Кіріспе
Математикада Клиффорд-Клейн формасы – Γ\G/H қос косет кеңістігі, мұнда G – редуктивті Ли тобы, H – G-нің жабық кіші тобы, ал Γ – G-нің біртекті кеңістікте дұрыс үзіліссіз әрекет ететін дискретті кіші тобы. Берілген G және H үшін Γ дискретті кіші тобы болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін. Егер Γ болса, онда Γ\G/H кеңістігін компактты кеңістік ретінде қарастыруға болады ма, бұл компактты Клиффорд-Клейн формасы деп аталады. Егер H өзі компактты болса, классикалық нәтижелер компактты Клиффорд-Клейн формасының бар екенін көрсетеді. Әйтпесе, ондай форма болмауы мүмкін, және осыған қатысты бірнеше теріс нәтижелер бар.
Γ\G/H,
where G is a reductive Lie group, H a closed subgroup of G, and Γ a discrete subgroup of G that acts properly discontinuously on the homogeneous space G/H. A suitable discrete subgroup Γ may or may not exist, for a given G and H. If Γ exists, there is the question of whether Γ\G/H can be taken to be a compact space, called a compact Clifford–Klein form. When H is itself compact, classical results show that a compact Clifford–Klein form exists. Otherwise it may not, and there are a number of negative results.
Тарих
Мориц Эпплдің айтуынша, Клиффорд-Клайн формалары В. К. Клиффорд кеңістігін бұрау үшін кватерниондарды қолданғанда пайда болды. "Әрбір бұрылыста кеңістікті толтыратын инвариантты сызықтар жинағы болды", осы Клиффорд параллельдері. Олар "эллипстік 3-кеңістікте орналасқан ерекше құрылымды" – Клиффорд бетін – құрады, бұл "бірдей жергілікті геометрия жаһандық тұрғыдан әртүрлі кеңістіктерге байланысты болуы мүмкін" екенін көрсетті. Вильгельм Киллинг қатты денелердің еркін қозғалысы үшін төрт кеңістік бар деп ойлады: Евклидтік, гиперболалық, эллипстік және сфералық. Бұл кеңістіктер тұрақты қисықтыққа ие, бірақ тұрақты қисықтық пен еркін қозғалыс ерекшеленеді: бірі жергілікті, екіншісі жергілікті де, жаһандық та. Киллингтің Клиффорд-Клайн кеңістігі формаларына қосқан үлесі – оларды топтар тұрғысынан тұжырымдау, жаңа мысалдар кластарын табу және тұрақты қисықтық кеңістіктерінің ғылыми маңыздылығын қарастыру. Ол CK кеңістігі формаларының физикалық теориясын әзірлеу жұмысын қолға алды. Карл Шварцшильд "Кеңістік қисықтығының қабылданған өлшемі" деп жазды және қосымшада физикалық кеңістік шындығында тұрақты қисықтықтың стандартты емес кеңістігі болуы мүмкін екенін атап өтті.