Кіріспе
Гомологиялық алгебрадағы құрылымдар
Математикада Ext функторлары – Hom функторының туынды функторлары. Tor функторымен қатар, Ext гомологиялық алгебраның негізгі ұғымдарының бірі болып табылады, онда алгебралық топологиядан алынған идеялар алгебралық құрылымдардың инварианттарын анықтау үшін қолданылады. Топтардың, Ли алгебраларының және ассоциативтік алгебралардың когомологиясы Ext арқылы анықталуы мүмкін. Атауы Ext1 бірінші Ext тобының бір модульді екінші модульмен кеңейтулерді жіктеуге арналғанымен байланысты. Абельдік топтардың ерекше жағдайында Ext-ті Рейнхольд Баэр (1934) енгізген. Оны Сэмюэл Эйленберг және Сондерс Маклейн (1942) атады және топологияға қолданды (когомологияның әмбебап коэффициенттері туралы теорема). Кез келген сақинадағы модульдер үшін Ext-ті Анри Картан мен Эйленберг 1956 жылы жарық көрген «Гомологиялық алгебра» кітабында анықтады.
In mathematics, the Ext functors are the derived functors of the Hom functor. Along with the Tor functor, Ext is one of the core concepts of homological algebra, in which ideas from algebraic topology are used to define invariants of algebraic structures. The cohomology of groups, Lie algebras, and associative algebras can all be defined in terms of Ext. The name comes from the fact that the first Ext group Ext1 classifies extensions of one module by another. In the special case of abelian groups, Ext was introduced by Reinhold Baer (1934). It was named by Samuel Eilenberg and Saunders MacLane (1942), and applied to topology (the universal coefficient theorem for cohomology). For modules over any ring, Ext was defined by Henri Cartan and Eilenberg in their 1956 book Homological Algebra.
Алынған категория және Yoneda өнімдері
Маңызды бір жайт – абельдік категориядағы Ext топтарын C категориясына қатысты категориядағы, туынды категория D(C) ішіндегі морфизмдер жиыны ретінде қарастыруға болады. Туынды категорияның объектілері – C категориясындағы объектілердің кешендері. Атап айтқанда, C категориясының бір объектісін нөлдік дәрежеде шоғырланған кешен ретінде қарастырамыз, ал [i] – бұл кешенді i қадамға солға жылжытуды білдіреді. Осы түсіндірмеден кейде Йонеда көбейтіндісі деп аталатын билинейрлік бейнелеу пайда болады:
where an object of C is viewed as a complex concentrated in degree zero, and [i] means shifting a complex i steps to the left. From this interpretation, there is a bilinear map, sometimes called the Yoneda product:
which is simply the composition of morphisms in the derived category. The Yoneda product can also be described in more elementary terms. For i = j = 0, the product is the composition of maps in the category C. In general, the product can be defined by splicing together two Yoneda extensions. Alternatively, the Yoneda product can be defined in terms of resolutions. (This is close to the definition of the derived category.) For example, let R be a ring, with R modules A, B, C, and let P, Q, and T be projective resolutions of A, B, C. Then Ext(A,B) can be identified with the group of chain homotopy classes of chain maps P → Q[i]. The Yoneda product is given by composing chain maps:
By any of these interpretations, the Yoneda product is associative. As a result, is a graded ring, for any R module A. For example, this gives the ring structure on group cohomology since this can be viewed as Also by associativity of the Yoneda product: for any R modules A and B, is a module over .
ол – туынды категориядағы морфизмдердің композициясы. Йонеда көбейтіндісін қарапайым түсіндіруге болады. i = j = 0 болғанда, көбейтінді – C категориясындағы бейнелеулердің композициясы. Жалпы жағдайда, көбейтіндіні екі Йонеда кеңейтуін біріктіру арқылы анықтауға болады. Басқаша айтқанда, Йонеда көбейтіндісін ажыратымдар (resolution) арқылы анықтауға болады (бұл туынды категорияның анықтамасына жақын). Мысалы, R – сақина, ал A, B, C – R модульдері, ал P, Q және T – A, B, C ажыратымдары болсын. Содан кейін Ext(A, B) тізбектік гомотопия кластарының P → Q[i] тізбектік бейнелеулері тобымен сәйкес келеді. Йонеда көбейтіндісі тізбектік бейнелеулерді композициялау арқылы беріледі:
where an object of C is viewed as a complex concentrated in degree zero, and [i] means shifting a complex i steps to the left. From this interpretation, there is a bilinear map, sometimes called the Yoneda product:
which is simply the composition of morphisms in the derived category. The Yoneda product can also be described in more elementary terms. For i = j = 0, the product is the composition of maps in the category C. In general, the product can be defined by splicing together two Yoneda extensions. Alternatively, the Yoneda product can be defined in terms of resolutions. (This is close to the definition of the derived category.) For example, let R be a ring, with R modules A, B, C, and let P, Q, and T be projective resolutions of A, B, C. Then Ext(A,B) can be identified with the group of chain homotopy classes of chain maps P → Q[i]. The Yoneda product is given by composing chain maps:
By any of these interpretations, the Yoneda product is associative. As a result, is a graded ring, for any R module A. For example, this gives the ring structure on group cohomology since this can be viewed as Also by associativity of the Yoneda product: for any R modules A and B, is a module over .
Осы түсіндірмелердің кез келгені бойынша Йонеда көбейтіндісі ассоциативті болады. Нәтижесінде, кез келген R модулі үшін, бұл сыныпталған сақина болады. Мысалы, бұл топтық когомологиядағы сақина құрылымын береді, себебі оны сондай-ақ қарастыруға болады. Сондай-ақ, Йонеда көбейтіндісінің ассоциативтілігіне сүйене отырып, кез келген R модульдері A және B үшін, – бұл модуль үстіндегі модуль болады.
where an object of C is viewed as a complex concentrated in degree zero, and [i] means shifting a complex i steps to the left. From this interpretation, there is a bilinear map, sometimes called the Yoneda product:
which is simply the composition of morphisms in the derived category. The Yoneda product can also be described in more elementary terms. For i = j = 0, the product is the composition of maps in the category C. In general, the product can be defined by splicing together two Yoneda extensions. Alternatively, the Yoneda product can be defined in terms of resolutions. (This is close to the definition of the derived category.) For example, let R be a ring, with R modules A, B, C, and let P, Q, and T be projective resolutions of A, B, C. Then Ext(A,B) can be identified with the group of chain homotopy classes of chain maps P → Q[i]. The Yoneda product is given by composing chain maps:
By any of these interpretations, the Yoneda product is associative. As a result, is a graded ring, for any R module A. For example, this gives the ring structure on group cohomology since this can be viewed as Also by associativity of the Yoneda product: for any R modules A and B, is a module over .