Михаил Громов: Ресейлік-француз математигінің өмірі мен еңбектері

Кіріспе

Михаил Леонидович Громов (сонымен қатар Михаил Громов, Майкл Громов немесе Миша Громов; Михаи́л Леони́дович Гро́мов; 23 желтоқсан 1943 жылы туған) – геометрия, анализ және топтар теориясы саласындағы еңбектерімен танымал орыс-француз математигі. Ол Францияның Жоғары ғылыми зерттеулер институтының тұрақты мүшесі және Нью-Йорк университетінің математика профессоры. Громов көптеген сыйлықтарға ие болған, соның ішінде 2009 жылғы Абель сыйлығы "геометрияға революциялық үлес қосқаны үшін".

Өмірбаян

Михаил Громов 1943 жылғы 23 желтоқсанда Совет Одағының Бокситогорск қаласында дүниеге келген. Оның әкесі Леонид Громов орыс ұлтынан, ал анасы Лея еврей тегінен. Екеуі де патолог мамандығында болған. Оның анасы шахматтан әлем чемпионы Михаил Ботвинник пен математик Исак Моисеевич Рабиновичтің туысы еді. Громов Екінші дүниежүзілік соғыс кезінде туған, ал оның анасы Кеңес Армиясында дәрігер болып жұмыс істегендіктен, оны дүниеге келтіру үшін майданнан уақытыша шығуға мәжбүр болған. Громов тоғыз жасқа келгенде,

Громов 1967 жылы үйленді. 1970 жылы ол Францияның Ницца қаласында өткен Халықаралық математиктер конгресінде баяндама жасауға шақырылды. Бірақ, оған КСРО-дан шығуға рұқсат берілмеді. Дегенмен, оның лекциясы конференция материалдарында жарияланды. Ол өзінің тегін анасының тегіне ауыстырды. 1981 жылы ол Стони Брук университетінен Париж VI университетінің профессоры болып кетті, ал 1982 жылы бүгінге дейін қызмет ететін Жоғары ғылыми зерттеулер институтында тұрақты профессор атанды. Сонымен қатар, ол 1991 жылдан 1996 жылға дейін Мэриленд университетінде (Колледж Парк) және 1996 жылдан бері Нью-Йорктегі Математикалық ғылымдар институтында профессор болып жұмыс істеді. 1992 жылы ол француз азаматтығын қабылдады.

Жұмыс

Громовтың геометрия стилі көбінесе "қатаң" немесе "жұмсақ" көзқараспен ерекшеленеді, асимптотикалық немесе ірі масштабты қасиеттерді талдайды. Ол сондай-ақ математикалық биология, мидың құрылымы мен ойлау процесі, және ғылыми идеялардың эволюциясына қызығушылық танытады. Оның белгілі кітабы "Жеке дифференциалдық қатынастар" осы мәселелер бойынша оның көптеген еңбектерін жинақтайды. Кейіннен ол әдістерін күрделі геометрияға қолданды, үздіксіз бейнелеулердің голоморфты бейнелеулерге деформациялануына қатысты Ока принципінің белгілі бір жағдайларын дәлелдеді. Оның жұмысы 1950 жылдары енгізілген Ока-Грауэрт теориясын қайта қарастыруға бастама берді. Громов пен Виталий Милман өлшемнің шоғырлану құбылысын формулировкалады. Олар "Леви отбасын" нормаланған метрикалық өлшем кеңістіктерінің тізбегі ретінде анықтады, онда кез келген асимптотикалық жоғалып кетпейтін жиынтықтар тізбегі дерлік барлық нүктені қамтитын метрикалық тұрғыдан қалыңдатылуы мүмкін. Бұл үлкен сандар заңының құбылысын тым жақын имитациялайды, және шын мәнінде үлкен сандар заңы Леви отбасының аясында қарастырылуы мүмкін. Громов пен Милман Леви отбасының негізгі теориясын жасады және көптеген мысалдарды анықтады, ең маңыздысы Риччи қисықтығының төменгі шегі немесе Лаплас-Белтрами операторының бірінші өзіндік мәні шексізге ұмтылатын Риманн көптүрліліктерінің тізбектерінен алынған. Олар сондай-ақ Леви отбасының ерекшелігін атап көрсетті, онда кез келген үздіксіз функциялар тізбегі асимптотикалық тұрғыдан дерлік тұрақты болуы керек. Бұл ойларды Мишель Талагран сияқты басқа авторлар да одан әрі дамытты. Джеймс Элс пен Джозеф Сэмпсонның 1964 жылғы гармоникалық бейнелеулер туралы жариялануынан бастап, әртүрлі қатаңдық құбылыстары гармоникалық бейнелеулердің болуы туралы теореманың үйлесімділігімен және (кейбір) гармоникалық бейнелеулердің толығымен геодезиялық немесе голоморфты болуы керек деп мәлімдейтін жоғалу теоремасының үйлесімділігінен туындады. Громовтың көзқарасы бойынша, бұл бағдарламаны метрикалық кеңістіктерге бейнелеуді кеңейту Маргулистің суперқатаңдығынан кейін дискретті топтар туралы жаңа нәтижелерге әкелер еді. Ричард Шоен гармоникалық бейнелеу теориясын метрикалық кеңістікке кеңейту үшін аналитикалық жұмыс жүргізді; бұл кейін Николас Коревар мен Шоен жүйелі түрде жасады, стандартты Соболев кеңістік теориясының көп бөлігін кеңейтті. Громов пен Шоен әдістерінің мысалы – кватерниондық гиперболалық кеңістіктің изометрия тобындағы торлар арифметикалық болып табылады.

Gromov's style of geometry often features a "coarse" or "soft" viewpoint, analyzing asymptotic or large scale properties. He is also interested in mathematical biology, the structure of the brain and the thinking process, and the way scientific ideas evolve. His well known book Partial Differential Relations collects most of his work on these problems. Later, he applied his methods to complex geometry, proving certain instances of the Oka principle on deformation of continuous maps to holomorphic maps. His work initiated a renewed study of the Oka–Grauert theory, which had been introduced in the 1950s. Gromov and Vitali Milman gave a formulation of the concentration of measure phenomena. They defined a "Lévy family" as a sequence of normalized metric measure spaces in which any asymptotically nonvanishing sequence of sets can be metrically thickened to include almost every point. This closely mimics the phenomena of the law of large numbers, and in fact the law of large numbers can be put into the framework of Lévy families. Gromov and Milman developed the basic theory of Lévy families and identified a number of examples, most importantly coming from sequences of Riemannian manifolds in which the lower bound of the Ricci curvature or the first eigenvalue of the Laplace–Beltrami operator diverge to infinity. They also highlighted a feature of Lévy families in which any sequence of continuous functions must be asymptotically almost constant. These considerations have been taken further by other authors, such as Michel Talagrand. Since the seminal 1964 publication of James Eells and Joseph Sampson on harmonic maps, various rigidity phenomena had been deduced from the combination of an existence theorem for harmonic mappings together with a vanishing theorem asserting that (certain) harmonic mappings must be totally geodesic or holomorphic. Gromov had the insight that the extension of this program to the setting of mappings into metric spaces would imply new results on discrete groups, following Margulis superrigidity. Richard Schoen carried out the analytical work to extend the harmonic map theory to the metric space setting; this was subsequently done more systematically by Nicholas Korevaar and Schoen, establishing extensions of most of the standard Sobolev space theory. A sample application of Gromov and Schoen's methods is the fact that lattices in the isometry group of the quaternionic hyperbolic space are arithmetic.

Риман геометриясы

1978 жылы Громов «жақын жазық» көпқырлылар туралы ұғым енгізді. Риман геометриясындағы белгілі төрттен қысылған сфера теоремасы толық Риман көпқырлысының қималық қисықтықтары белгілі бір оң тұрақтыға жеткілікті жақын болса, онда M сферамен шекті түрде жабылуы керек дейді. Керісінше, масштабтау арқылы әрбір жабық Риман көпқырлысының қималық қисықтықтары нөлге кез келгендей жақын Риман метрикасы бар екенін көруге болады. Громов тұрақты диаметрлі Риман көпқырлысын ғана қарастыру арқылы масштабтау мүмкіндігі бұзылса, онда қималық қисықтықтары нөлге жеткілікті жақын Риман метрикасын қабылдайтын жабық көпқырлыс нөлдік көпқырлыспен шекті түрде жабылуы керек екенін көрсетті. Дәлел Бибербах теоремасы мен Маргулис леммасының дәлелдерін қайталау арқылы жұмыс істейді. Громовтың дәлелін Петер Бузер мен Герман Кархер мұқият түсіндірді. 1979 жылы Ричард Шоэн мен Шинг Тунг Яу оң скалярлық қисықтығы бар Риман метрикасын қабылдайтын тегіс көпқырлылар класы топологиялық жағынан бай екенін көрсетті. Атап айтқанда, олар бұл класс қосылған жиынтық және кемінде үш өлшемді операция бойынша жабық екенін көрсетті. Олардың дәлелі, әсіресе Грин функциясы бойынша, бөлшектік дифференциалдық теңдеулердің қарапайым әдістерін қолданды. Громов пен Блейн Лоусон элементар геометриялық құрылымдарды пайдаланып, Шоэн мен Яу нәтижелерінің тағы бір дәлелін берді. Олар сондай-ақ Стивен Смелдің h-кобордизм теоремасы сияқты таза топологиялық нәтижелерді 5, 6 немесе 7 өлшемді әр жабық және жай ғана қосылған тегіс көпқырлысқа оң скалярлық қисықтығы бар Риман метрикасы бар екенін сияқты қорытындылар жасауға қалай қолдануға болатынын көрсетті. Олар гомотопиялық теориядағы шартпен ерекшеленетін кеңейтілген көпқырлылардың жаңа класын енгізді. Олар оң скалярлық қисықтығы бар Риман метрикасы мұндай көпқырлыста болуы мүмкін емес екенін көрсетті. Атап айтқанда, тор оң скалярлық қисықтығы бар Риман метрикасын қолдамайды, бұл бұрын Шоэн мен Яудың төмен өлшемдердегі маңызды болжамы болды. 1981 жылы Громов теріс емес қималық қисықтығы бар Риман метрикасын қабылдайтын көпқырлыстарда Бетти сандарына негізделген топологиялық шектеулерді анықтады. Оның жұмысының басты идеясы Карстен Гроув пен Кацухиро Шиохаманың Риман қашықтық функциясы үшін Морзе теориясын, Топоноговтың салыстыру теоремасынан алынған қашықтық функциясының бақылауымен, геодезиялық шарлардың көлемі туралы Бишоп-Громов теңсіздігімен біріктіру болды. Бұл геодезиялық шарлар арқылы көпқырлыстың топологиялық бақыланатын жапқыштарына әкелді, оларға негізгі көпқырлыстың топологиясын басқару үшін спектрлік тізбек аргументтерін қолдануға болады. Қималық қисықтық бойынша төменгі шектердің топологиясы әлі толыққанды түсінілмеген, ал Громовтың жұмысы негізгі нәтиже ретінде қалады. Ходж теориясын қолдану ретінде Питер Ли мен Яу градиенттік бағалауларын қолдана отырып, Громовтың бағалауларына қарағанда әлсіз, бірақ көпқырлыстың дөңес шекараға ие болуына мүмкіндік беретін Бетти сандарының ұқсас бағалауларын таба алды. Джефф Чигердің Риман көпқырлысы үшін негізгі тығыздық теориясында шектеулі кеңістікте координаттарды құрудағы маңызды қадам - жабық көпқырлыстар үшін инъективтілік радиусын бағалау. Чигер, Громов және Майкл Тейлор Чигердің бағалауын жергіліктілендіріп, Бишоп-Громов көлемін салыстыруды қалай пайдалану керектігін көрсетті. Инъективтілік радиусын абсолютті түрде қисықтық шектерімен және геодезиялық шарлардың көлемдерімен бақылауға болады. Олардың бағалауы координаттарды құру маңызды мәселе болып табылатын көптеген жерлерде қолданылды. Мұның ерекше танымал мысалы - Риччи ағыны үшін Григорий Перельманның «құламайтын теоремасы», ол көлемді басқарады, Ричард Гамильтонның тығыздық теориясын қолдануға мүмкіндік береді. Чигер, Громов және Тейлор жылу ядросының Гаусс бақылауын дәлелдеу үшін инъективтілік радиусын бағалауды қолданды, бірақ бұл бағалауларды кейін Ли мен Яу олардың градиенттік бағалауларын қолдану ретінде жақсартты.

In 1978, Gromov introduced the notion of almost flat manifolds. The famous quarter pinched sphere theorem in Riemannian geometry says that if a complete Riemannian manifold has sectional curvatures which are all sufficiently close to a given positive constant, then M must be finitely covered by a sphere. In contrast, it can be seen by scaling that every closed Riemannian manifold has Riemannian metrics whose sectional curvatures are arbitrarily close to zero. Gromov showed that if the scaling possibility is broken by only considering Riemannian manifolds of a fixed diameter, then a closed manifold admitting such a Riemannian metric, with sectional curvatures sufficiently close to zero, must be finitely covered by a nilmanifold. The proof works by replaying the proofs of the Bieberbach theorem and Margulis lemma. Gromov's proof was given a careful exposition by Peter Buser and Hermann Karcher. In 1979, Richard Schoen and Shing Tung Yau showed that the class of smooth manifolds which admit Riemannian metrics of positive scalar curvature is topologically rich. In particular, they showed that this class is closed under the operation of connected sum and of surgery in codimension at least three. Their proof used elementary methods of partial differential equations, in particular to do with the Green's function. Gromov and Blaine Lawson gave another proof of Schoen and Yau's results, making use of elementary geometric constructions. They also showed how purely topological results such as Stephen Smale's h cobordism theorem could then be applied to draw conclusions such as the fact that every closed and simply connected smooth manifold of dimension 5, 6, or 7 has a Riemannian metric of positive scalar curvature. They further introduced the new class of enlargeable manifolds, distinguished by a condition in homotopy theory. They showed that Riemannian metrics of positive scalar curvature cannot exist on such manifolds. A particular consequence is that the torus cannot support any Riemannian metric of positive scalar curvature, which had been a major conjecture previously resolved by Schoen and Yau in low dimensions. In 1981, Gromov identified topological restrictions, based upon Betti numbers, on manifolds which admit Riemannian metrics of nonnegative sectional curvature. The principal idea of his work was to combine Karsten Grove and Katsuhiro Shiohama's Morse theory for the Riemannian distance function, with control of the distance function obtained from the Toponogov comparison theorem, together with the Bishop–Gromov inequality on volume of geodesic balls. This resulted in topologically controlled covers of the manifold by geodesic balls, to which spectral sequence arguments could be applied to control the topology of the underlying manifold. The topology of lower bounds on sectional curvature is still not fully understood, and Gromov's work remains as a primary result. As an application of Hodge theory, Peter Li and Yau were able to apply their gradient estimates to find similar Betti number estimates which are weaker than Gromov's but allow the manifold to have convex boundary. In Jeff Cheeger's fundamental compactness theory for Riemannian manifolds, a key step in constructing coordinates on the limiting space is an injectivity radius estimate for closed manifolds. Cheeger, Gromov, and Michael Taylor localized Cheeger's estimate, showing how to use Bishop−Gromov volume comparison to control the injectivity radius in absolute terms by curvature bounds and volumes of geodesic balls. Their estimate has been used in a number of places where the construction of coordinates is an important problem. A particularly well known instance of this is to show that Grigori Perelman's "noncollapsing theorem" for Ricci flow, which controls volume, is sufficient to allow applications of Richard Hamilton's compactness theory. Cheeger, Gromov, and Taylor applied their injectivity radius estimate to prove Gaussian control of the heat kernel, although these estimates were later improved by Li and Yau as an application of their gradient estimates.

Громов-Хаусдорф конвергенциясы және геометриялық топтар теориясы

1981 жылы Громов Громов-Хаусдорф метрикасын енгізді, ол барлық метрикалық кеңістіктер жиынына метрикалық кеңістік құрылымын береді. Көбірек айтқанда, әрбір кеңістікте таңдалған нүктеге қатысты екі метрикалық кеңістік арасындағы Громов-Хаусдорф қашықтығын анықтауға болады. Бұл барлық метрикалық кеңістіктер кеңістігінде метриканы қамтамасыз етпесе де, нүктеленген метрикалық кеңістіктер тізбегінің шегіне дейін «Громов-Хаусдорф конвергенциясын» анықтау үшін жеткілікті. Громов осы контексте маңызды тығыздық теоремасын тұжырымдады, ол нүктеленген және «дұрыс» метрикалық кеңістіктер тізбегінің конвергенцияланатын ішкі тізбегі болуы үшін шартты көрсетеді. Кейін Громов және басқалар бұл теореманы ультралимиттердің көбірек икемді түсінігі ретінде қайта формулировкалады. Громовтың тығыздық теоремасы геометриялық топтар теориясы саласына терең әсер етті. Ол оны полиномдық өсуі бар топтың сөз метрикасының асимптотикалық геометриясын түсіну үшін қолданды, метриканың тиісті масштабталған нұсқаларының лимитін алу арқылы. Сөз метрикасының изометрияларының лимиттерін қадағалап, ол шектес метрикалық кеңістіктің күтпеген үздіксіздік қасиеттеріне ие екенін, әсіресе оның изометрия тобы Ли тобы екенін көрсетті. Осының нәтижесінде ол 1960 жылдары қойылған Милнор-Вольф болжамын шеше алды, онда кез келген мұндай топтың дерлік нильпотент екені айтылған. Ультралимиттерді пайдалану арқылы, ұқсас асимптотикалық құрылымдарды көбірек жалпы метрикалық кеңістіктер үшін зерттеуге болады. Бұл тақырып бойынша маңызды жетістіктерді Брюс Клейнер, Бернхард Либ және Пьер Пансу сияқты ғалымдар жасады. Тағы бір салдары – Громовтың тығыздық теоремасы, ол Риччи қисықтығы ≥ c және диаметрі ≤ D болатын компактты Риманн көптүрліліктері жиынының Громов-Хаусдорф метрикасында салыстырмалы түрде компактты екенін көрсетеді. Мұндай көптүрліліктердің ықтимал лимиттік нүктелері – қисықтығы ≥ c Александров кеңістіктері, бұл метрикалық кеңістіктер класы Бураго, Громов және Перельман 1992 жылы егжей-тегжейлі зерттеді. Громов Элияху Риппен бірге гиперболалық топтар туралы ұғымды енгізді.

In 1981, Gromov introduced the Gromov–Hausdorff metric, which endows the set of all metric spaces with the structure of a metric space. More generally, one can define the Gromov Hausdorff distance between two metric spaces, relative to the choice of a point in each space. Although this does not give a metric on the space of all metric spaces, it is sufficient in order to define "Gromov Hausdorff convergence" of a sequence of pointed metric spaces to a limit. Gromov formulated an important compactness theorem in this setting, giving a condition under which a sequence of pointed and "proper" metric spaces must have a subsequence which converges. This was later reformulated by Gromov and others into the more flexible notion of an ultralimit. Gromov's compactness theorem had a deep impact on the field of geometric group theory. He applied it to understand the asymptotic geometry of the word metric of a group of polynomial growth, by taking the limit of well chosen rescalings of the metric. By tracking the limits of isometries of the word metric, he was able to show that the limiting metric space has unexpected continuities, and in particular that its isometry group is a Lie group. As a consequence he was able to settle the Milnor Wolf conjecture as posed in the 1960s, which asserts that any such group is virtually nilpotent. Using ultralimits, similar asymptotic structures can be studied for more general metric spaces. Important developments on this topic were given by Bruce Kleiner, Bernhard Leeb, and Pierre Pansu, among others. Another consequence is Gromov's compactness theorem, stating that the set of compact Riemannian manifolds with Ricci curvature ≥ c and diameter ≤ D is relatively compact in the Gromov–Hausdorff metric. The possible limit points of sequences of such manifolds are Alexandrov spaces of curvature ≥ c, a class of metric spaces studied in detail by Burago, Gromov and Perelman in 1992. Along with Eliyahu Rips, Gromov introduced the notion of hyperbolic groups.

Симплекстік геометрия

Громовтың псевдохоломорфтық қисықтар теориясы қазіргі симплектикалық геометрияны зерттеудің негіздерінің бірі болып табылады. Ол псевдохоломорфтық қисықтарды бірінші болып қарастырмаса да, Карен Ухленбектің Ян Миллс байланыстары жөніндегі бұрынғы жұмысына және Ухленбек пен Джонатан Сактың гармоникалық бейнелер жөніндегі жұмысына параллель "көпіршік" құбылысын ашты. Сакс, Ухленбек және Громовтың жұмысынан бері мұндай көпіршік құбылыстары көптеген басқа геометриялық контекстерде де табылды. Көпіршікті кодтаушы сәйкес тығыздық теоремасы Громовқа псевдохоломорфтық қисықтардың болуы туралы бірқатар терең аналитикалық қорытындыларға келуге мүмкіндік берді. Громовтың ерекше танымал нәтижесі, барлық теориясы мен минималды беттерге арналған монотондық формуланың салдары ретінде алынған, симплектикалық геометрияның айқын сапалық ерекшелігін қамтамасыз ететін "сығусыз теорема" болып табылады. Эдвард Виттеннің идеяларын пайдалана отырып, Громовтың жұмысы сондай-ақ, ішек теориясы, алгебралық геометрия және симплектикалық геометрияға дейінгі кеңінен зерттелген тақырып – Громов-Виттен теориясы үшін де маңызды болып табылады. Басқа көзқарас бойынша, Громовтың жұмысы Андреас Флордың көптеген жұмыстарына да ықпал етті. Яков Елиашберг пен Громов симплектикалық конвекстік ұғымдардың негізгі теориясын жасады. Олар симплектикалық форманы қысқартатын бір параметрлі диффеоморфизмдер отбасының болуымен байланысты әртүрлі конвекстік ұғымдарды енгізді. Олар h-принципі үшін белгілі бір симплектоморфизмдерді құру мәселесі үшін конвекстіліктің тиімді контекст екенін көрсетті. Олар сондай-ақ контакт геометриясында ұқсас ұғымдарды енгізді; конвекстік контакт құрылымдарының болуын кейін Эммануэль Жиру зерттеді.