Построение геометрических фигур циркулем и линейкой

Введение

Метод построения геометрических объектов

В геометрии построение с помощью линейки и циркуля (также известное как построение линейкой и циркулем, евклидово построение или классическое построение) — это построение длин, углов и других геометрических фигур, использующее только идеализированную линейку и циркуль. Идеализированная линейка, известная как прямая, предполагается бесконечной длины, имеет только один край и не содержит на нем никаких отметок. Предполагается, что циркуль не имеет максимального или минимального радиуса и "схлопывается", когда его поднимают со страницы, поэтому его нельзя непосредственно использовать для переноса расстояний. (Это несущественное ограничение, поскольку, используя многошаговую процедуру, расстояние можно перенести даже с циркулем, который схлопывается; см. теорему об эквивалентности циркулей. Однако следует отметить, что хотя не схлопывающийся циркуль, прижатый к прямой, может показаться эквивалентным нанесению отметки на нее, построение с помощью неузиса все равно недопустимо, и именно это подразумевается под "немаркированной" линейкой: см. "Маркируемые линейки" ниже.) Более формально, единственными допустимыми построениями являются те, которые разрешены первыми тремя постулатами "Начал" Евклида. Оказывается, что любую точку, построимую с помощью линейки и циркуля, можно построить также только с помощью циркуля или только с помощью линейки, если задана одна окружность и ее центр. Древнегреческие математики впервые разработали построения с помощью прямой и циркуля, и ряд древних задач в планиметрии накладывает это ограничение. Древние греки разработали множество построений, но в некоторых случаях не смогли их выполнить. Гаусс показал, что некоторые многоугольники построимы, но большинство — нет. Невозможность некоторых известных задач построения с помощью линейки и циркуля была доказана Пьером Вантцелем в 1837 году с использованием теории полей, а именно — трисекция произвольного угла и удвоение объема куба (см. § "Невозможные построения"). Многие из этих задач легко решаемы, если допускаются другие геометрические преобразования; например, построение с помощью неузиса может быть использовано для решения первых двух задач. В алгебраическом плане, длина построима тогда и только тогда, когда она представляет собой построимое число, а угол построим, если и только если его косинус является построимым числом. Число является построимым тогда и только тогда, когда его можно представить с помощью четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней, но не корней более высокой степени.

Стройные инструменты и инструменты для компаса

"Линейка" и "циркуль" в конструкциях циркулем и линейкой – это идеализированные версии реальных линеек и циркулей. Линейка – это бесконечно длинный край без каких-либо отметок. Её можно использовать только для проведения отрезка прямой между двумя точками или для продолжения существующего отрезка прямой. Циркуль может иметь произвольно большой радиус без каких-либо отметок (в отличие от некоторых реальных циркулей). Круги и дуги окружностей можно строить, исходя из двух заданных точек: центра и точки на окружности. Циркуль может схлопываться (то есть складываться после снятия со страницы, теряя свой "запомненный" радиус) или не схлопываться. Построенные линии и окружности обладают бесконечной точностью и нулевой шириной. Реальные циркули не схлопываются, и современные геометрические построения часто используют эту особенность. Циркуль, который схлопывается, может показаться менее мощным инструментом. Однако, согласно теореме об эквивалентности циркулей в предложении 2 Книги 1 «Начал» Евклида, использование схлопывающегося циркуля не приводит к потере возможностей. Хотя это утверждение верно, его доказательства имеют долгую и противоречивую историю. В любом случае, именно эквивалентность является причиной, по которой эта особенность не оговаривается в определении идеального циркуля. Каждое построение должно быть математически точным. Не допускается определение расстояний "на глаз" (оценка точности построения визуально) или использование отметок на линейке. Каждое построение также должно завершаться. То есть, оно должно состоять из конечного числа шагов и не быть пределом последовательности всё более точных приближений. (Если допускать неограниченное число шагов, некоторые иначе невозможные построения становятся возможными благодаря бесконечным последовательностям, сходящимся к пределу.) Таким образом, построения циркулем и линейкой выглядят скорее как головоломка, чем серьезная практическая задача; но цель ограничения состоит в том, чтобы гарантировать возможность математически доказать абсолютную точность построения.

История

Древнегреческие математики первыми предприняли попытки построений с помощью линейки и циркуля и обнаружили, как строить суммы, разности, произведения, отношения и квадратные корни заданных длин. Они также не смогли построить сторону куба, объем которого вдвое превышает объем куба с заданной стороной, что основано на невозможности построения кубических корней длин. Было также показано, что условие достаточной построимости Гаусса для правильных многоугольников является и необходимым. Группа построимых углов замкнута относительно операции, делящей углы пополам (что соответствует извлечению квадратных корней в комплексных числах). Единственные углы конечного порядка, которые можно построить, начиная с двух точек, – это углы, порядок которых является либо степенью двойки, либо произведением степени двойки и набора различных простых чисел Ферма. Кроме того, существует плотное множество построимых углов бесконечного порядка.

Невозможные конструкции

Древние греки полагали, что строительные задачи, которые им не удавалось решить, были просто неподатливыми, а не неразрешимыми. Однако современные методы показали, что эти построения с использованием только линейки и циркуля логически неосуществимы. (Сами же задачи, тем не менее, разрешимы, и греки умели их решать, не ограничиваясь использованием только линейки и циркуля.)

Квадрат круга

Самая известная из этих задач, квадратура круга, также известная как "квадратация круга", заключается в построении квадрата, равновеликого данному кругу, с использованием только линейки и циркуля. Доказано, что квадратура круга невозможна, поскольку она требует получения трансцендентного числа. А именно, с помощью линейки и циркуля можно построить лишь определенные алгебраические числа – те, которые можно получить из целых чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Именно поэтому выражение "квадратура круга" часто используется для обозначения "невозможного". Если не ограничиваться использованием только линейки и циркуля, задача легко решается различными геометрическими и алгебраическими методами и неоднократно решалась в древности. Очень близкое приближение к "квадратуре круга" можно получить, используя треугольник Кеплера.

Удвоение кубика

Удвоение куба — это задача построения, с использованием только линейки и циркуля, ребра куба, объем которого вдвое больше объема куба с заданным ребром. Это невозможно, поскольку кубический корень из 2, хотя и является алгебраическим числом, не может быть получен из целых чисел посредством сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Это следует из того, что его минимальный многочлен над рациональными числами имеет степень 3. Однако эта задача разрешима с помощью линейки с двумя отметками и циркуля.

Угловое тресекция

Угловая трисекция — это построение, с использованием только линейки и циркуля, угла, равного одной трети заданного произвольного угла. Это невозможно в общем случае. Например, угол 2/5 радиан (72° = 360°/5) можно разделить на три равные части, но угол π/3 радиан (60°) разделить на три равные части невозможно. Общая задача трисекции также легко решается, если разрешено использовать линейку с двумя отметками (построение Неузиса).

Расстояние до эллипса

Сегмент линии от любой точки на плоскости до ближайшей точки на окружности может быть построен, но сегмент от любой точки на плоскости до ближайшей точки на эллипсе с положительной эксцентриситетом в общем случае построить нельзя. См. примечание: результаты, доказанные здесь, в основном являются следствием неконструктивности конических сечений. Если исходная коника считается заданной, то доказательство необходимо пересмотреть, чтобы проверить, требуется ли построение другой, отличной коники. Например, построения нормалей к параболе известны, но они требуют использования точки пересечения окружности и самой параболы. Следовательно, они не являются конструктивными в том смысле, что парабола сама по себе не является конструктивной.

Проблема Альхазена

В 1997 году оксфордский математик Питер М. Нейман доказал теорему о том, что не существует построения циркулем и линейкой для общего решения классической задачи Алхазена (задача о бильярде или отражении от сферического зеркала).

Создание треугольника из трех заданных характерных точек или длин

Шестнадцать ключевых точек треугольника — это его вершины, середины сторон, основания высот, точки пересечения внутренних биссекторов углов, а также центр описанной окружности, центроид, ортоцентр и центр вписанной окружности. Комбинируя их по три, можно получить 139 различных нетривиальных задач построения треугольника по трем заданным точкам. Из этих задач в трех одна точка может быть однозначно определена по двум другим; 23 могут иметь бесконечно много решений, но только при соблюдении определенных ограничений на расположение точек; в 74 задачах построение возможно в общем случае; и в 39 задачах требуемый треугольник существует, но не может быть построен. Двенадцать ключевых длин треугольника — это длины трех сторон, трех высот, трех медиан и трех биссекторов углов. Вместе с тремя углами они образуют 95 различных комбинаций, из которых 63 приводят к построению треугольника, 30 — нет, а две являются недостаточно определенными.

Ограниченные конструкции

Были предприняты различные попытки ограничить разрешенные инструменты для построений в соответствии с различными правилами, чтобы определить, что еще можно построить и каким образом, а также установить минимальные критерии, необходимые для возможности построения всего того, что можно построить с помощью циркуля и линейки.

Строительство только с помощью линейки или только компаса

Можно (согласно теореме Мора — Машерони) построить любую фигуру только с помощью циркуля, если она может быть построена с помощью линейки и циркуля, при условии, что исходные данные и искомые элементы состоят из отдельных точек (а не линий или окружностей). Истинность этой теоремы зависит от истинности аксиомы Архимеда, которая не является аксиомой первого порядка. Примером построения только циркулем является задача Наполеона. Невозможно извлечь квадратный корень только с помощью линейки, поэтому некоторые фигуры, которые нельзя построить с помощью линейки, можно построить с помощью циркуля; однако (по теореме Понселе — Штайнера) они могут быть построены, если задана одна окружность и её центр.

Расширенные конструкции

Древние греки классифицировали построения на три основные категории в зависимости от сложности инструментов, необходимых для их решения. Если построение использовало только линейку и циркуль, оно называлось планиметрическим; если для него также требовались одна или несколько коник (кроме окружности), то оно называлось стереометрическим; третья категория включала все построения, которые не относились ни к одной из двух других категорий. Эта классификация хорошо согласуется с современной алгебраической точкой зрения. Комплексное число, которое можно выразить, используя только операции поля и квадратные корни (как описано выше), имеет планиметрическое построение. Комплексное число, которое включает в себя также извлечение кубических корней, имеет стереометрическое построение. На языке теории полей, комплексное число, являющееся планиметрическим, имеет степень, равную степени двойки, и лежит в расширении поля, которое можно разложить на башню полей, где каждое расширение имеет степень два. Комплексное число, имеющее стереометрическое построение, имеет степень, разложенную на простые множители только на два и три, и лежит в расширении поля, находящемся на вершине башни полей, где каждое расширение имеет степень 2 или 3.

Угловое тресекция

Что, если бы вместе с линейкой и циркулем у нас был инструмент, который мог бы (только) трисектировать произвольный угол? Такие построения являются надежными, но существуют числа, для которых существуют надежные построения, но которые нельзя построить с помощью такого инструмента. Например, с помощью такого инструмента нельзя решить задачу об удвоении куба. С другой стороны, любой правильный n-угольник, для которого существует надежное построение, можно построить с помощью такого инструмента.

Оригами

Математическая теория оригами мощнее, чем построения с помощью линейки и циркуля. Складки, удовлетворяющие аксиомам Хузиты — Хатори, позволяют построить точно тот же набор точек, что и расширенные построения с использованием циркуля и инструмента для рисования конических сечений. Следовательно, оригами также можно использовать для решения кубических уравнений (и, как следствие, уравнений четвертой степени), и таким образом решать две из классических задач.

Маркируемые линейки

Архимед, Никомед и Аполлоний предложили построения, включающие использование размеченной линейки. Это позволяло им, например, задать отрезок прямой, две прямые (или окружности) и точку, а затем построить прямую, проходящую через заданную точку и пересекающую две заданные прямые так, чтобы расстояние между точками пересечения равнялось заданному отрезку. Греки называли это неусисом («склон», «наклонение» или «стремление»), поскольку новая прямая стремится к точке. В этой расширенной схеме можно трисектировать произвольный угол (см. трисекцию Архимеда) или извлечь произвольный кубический корень (благодаря Никомеду). Следовательно, любое расстояние, отношение которого к существующему расстоянию является решением кубического или квартичного уравнения, является построимым. С помощью размеченной линейки построимы правильные многоугольники с геометрическими построениями, такие как семиугольник, и Джон Х. Конвей и Ричард К. Гай приводят построения для нескольких из них. Построение неусиса мощнее, чем инструмент для построения конических сечений, поскольку с его помощью можно построить комплексные числа, не имеющие геометрических построений. Фактически, используя этот инструмент, можно решить некоторые уравнения пятой степени, которые не разрешимы с помощью радикалов. Известно, что нельзя решить неприводимый многочлен степени больше или равной 7 с помощью построения неусиса, поэтому невозможно построить правильный 23-угольник или 29-угольник с помощью этого инструмента. Бенджамин и Снайдер доказали, что можно построить правильный 11-угольник, но не привели построения. Остаётся открытым вопрос о том, можно ли построить правильный 25-угольник или 31-угольник с помощью этого инструмента.

Трисекция прямого сегмента

Имея отрезок прямой AB, можно ли разделить его на три равные части и на любое количество частей, необходимое с помощью теоремы о пропорциональных отрезках?

Вычисление двоичных цифр

В 1998 году Саймон Плауф предложил алгоритм, использующий только линейку и циркуль, для вычисления двоичных разрядов определенных чисел. Алгоритм основан на последовательном удвоении угла и становится физически невыполнимым после примерно 20 двоичных разрядов.