Михаил Громов: Жизнь и научный путь математика

Введение

Российский и французский математик Михаил Леонидович Громов (также Михаил Громов, Майкл Громов или Миша Громов; Михаи́л Леони́дович Гро́мов; родился 23 декабря 1943 года) — российский и французский математик, известный своими работами в области геометрии, анализа и теории групп. Он является постоянным членом Института высших научных исследований во Франции и профессором математики в Нью-Йоркском университете. Громов удостоен нескольких премий, включая Абелевскую премию 2009 года «за революционные достижения в геометрии».

Биография

Михаил Громов родился 23 декабря 1943 года в Бокситогорске, Советский Союз. Его отец, Леонид Громов, был русским по происхождению, а мать, Лея, – еврейкой. Оба были патологоанатомами. Мать Михаила была двоюродной сестрой чемпиона мира по шахматам Михаила Ботвиника, а также математика Исаака Моисеевича Рабиновича. Громов родился во время Второй мировой войны, и его мать, работавшая врачом в Советской Армии, была вынуждена покинуть фронт, чтобы родить его. Когда Громову исполнилось девять лет,

в 1967 году он женился. В 1970 году его пригласили выступить на Международном конгрессе математиков в Ницце, Франция. Однако ему не разрешили выехать из СССР. Несмотря на это, его доклад был опубликован в материалах конференции. Он сменил фамилию на фамилию матери. В 1981 году он перешел из Университета Стоуни Брук в Университет Париж VI, а в 1982 году стал постоянным профессором в Институте высших научных исследований, где работает и по сей день. Параллельно с этим он занимал должность профессора в Университете Мэриленда, Колледж-Парк с 1991 по 1996 год, а с 1996 года – в Институте математических наук Куранта в Нью-Йорке. В 1992 году он принял французское гражданство.

Работа

Стиль геометрии Громова часто характеризуется "грубым" или "мягким" подходом, анализирующим асимптотические или крупномасштабные свойства. Он также интересуется математической биологией, структурой мозга и процессами мышления, а также эволюцией научных идей. Его известная книга "Частные дифференциальные соотношения" содержит большую часть его работ по этим проблемам. Позже он применил свои методы к комплексной геометрии, доказав некоторые случаи принципа Ока о деформации непрерывных отображений в голоморфные. Его работа инициировала возобновленное изучение теории Ока — Грауэрта, представленной в 1950-х годах. Громов и Виталий Милман дали формулировку феномена концентрации меры. Они определили "семейство Леви" как последовательность нормализованных метрических пространств с мерой, в которых любая асимптотически не исчезающая последовательность множеств может быть метрически утолщена так, чтобы включать почти все точки. Это тесно имитирует явления закона больших чисел, и, фактически, закон больших чисел можно сформулировать в рамках семейств Леви. Громов и Милман разработали базовую теорию семейств Леви и выявили ряд примеров, наиболее важные из которых происходят из последовательностей римановых многообразий, в которых нижняя граница кривизны Риччи или первое собственное значение оператора Лапласа — Бельтрами стремятся к бесконечности. Они также выделили свойство семейств Леви, заключающееся в том, что любая последовательность непрерывных функций должна быть асимптотически почти постоянной. Эти соображения были развиты другими авторами, такими как Мишель Талагран. После основополагающей публикации 1964 года Джеймса Иллса и Джозефа Сэмпсона о гармонических отображениях, различные явления жесткости были выведены из комбинации теоремы существования для гармонических отображений вместе с теоремой об исчезновении, утверждающей, что (определенные) гармонические отображения должны быть полностью геодезическими или голоморфными. Громов пришел к пониманию того, что расширение этой программы на случай отображений в метрические пространства приведет к новым результатам о дискретных группах, в соответствии со свержёсткостью Маргулиса. Ричард Шен выполнил аналитическую работу по расширению теории гармонических отображений на метрическое пространство; впоследствии это было сделано более систематически Николасом Кореваром и Шеном, установившими расширения большинства стандартных теорий пространства Соболева. Одним из примеров применения методов Громова и Шена является тот факт, что решетки в группе изометрий кватернионного гиперболического пространства являются арифметическими.

Gromov's style of geometry often features a "coarse" or "soft" viewpoint, analyzing asymptotic or large scale properties. He is also interested in mathematical biology, the structure of the brain and the thinking process, and the way scientific ideas evolve. His well known book Partial Differential Relations collects most of his work on these problems. Later, he applied his methods to complex geometry, proving certain instances of the Oka principle on deformation of continuous maps to holomorphic maps. His work initiated a renewed study of the Oka–Grauert theory, which had been introduced in the 1950s. Gromov and Vitali Milman gave a formulation of the concentration of measure phenomena. They defined a "Lévy family" as a sequence of normalized metric measure spaces in which any asymptotically nonvanishing sequence of sets can be metrically thickened to include almost every point. This closely mimics the phenomena of the law of large numbers, and in fact the law of large numbers can be put into the framework of Lévy families. Gromov and Milman developed the basic theory of Lévy families and identified a number of examples, most importantly coming from sequences of Riemannian manifolds in which the lower bound of the Ricci curvature or the first eigenvalue of the Laplace–Beltrami operator diverge to infinity. They also highlighted a feature of Lévy families in which any sequence of continuous functions must be asymptotically almost constant. These considerations have been taken further by other authors, such as Michel Talagrand. Since the seminal 1964 publication of James Eells and Joseph Sampson on harmonic maps, various rigidity phenomena had been deduced from the combination of an existence theorem for harmonic mappings together with a vanishing theorem asserting that (certain) harmonic mappings must be totally geodesic or holomorphic. Gromov had the insight that the extension of this program to the setting of mappings into metric spaces would imply new results on discrete groups, following Margulis superrigidity. Richard Schoen carried out the analytical work to extend the harmonic map theory to the metric space setting; this was subsequently done more systematically by Nicholas Korevaar and Schoen, establishing extensions of most of the standard Sobolev space theory. A sample application of Gromov and Schoen's methods is the fact that lattices in the isometry group of the quaternionic hyperbolic space are arithmetic.

Риманновская геометрия

В 1978 году Громов ввёл понятие почти плоских многообразий. Известная теорема о четверть-защемлённой сфере в римановой геометрии утверждает, что если полное риманово многообразие имеет сеченияльные кривизны, все из которых достаточно близки к заданной положительной константе, то M конечно покрывается сферой. В отличие от этого, можно показать, что любое замкнутое риманово многообразие имеет римановы метрики, сеченияльные кривизны которых произвольно близки к нулю. Громов показал, что если возможность масштабирования ограничена рассмотрением только римановых многообразий фиксированного диаметра, то замкнутое многообразие, допускающее такую риманову метрику с сеченияльными кривизнами, достаточно близкими к нулю, должно быть конечно покрыто нильмногообразием. Доказательство основано на повторении доказательств теоремы Бибербаха и леммы Маргулиса. Тщательное изложение доказательства Громова было дано Питером Бузером и Германом Кархером. В 1979 году Ричард Шоэн и Шинг Тунг Яу показали, что класс гладких многообразий, допускающих римановы метрики положительной скалярной кривизны, топологически богат. В частности, они доказали, что этот класс замкнут относительно операции связной суммы и операции хирургии в коразмерности не менее трёх. В их доказательстве использовались элементарные методы дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, связанные с функцией Грина. Громов и Блейн Лоусон предложили другое доказательство результатов Шоэна и Яу, используя элементарные геометрические построения. Они также показали, как чисто топологические результаты, такие как теорема о h-кобордизме Стивена Смейла, можно применить для получения выводов, например, о том, что любое замкнутое и простосвязное гладкое многообразие размерности 5, 6 или 7 имеет риманову метрику положительной скалярной кривизны. Они также ввели новый класс расширяемых многообразий, характеризующийся условием в теории гомотопий. Они показали, что римановы метрики положительной скалярной кривизны не могут существовать на таких многообразиях. В частности, тор не может поддерживать никакую риманову метрику положительной скалярной кривизны, что было важной гипотезой, ранее решённой Шоэном и Яу в малых размерностях. В 1981 году Громов выявил топологические ограничения, основанные на числах Бетти, для многообразий, допускающих римановы метрики неотрицательной сеченияльной кривизны. Основная идея его работы заключалась в объединении теории Морса Карстена Гроува и Кацухиро Шиохамы для римановой функции расстояния с контролем функции расстояния, полученным из теоремы сравнения Топоногова, вместе с неравенством Бишопа — Громова об объёме геодезических шаров. Это привело к топологически контролируемым покрытиям многообразия геодезическими шарами, к которым можно было применить аргументы со спектральными последовательностями для контроля топологии базового многообразия. Топология нижних ограничений на сеченияльную кривизну до сих пор полностью не изучена, и работа Громова остаётся фундаментальным результатом. В качестве приложения теории Ходжа Питер Ли и Яу смогли применить свои оценки градиента для получения аналогичных оценок чисел Бетти, которые слабее оценок Громова, но позволяют многообразию иметь выпуклую границу. В фундаментальной теории компактности Джеффа Чигера для римановых многообразий ключевым шагом в построении координат на предельном пространстве является оценка радиуса инъективности для замкнутых многообразий. Чигер, Громов и Майкл Тейлор локализовали оценку Чигера, показав, как использовать сравнение объёмов Бишопа — Громова для контроля радиуса инъективности в абсолютных величинах границами кривизны и объёмами геодезических шаров. Их оценка использовалась во многих случаях, где построение координат является важной задачей. Особенно известным примером является доказательство «теоремы о не схлопывании» Григория Перельмана для потока Риччи, который контролирует объём и достаточен для применения теории компактности Ричарда Гамильтона. Чигер, Громов и Тейлор применили свою оценку радиуса инъективности для доказательства гауссовского контроля теплового ядра, хотя эти оценки были позже улучшены Ли и Яу как применение их оценок градиента.

In 1978, Gromov introduced the notion of almost flat manifolds. The famous quarter pinched sphere theorem in Riemannian geometry says that if a complete Riemannian manifold has sectional curvatures which are all sufficiently close to a given positive constant, then M must be finitely covered by a sphere. In contrast, it can be seen by scaling that every closed Riemannian manifold has Riemannian metrics whose sectional curvatures are arbitrarily close to zero. Gromov showed that if the scaling possibility is broken by only considering Riemannian manifolds of a fixed diameter, then a closed manifold admitting such a Riemannian metric, with sectional curvatures sufficiently close to zero, must be finitely covered by a nilmanifold. The proof works by replaying the proofs of the Bieberbach theorem and Margulis lemma. Gromov's proof was given a careful exposition by Peter Buser and Hermann Karcher. In 1979, Richard Schoen and Shing Tung Yau showed that the class of smooth manifolds which admit Riemannian metrics of positive scalar curvature is topologically rich. In particular, they showed that this class is closed under the operation of connected sum and of surgery in codimension at least three. Their proof used elementary methods of partial differential equations, in particular to do with the Green's function. Gromov and Blaine Lawson gave another proof of Schoen and Yau's results, making use of elementary geometric constructions. They also showed how purely topological results such as Stephen Smale's h cobordism theorem could then be applied to draw conclusions such as the fact that every closed and simply connected smooth manifold of dimension 5, 6, or 7 has a Riemannian metric of positive scalar curvature. They further introduced the new class of enlargeable manifolds, distinguished by a condition in homotopy theory. They showed that Riemannian metrics of positive scalar curvature cannot exist on such manifolds. A particular consequence is that the torus cannot support any Riemannian metric of positive scalar curvature, which had been a major conjecture previously resolved by Schoen and Yau in low dimensions. In 1981, Gromov identified topological restrictions, based upon Betti numbers, on manifolds which admit Riemannian metrics of nonnegative sectional curvature. The principal idea of his work was to combine Karsten Grove and Katsuhiro Shiohama's Morse theory for the Riemannian distance function, with control of the distance function obtained from the Toponogov comparison theorem, together with the Bishop–Gromov inequality on volume of geodesic balls. This resulted in topologically controlled covers of the manifold by geodesic balls, to which spectral sequence arguments could be applied to control the topology of the underlying manifold. The topology of lower bounds on sectional curvature is still not fully understood, and Gromov's work remains as a primary result. As an application of Hodge theory, Peter Li and Yau were able to apply their gradient estimates to find similar Betti number estimates which are weaker than Gromov's but allow the manifold to have convex boundary. In Jeff Cheeger's fundamental compactness theory for Riemannian manifolds, a key step in constructing coordinates on the limiting space is an injectivity radius estimate for closed manifolds. Cheeger, Gromov, and Michael Taylor localized Cheeger's estimate, showing how to use Bishop−Gromov volume comparison to control the injectivity radius in absolute terms by curvature bounds and volumes of geodesic balls. Their estimate has been used in a number of places where the construction of coordinates is an important problem. A particularly well known instance of this is to show that Grigori Perelman's "noncollapsing theorem" for Ricci flow, which controls volume, is sufficient to allow applications of Richard Hamilton's compactness theory. Cheeger, Gromov, and Taylor applied their injectivity radius estimate to prove Gaussian control of the heat kernel, although these estimates were later improved by Li and Yau as an application of their gradient estimates.

Сближение Громова - Хаусдорфа и теория геометрических групп

В 1981 году Громов ввёл метрику Громова — Гаусдорфа, которая наделяет множество всех метрических пространств структурой метрического пространства. В более общем случае можно определить расстояние Громова — Гаусдорфа между двумя метрическими пространствами относительно выбора точки в каждом пространстве. Хотя это не даёт метрику на пространстве всех метрических пространств, этого достаточно для определения "сходимости Громова — Гаусдорфа" последовательности метрических пространств с выделенной точкой к пределу. В этой связи Громов сформулировал важную теорему о компактности, дающую условие, при котором последовательность точечных и "правильных" метрических пространств должна иметь подпоследовательность, сходящуюся к пределу. Позднее Громов и другие переформулировали это в более гибкое понятие ультралимита. Теорема о компактности Громова оказала глубокое влияние на область геометрической теории групп. Он применил её для понимания асимптотической геометрии метрики слова группы полиномиального роста, рассматривая предел хорошо выбранных масштабирований метрики. Отслеживая пределы изометрий метрики слова, он показал, что предельное метрическое пространство обладает неожиданной непрерывностью, и в частности, что его группа изометрий является группой Ли. Как следствие, ему удалось решить гипотезу Милнора — Вольфа, сформулированную в 1960-х годах, утверждающую, что любая такая группа является практически нильпотентной. Используя ультралимиты, аналогичные асимптотические структуры можно изучать для более общих метрических пространств. Важные результаты в этой области были получены Брюсом Клейнером, Бернардом Либом и Пьером Пансу, среди других. Другим следствием является теорема о компактности Громова, утверждающая, что множество компактных римановых многообразий с кривизной Риччи ≥ c и диаметром ≤ D относительно компактно в метрике Громова — Гаусдорфа. Возможные предельные точки последовательностей таких многообразий — пространства Александрова с кривизной ≥ c, класс метрических пространств, подробно изученный Бураго, Громовым и Перельманом в 1992 году. Вместе с Элияху Рипсом Громов ввёл понятие гиперболических групп.

In 1981, Gromov introduced the Gromov–Hausdorff metric, which endows the set of all metric spaces with the structure of a metric space. More generally, one can define the Gromov Hausdorff distance between two metric spaces, relative to the choice of a point in each space. Although this does not give a metric on the space of all metric spaces, it is sufficient in order to define "Gromov Hausdorff convergence" of a sequence of pointed metric spaces to a limit. Gromov formulated an important compactness theorem in this setting, giving a condition under which a sequence of pointed and "proper" metric spaces must have a subsequence which converges. This was later reformulated by Gromov and others into the more flexible notion of an ultralimit. Gromov's compactness theorem had a deep impact on the field of geometric group theory. He applied it to understand the asymptotic geometry of the word metric of a group of polynomial growth, by taking the limit of well chosen rescalings of the metric. By tracking the limits of isometries of the word metric, he was able to show that the limiting metric space has unexpected continuities, and in particular that its isometry group is a Lie group. As a consequence he was able to settle the Milnor Wolf conjecture as posed in the 1960s, which asserts that any such group is virtually nilpotent. Using ultralimits, similar asymptotic structures can be studied for more general metric spaces. Important developments on this topic were given by Bruce Kleiner, Bernhard Leeb, and Pierre Pansu, among others. Another consequence is Gromov's compactness theorem, stating that the set of compact Riemannian manifolds with Ricci curvature ≥ c and diameter ≤ D is relatively compact in the Gromov–Hausdorff metric. The possible limit points of sequences of such manifolds are Alexandrov spaces of curvature ≥ c, a class of metric spaces studied in detail by Burago, Gromov and Perelman in 1992. Along with Eliyahu Rips, Gromov introduced the notion of hyperbolic groups.

Симплектическая геометрия

Теория псевдоголоморфных кривых Громова является одним из краеугольных камней современного изучения симплектической геометрии. Хотя он и не был первым, кто рассматривал псевдоголоморфные кривые, он обнаружил феномен "пузырькообразования", аналогичный более ранним работам Карен Уленбек по связям Янга — Миллса и работам Уленбек и Джонатана Сэка по гармоническим отображениям. После работ Сэка, Уленбек и Громова подобные явления пузырькообразования были обнаружены во многих других геометрических контекстах. Соответствующая теорема о компактности, кодирующая пузырькообразование, позволила Громову сделать ряд глубоких аналитических выводов о существовании псевдоголоморфных кривых. Особенно известным результатом Громова, полученным как следствие теории существования и формулы монотонности для минимальных поверхностей, является "теорема о несжимаемости", которая выявила поразительную качественную характеристику симплектической геометрии. Развивая идеи Эдварда Виттена, работа Громова также является фундаментальной для теории Громова — Виттена, широко изучаемой области, охватывающей теорию струн, алгебраическую геометрию и симплектическую геометрию. С другой стороны, работа Громова послужила вдохновением для многих работ Андреаса Флоэра. Яков Элиашберг и Громов разработали базовую теорию симплектических понятий выпуклости. Они ввели различные специфические понятия выпуклости, все из которых связаны с существованием однопараметрических семейств диффеоморфизмов, сжимающих симплектическую форму. Они показали, что выпуклость является подходящим контекстом для применения принципа h к задаче построения определенных симплектоморфизмов. Они также ввели аналогичные понятия в контактной геометрии; существование выпуклых контактных структур позднее изучалось Эммануэлем Жиру.