Введение
Конструкция в гомологической алгебре
В математике функторы Ext являются производными функторами функтора Hom. Наряду с функтором Tor, Ext является одним из ключевых понятий гомологической алгебры, в которой идеи из алгебраической топологии используются для определения инвариантов алгебраических структур. Когомология групп, алгебр Ли и ассоциативных алгебр может быть определена в терминах Ext. Название происходит от того, что первая группа Ext¹ классифицирует расширения одного модуля другим. В частном случае абелевых групп Ext был введен Рейнхольдом Баером (1934). Он получил название благодаря Сэмюэлю Эйленбергу и Со́ндерсу Макле́йну (1942) и был применён к топологии (теорема об универсальном коэффициенте для когомологии). Для модулей над любым кольцом Ext был определён Анри Картаном и Эйленбергом в их книге 1956 года «Гомологическая алгебра».
In mathematics, the Ext functors are the derived functors of the Hom functor. Along with the Tor functor, Ext is one of the core concepts of homological algebra, in which ideas from algebraic topology are used to define invariants of algebraic structures. The cohomology of groups, Lie algebras, and associative algebras can all be defined in terms of Ext. The name comes from the fact that the first Ext group Ext1 classifies extensions of one module by another. In the special case of abelian groups, Ext was introduced by Reinhold Baer (1934). It was named by Samuel Eilenberg and Saunders MacLane (1942), and applied to topology (the universal coefficient theorem for cohomology). For modules over any ring, Ext was defined by Henri Cartan and Eilenberg in their 1956 book Homological Algebra.
Выведенная категория и продукт Yoneda
Важным моментом является то, что группы Ext в абелевой категории C можно рассматривать как множества морфизмов в категории, связанной с C, – производной категории D(C). Объектами производной категории являются комплексы объектов в C. В частности, имеет место следующее:
где объект C рассматривается как комплекс, сконцентрированный в нулевой степени, а [i] означает сдвиг комплекса на i шагов влево. Из этой интерпретации следует двулинейное отображение, иногда называемое произведением Йонеды:
это просто композиция морфизмов в производной категории. Произведение Йонеды также можно описать более элементарно. Для i = j = 0 произведение является композицией отображений в категории C. В общем случае произведение можно определить, «склеив» два расширения Йонеды. Альтернативно, произведение Йонеды можно определить с помощью разрешений. (Это близко к определению производной категории.) Например, пусть R – кольцо, с R-модулями A, B, C, и пусть P, Q и T – проективные разрешения A, B, C соответственно. Тогда Ext(A,B) можно отождествить с группой классов гомотопии цепных отображений P → Q[i]. Произведение Йонеды задается композицией цепных отображений:
При любой из этих интерпретаций произведение Йонеды ассоциативно. Как следствие, является градуированным кольцом для любого R-модуля A. Например, это дает кольцевую структуру групповой когомологии, поскольку ее можно рассматривать как. Также, благодаря ассоциативности произведения Йонеды: для любых R-модулей A и B, является модулем над .