіленетін билік иелері
Архимед, Никомед және Аполлоний белгіленетін сызғышты қолдануды қамтитын конструкцияларды ұсынды. Бұл оларға, мысалы, сызық сегментін, екі сызықты (немесе шеңберді) және нүктені алуға мүмкіндік берді; содан кейін берілген нүктеден өтетін және екі берілген сызықты қиып өтетін сызықты салу, қиылысу нүктелері арасындағы қашықтық берілген сегментке тең болады. Гректер мұны «неузис» («майысу», «ұмтылу» немесе «жақындасу») деп атады, өйткені жаңа сызық нүктеге ұмтылады. Осы кеңейтілген схемада кез келген бұрышты үш бөлікке бөлуге (Архимедтің үш бөлікке бөлуін қараңыз) немесе кез келген куб түбірін табуға болады (Никомедке байланысты). Сондықтан, кез келген арақашықтық, оның қатынасы белгілі бір арақашықтыққа кубикалық немесе төртінші дәрежелі теңдеудің шешімі болса, оны салуға болады. Белгіленетін сызғышты пайдаланып, жетібұрыш сияқты қатты конструкциялары бар тұрақты көпбұрыштарды салуға болады; Джон Х. Конвей мен Ричард К. Гай олардың бірнешеуінің салуын береді. Неузис конструкциясы конустық сызу құралынан күшті, өйткені қатты конструкциялары жоқ күрделі сандарды салуға болады. Шындығында, осы құралды қолдана отырып, радикалдар арқылы шешілмейтін кейбір бесінші дәрежелі теңдеулерді шешуге болады. Неузис конструкциясын қолдана отырып, 7-ден жоғары немесе оған тең бірінші дәрежелі азайтылмайтын көпмүшелікті шешу мүмкін емес екені белгілі, сондықтан осы құралды қолдана отырып, тұрақты 23 қабырғалы немесе 29 қабырғалы көпбұрыштарды салу мүмкін емес. Бенджамин мен Снайдер тұрақты 11 қабырғалы көпбұрышты салуға болатынын дәлелдеді, бірақ салуын бермеді. Осы құралды қолдана отырып, 25 немесе 31 қабырғалы көпбұрыштарды салуға бола ма, әлі белгісіз.
Archimedes, Nicomedes and Apollonius gave constructions involving the use of a markable ruler. This would permit them, for example, to take a line segment, two lines (or circles), and a point; and then draw a line which passes through the given point and intersects the two given lines, such that the distance between the points of intersection equals the given segment. This the Greeks called neusis ("inclination", "tendency" or "verging"), because the new line tends to the point. In this expanded scheme, we can trisect an arbitrary angle (see Archimedes' trisection) or extract an arbitrary cube root (due to Nicomedes). Hence, any distance whose ratio to an existing distance is the solution of a cubic or a quartic equation is constructible. Using a markable ruler, regular polygons with solid constructions, like the heptagon, are constructible; and John H. Conway and Richard K. Guy give constructions for several of them. The neusis construction is more powerful than a conic drawing tool, as one can construct complex numbers that do not have solid constructions. In fact, using this tool one can solve some quintics that are not solvable using radicals. It is known that one cannot solve an irreducible polynomial of prime degree greater or equal to 7 using the neusis construction, so it is not possible to construct a regular 23 gon or 29 gon using this tool. Benjamin and Snyder proved that it is possible to construct the regular 11 gon, but did not give a construction. It is still open as to whether a regular 25 gon or 31 gon is constructible using this tool.
Тікелей сегментті үшке бөлу
AB деп аталатын түзу сызық кесіндісін алғанда, оны қиылысу теоремасын қолдану арқылы үш тең бөлікке және қажетті көптеген бөліктерге бөлуге болады.
Given a straight line segment called AB, could this be divided in three new equal segments and in many parts required by the use of intercept theorem.
Бинарлық цифрларды есептеу
1998 жылы Саймон Плауф белгілі бір сандардың екілік разрядтарын есептеуге болатын сызық және циркуль алгоритмін ұсынды. Алгоритм бұрышты қайта-қайта екі еселеуден тұрады және шамамен 20 екілік разрядтан кейін физикалық жағынан қолдану қиын болады.
In 1998 Simon Plouffe gave a ruler and compass algorithm that can be used to compute binary digits of certain numbers. The algorithm involves the repeated doubling of an angle and becomes physically impractical after about 20 binary digits.