Кіріспе
Бір кодтауышпен екі морфизм берілген коммутативтік квадраттың ең жалпы толықтырылуы. Категория теориясында, математиканың бір саласы, кері шегіну (сонымен қатар талшықты көбейтінді, талшықты өнім немесе Картезиандық квадрат деп аталады) – ортақ кодтауышы бар екі морфизм f : X → Z және g : Y → Z құрамындағы диаграмманың лиміті болып табылады. Кері шегіну былай жазылады:
In category theory, a branch of mathematics, a pullback (also called a fiber product, fibre product, fibered product or Cartesian square) is the limit of a diagram consisting of two morphisms f : X → Z and g : Y → Z with a common codomain. The pullback is written
Usually the morphisms f and g are omitted from the notation, and then the pullback is written
The pullback comes equipped with two natural morphisms P → X and P → Y. The pullback of two morphisms f and g need not exist, but if it does, it is essentially uniquely defined by the two morphisms. In many situations, X ×Z Y may intuitively be thought of as consisting of pairs of elements (x, y) with x in X, y in Y, and For the general definition, a universal property is used, which essentially expresses the fact that the pullback is the "most general" way to complete the two given morphisms to a commutative square. The dual concept of the pullback is the pushout.
Көбінесе морфизмдер f және g белгілеуден алынып тасталады, сонда кері шегіну былай жазылады:
In category theory, a branch of mathematics, a pullback (also called a fiber product, fibre product, fibered product or Cartesian square) is the limit of a diagram consisting of two morphisms f : X → Z and g : Y → Z with a common codomain. The pullback is written
Usually the morphisms f and g are omitted from the notation, and then the pullback is written
The pullback comes equipped with two natural morphisms P → X and P → Y. The pullback of two morphisms f and g need not exist, but if it does, it is essentially uniquely defined by the two morphisms. In many situations, X ×Z Y may intuitively be thought of as consisting of pairs of elements (x, y) with x in X, y in Y, and For the general definition, a universal property is used, which essentially expresses the fact that the pullback is the "most general" way to complete the two given morphisms to a commutative square. The dual concept of the pullback is the pushout.
Кері шегіну P → X және P → Y екі табиғи морфизммен жабдықталған. Екі морфизмнің f және g кері шегінуі міндетті түрде болуы керек емес, бірақ егер ол болса, онда ол осы екі морфизммен анықталады. Көптеген жағдайларда X ×Z Y элементтер жұптарынан (x, y) тұрады деп есептеуге болады, мұнда x – X, y – Y. Ал жалпы анықтама үшін әмбебап қасиет қолданылады, ол кері шегінудің берілген екі морфизмді коммутативтік квадратқа толықтырудың «ең жалпы» жолы екенін көрсетеді. Кері шегінуге қарама-қарсы түсінік – итеру.
In category theory, a branch of mathematics, a pullback (also called a fiber product, fibre product, fibered product or Cartesian square) is the limit of a diagram consisting of two morphisms f : X → Z and g : Y → Z with a common codomain. The pullback is written
Usually the morphisms f and g are omitted from the notation, and then the pullback is written
The pullback comes equipped with two natural morphisms P → X and P → Y. The pullback of two morphisms f and g need not exist, but if it does, it is essentially uniquely defined by the two morphisms. In many situations, X ×Z Y may intuitively be thought of as consisting of pairs of elements (x, y) with x in X, y in Y, and For the general definition, a universal property is used, which essentially expresses the fact that the pullback is the "most general" way to complete the two given morphisms to a commutative square. The dual concept of the pullback is the pushout.
Қалпына келтіру және өнім
Қайта тарту өнімге ұқсас, бірақ бірдей емес. f және g морфизмдерінің және Z нысанының бар екенін "естен шығару" арқылы өнімді алуға болады. Содан кейін X және Y нысандарынан басқа, араларында жебелер жоқ дискретті категория қалады. Бұл дискретті категорияны екілік өнімді құру үшін индекс жиыны ретінде қолдануға болады. Осылайша, кері тартуды қарапайым (картезиандық) өнім деп қарастыруға болады, бірақ оған қосымша құрылыммен. Z, f және g-ді "естен шығарудың" орнына, Z нысанын терминалды нысанға теңеу арқылы оларды "белгісіз етуге" болады (егер ол бар болса). Содан кейін f және g бірегей түрде анықталады, демек, ақпаратты тасымайды, ал осы коспаның кері тартылуы X және Y нысандарының өнімі ретінде қарастырылуы мүмкін.
Топтар мен модульдер
Жоғарыдағы коммутативті сақиналар мысалына толық сайкес келіп, топтар санатында және белгілі бір тұрақты сақина бойынша модульдер санатында барлық кері артқа тартулардың бар екенін көрсетуге болады.
Функциялардың графигі
Функцияның графигі кері тартымның нақты мысалы болып табылады. f функциясы болсын делік. f графигі – бұл жиын
График f және Y-дегі сәйкестік функциясының кері тартылуы ретінде қайта жазылуы мүмкін. Анықтама бойынша, бұл кері тартым
және бұл тең .
Талшықты түйіршіктер
Қалпына келтірудің тағы бір мысалы талшықтық топтамалар теориясынан алынған: егер топтамалық бейнелеу π: E → B және үздіксіз бейнелеу f: X → B берілген болса, кері тартылыс (топологиялық кеңістіктер санатында үздіксіз бейнелеулермен құрастырылады) X ×B E – бұл X үстіндегі талшықтық топтама, оны кері тартылыс топтамасы деп атайды. Қатысты коммутативтік схема – талшықтық топтамалардың морфизмі. Бұл дифференциалданатын коллекторлар санатында да осылай. Арнайы жағдай – екі талшықтық топтаманың кері тартылысы E1, E2 → B. Бұл жағдайда E1 × E2 – B × B үстіндегі талшықтық топтама, ал B → B × B диагональдық бейнелеу арқылы кері тартылғанда, E1 ×B E2-ге гомеоморфты (дифеоморфты) кеңістік туындайды, бұл B үстіндегі талшықтық топтама. Екі тегіс көлденең бейнелеудің бір дифференциалданатын коллекторға кері тартылысы да дифференциалданатын коллектор болып табылады, ал кері тартылыстың жанама кеңістігі – дифференциалдық бейнелеулер бойынша жанама кеңістіктердің кері тартылысы.
Ең кіші ортақ еселік
"Z"+ оң бүтін сандарының көбейту моноидін бір объектісі бар категория ретінде қарастырайық. Бұл категорияда екі оң бүтін сан, m және n үшін кері тартылу жай ғана жұп түрінде болады, онда екі санның да мәні m мен n-нің ең кіші ортақ еселігіне тең. Сол жұп, сонымен қатар, итеру де болып табылады.
Әлсіз кері қайтқандар
Коспаның әлсіз кері тартылысы X → Z ← Y – бұл коспаның үстіндегі әмбебап емес конус, яғни жоғарыдағы медиациялық морфизм u: Q → P бірегей болуы міндетті емес.