Введение

В математике форма Клиффорда — Клейна представляет собой двойное косое множество Γ\G/H, где G — редуктивная группа Ли, H — замкнутая подгруппа G, а Γ — дискретная подгруппа G, действующая корректно разрывно на однородном пространстве G/H. Для заданных G и H подходящая дискретная подгруппа Γ может как существовать, так и не существовать. Если Γ существует, возникает вопрос о том, можно ли рассматривать Γ\G/H как компактное пространство, называемое компактной формой Клиффорда — Клейна. Когда H само по себе компактно, классические результаты показывают, что компактная форма Клиффорда — Клейна существует. В противном случае она может не существовать, и существует ряд отрицательных результатов.

История

Согласно Морицу Эппле, формы Клиффорда — Клейна возникли, когда В. К. Клиффорд использовал кватернионы для скручивания пространства. "Каждый такой поворот обладал заполняющей пространство семьей инвариантных линий", – клиффордовы параллели. Они образовали "особую структуру, встроенную в эллиптическое 3-мерное пространство", поверхность Клиффорда, которая продемонстрировала, что "одна и та же локальная геометрия может быть связана с пространствами, глобально различными". Вильгельм Киллинг полагал, что для свободного движения твёрдых тел существует четыре пространства: евклидово, гиперболическое, эллиптическое и сферическое. Это пространства постоянной кривизны, но постоянная кривизна отличается от свободной подвижности: одна является локальной, а другая – одновременно локальной и глобальной. Вклад Киллинга в формы пространства Клиффорда — Клейна включал формулировку в терминах групп, поиск новых классов примеров и рассмотрение научной значимости пространств постоянной кривизны. Он взялся за разработку физических теорий форм пространства КК. Карл Шварцшильд написал "Допустимая мера кривизны пространства" и отметил в приложении, что физическое пространство может фактически являться нестандартным пространством постоянной кривизны.