Введение

Математическая конструкция

В математике, категория запятых (частным случаем которой является категория сечений) — это конструкция в теории категорий. Она предоставляет иной взгляд на морфизмы: вместо простого установления связей между объектами категории, сами морфизмы становятся объектами. Это понятие было введено в 1963 году Ф. В. Лоувером (Lawvere, 1963, с. 36), хотя эта техника не получила широкого распространения в течение многих лет. Ряд математических концепций можно рассматривать как категории запятых. Категории запятых также гарантируют существование некоторых пределов и копределов. Название происходит от обозначения, первоначально использованного Лоувером, в котором использовался знак препинания «запятая». Название сохранилось, несмотря на изменение стандартного обозначения, поскольку использование запятой в качестве оператора может быть потенциально запутанным, и даже сам Лоувер считает термин «категория запятых» недостаточно информативным (Lawvere, 1963, с. 13).

Определение

Наиболее общая конструкция категории запятой включает в себя два функтора с одинаковым кодоменом. Часто один из этих функторов имеет область определения 1 (категорию с одним объектом и одним морфизмом). Некоторые изложения теории категорий рассматривают только эти частные случаи, но термин "категория запятой" на самом деле гораздо более общий.

Категория кусочка

Первый особый случай возникает, когда , функтор является функтором тождества, а — это (категория с одним объектом и одним морфизмом). Тогда для некоторого объекта в .
В этом случае категория запятых записывается как , и часто называется категорией сечений или категорией объектов над . Объекты могут быть упрощены до пар , где . Иногда обозначается как A морфизм из в в категории сечений тогда можно упростить до стрелки, делающей следующую диаграмму коммутативной:

Категория "кости"

Двойственным понятием к категории сечений является категория косечений. Здесь, , имеет область определения , а является тождественным функтором. В этом случае, категория запятых часто записывается как , где является объектом, выбранным из . Она называется категорией косечений относительно , или категорией объектов под . Объекты — это пары с . Для данных и , морфизм в категории косечений — это отображение , делающее следующую диаграмму коммутативной:

Категория стрелки

и являются функторами идентичности на (so). В этом случае, категория запятой является категорией стрелок. Её объекты — морфизмы , а её морфизмы — коммутативные квадраты в .

Другие вариации

В случае категории сечений или косечений, функционал идентичности может быть заменен другим функционалом; это порождает семейство категорий, особенно полезных при изучении сопряженных функционалов. Например, если – забывающий функтор, отображающий абелеву группу в ее базовое множество, а – некоторое фиксированное множество (рассматриваемое как функтор из 1), то категория запятой имеет объекты, являющиеся отображениями из в базовое множество группы. Это связано с левым сопряженным к , который является функтором, отображающим множество в свободную абелеву группу, имеющую это множество в качестве базиса. В частности, начальный объект – это каноническое вложение , где – свободная группа, порожденная . Объект называется морфизмом из в или структурированной стрелкой с областью определения, а проекционные функторы и непрерывны. Аналогично, если и кокомплетны, и конепрерывен, то кокомплетно, и проекционные функторы конепрерывны. Например, обратите внимание, что в вышеуказанной конструкции категории графов как категории запятой, категория множеств полна и кокомплетна, а функционал идентичности непрерывен и конепрерывен. Следовательно, категория графов полна и кокомплетна. Понятие универсального морфизма к определенному колимиту или от предела можно выразить в терминах категории запятой. По сути, мы создаем категорию, объектами которой являются конусы, и где предельный конус является терминальным объектом; тогда каждый универсальный морфизм для предела – это просто морфизм в терминальный объект. Это работает и в двойственном случае, с категорией коконусов, имеющей начальный объект. Например, пусть – категория с функтором, отображающим каждый объект в и каждую стрелку в . Универсальный морфизм из в состоит, по определению, из объекта и морфизма с универсальным свойством: для любого морфизма существует единственный морфизм такой, что . Иными словами, это объект в категории запятой , имеющий морфизм в любой другой объект в этой категории; он начальный. Это служит для определения копроизведения в , когда оно существует.

Дополнительные

Лоувир показал, что функторы и являются сопряженными тогда и только тогда, когда категории запятых и , с и функторами идентичности на и соответственно, изоморфны, и эквивалентные элементы в категории запятых могут быть спроецированы на один и тот же элемент . Это позволяет описывать сопряжения без использования множеств и, фактически, было первоначальной мотивацией для введения категорий запятых.

Естественные преобразования

Если области равны, то диаграмма, определяющая морфизмы в , идентична диаграмме, определяющей естественное преобразование. Различие между этими двумя понятиями состоит в том, что естественное преобразование является конкретным набором морфизмов типа вида , тогда как объекты категории запятой содержат все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой выбирает этот конкретный набор морфизмов. Это кратко описано наблюдением С.А. Хука о том, что естественное преобразование , где , соответствует функтору , который отображает каждый объект в и каждый морфизм в . Это биективное соответствие между естественными преобразованиями и функторами, являющимися сечениями обоих забывающих функторов из .