Кіріспе
Математикалық құрылым
Математикада, үтірлі категория (ерекше жағдайда – кесінді категория) – категориялар теориясындағы бір құрылым. Ол морфизмдерге қарастырудың тағы бір жолын ұсынады: категорияның объектілерін бір-бірімен байланыстырудың орнына, морфизмдер өздері жеке объектілерге айналады. Бұл ұғымды 1963 жылы Ф.В. Лоувер енгізген (Lawvere, 1963 ж. 36-бет), бірақ бұл техника көп жылдар бойы кеңінен танымал болған жоқ. Көптеген математикалық түсініктерді үтірлі категориялар арқылы қарастыруға болады. Үтірлі категориялар кейбір шектер мен кошектердің болуын да кепілдік береді. Атауы Лоувер бастапқыда қолданған, үтір белгісін пайдаланған жазудан шыққан. Стандартты белгілеу өзгергеніне қарамастан, атау сақталып келеді, себебі үтірді оператор ретінде қолдану шатасуға әкелуі мүмкін, тіпті Лоувердің өзі "үтірлі категория" деген ақпараттық жағынан жеткіліксіз терминге риза емес (Lawvere, 1963 ж. 13-бет).
Анықтама
Ең жалпы үтірлі категория құрылымы бір кодомені бөлісетін екі функторды қамтиды. Көбінесе олардың біреуінің домені 1 болады (бір нысан және бір морфизмнен тұратын категория). Категориялар теориясының кейбір түсіндірмелері тек осы ерекше жағдайларды қарастырады, бірақ үтірлі категория термині іс жүзінде әлдеқайда жалпылама.
Қиынды санаты
Бірінші ерекше жағдай мынада туындайды: , функтор сәйкестік функторы болып табылады, ал (бір объектісі және бір морфизмі бар категория). Содан кейін, қандай да бір нысан үшін . Бұл жағдайда, үтірлі категория деп жазылады және көбінесе бөлінді категориясы немесе нысандар категориясы деп аталады. Нысандарды жұптар түрінде қарастыруға болады, мұнда кейде оны A морфизмімен белгілейді. Сонда, бөлінді категориясындағы -дан -ға морфизмді келесі диаграмманы коммутативті ететін жебеге дейін қарапайымдауға болады:
In this case, the comma category is written , and is often called the slice category over or the category of objects over The objects can be simplified to pairs , where Sometimes, is denoted by A morphism from to in the slice category can then be simplified to an arrow making the following diagram commute:
Кослайс санаты
Слайс санатының қос ұғымы – кослис санаты. Мұнда, доменге ие, ал – сәйкестік функтор болып табылады. Бұл жағдайда, үтірлі категория көбінесе деп жазылады, мұнда – таңдалған объектісі, яғни бойынша. Оны немесе -қа қатысты кослис санаты, немесе -астындағы объектілер санаты деп атайды. Объектілер жұптар түрінде беріледі, және берілген және , кослис санатындағы морфизм келесі диаграмманы коммутативті ететін карта болып табылады:
Жебе санаты
және - ны өзгеріссіз қалдыратын функторлар (яғни ). Бұл жағдайда, үтірлі категория - жебе категориясы болып табылады. Оның объектілері - ның морфизмдері, ал оның морфизмдері - ның коммутативті төртбұрыштары.
Басқа өзгерістер
Слайд немесе кослис санатының жағдайында, сәйкестік функторы басқа функтормен алмастырылуы мүмкін; бұл адъюнктті функторларды зерттеуде ерекше пайдалы санаттар отбасын құрайды. Мысалы, егер абельдік топты оның негізгі жиынтығына бейнелейтін ұмыту функторы болса және белгілі бір жиын (1-ден функтор ретінде қарастырылатын) болса, онда үтірлі санаттағы объектілер — топтың негізгі жиынтығына бейнеленетін карталар болады. Бұл сол жақ адъюнктісімен байланысты, яғни берілген жиынды негіз ретінде алатын еркін абельдік топқа бейнелейтін функтор. Атап айтқанда, санаттың бастапқы объекісі — канондық инъекция болып табылады, мұнда — бос топты тудырады. Санаттың объекісі — домені және проекциялық функторлары бар морфизм немесе құрылымдалған жебе деп аталады және олар үздіксіз болады. Сол сияқты, егер және кокомплекті болса, ал коконтинуитіті болса, онда кокомплекті болады, ал проекциялық функторлар коконтинуитіті болады. Мысалы, графиктер санатын үтірлі санат ретінде құруда жиынтар санаты толық және кокомплекті, ал сәйкестік функторы үздіксіз және коконтинуитіті екенін ескеріңіз. Осылайша, графиктер санаты толық және кокомплекті. Кез келген колимиттен немесе лимиттен бастап әмбебап морфизм ұғымын үтірлі санат арқылы білдіруге болады. Негізінде, біз объектілері конустар болатын санатты құраймыз, ал шектеу конусы терминалдық объекті болады; содан кейін, лимит үшін әрбір әмбебап морфизм — терминалдық объектіге морфизм болады. Бұл екі жағдайда да жұмыс істейді, конустар санаты бастапқы объектіге ие. Мысалы, әрбір объектіні және әрбір жебені функторға бейнелейтін санат болсын. -тан -ға дейінгі әмбебап морфизм, анықтама бойынша, кез келген морфизм үшін бірегей морфизм болатын әмбебап қасиеті бар объект пен морфизмнен тұрады. Басқаша айтқанда, бұл санаттағы кез келген басқа объектіге морфизмге ие болатын үтірлі санаттағы объект; ол бастапқы. Бұл, егер ол бар болса, копродуктті анықтауға қызмет етеді.
An object of is called a morphism from to or a structured arrow with domain and the projection functors and are continuous. Similarly, if and are cocomplete, and is cocontinuous, then is cocomplete, and the projection functors are cocontinuous. For example, note that in the above construction of the category of graphs as a comma category, the category of sets is complete and cocomplete, and the identity functor is continuous and cocontinuous. Thus, the category of graphs is complete and cocomplete. The notion of a universal morphism to a particular colimit, or from a limit, can be expressed in terms of a comma category. Essentially, we create a category whose objects are cones, and where the limiting cone is a terminal object; then, each universal morphism for the limit is just the morphism to the terminal object. This works in the dual case, with a category of cocones having an initial object. For example, let be a category with the functor taking each object to and each arrow to A universal morphism from to consists, by definition, of an object and morphism with the universal property that for any morphism there is a unique morphism with In other words, it is an object in the comma category having a morphism to any other object in that category; it is initial. This serves to define the coproduct in , when it exists.
Қосымшалар
Ловерр функторлар және егер және тек егер үтірлі категориялар және , және сәйкестік функторлар және тиісінше изоморфты болса, онда үтірлі категориядағы эквивалентті элементтер осыған бірдей элементке проекциялана алады. Бұл жиындарды пайдаланбастан қосымшалықтарды сипаттауға мүмкіндік береді және шын мәнінде үтірлі категорияларды енгізудің бастапқы себебі болды.
Табиғи түрлендірулер
Егер домендері тең болса, онда морфизмдерді анықтайтын диаграмма , диаграммасы табиғи түрлендіруді анықтайтын диаграммамен сәйкес келеді. Екі ұғымның арасындағы айырмашылық – табиғи түрлендіру белгілі бір түріндегі морфизмдер жиынтығы болса, ал үтірлі категорияның объектілері осындай түріндегі барлық морфизмдерді қамтиды. Комма категориясына функтор морфизмдердің осы белгілі бір жиынтығын іріктейді. Бұл S. A. Huq байқауымен қысқаша сипатталады: табиғи түрлендіру , егер , функцияға сәйкес келеді, ол әрбір объектіні және әрбір морфизмді функцияға түсіреді. Бұл табиғи түрлендірулер мен функциялар арасындағы биективті сәйкестік, олар екі ұмытылған функцияның қималары болып табылады.
that a natural transformation , with , corresponds to a functor which maps each object to and maps each morphism to This is a bijective correspondence between natural transformations and functors which are sections of both forgetful functors from .