Введение

Наиболее общее завершение коммутативного квадрата для двух морфизмов с одинаковым кодоменом.

В теории категорий, ветви математики, откат (также называемый волокнистым произведением, фибрированным произведением или картезианским квадратом) является пределом диаграммы, состоящей из двух морфизмов f : X → Z и g : Y → Z с общим кодоменом. Обозначается как:

Обычно морфизмы f и g опускаются в обозначении, и тогда откат записывается как:

Откат снабжен двумя естественными морфизмами P → X и P → Y. Откат двух морфизмов f и g не обязательно существует, но если он существует, то он по существу единственным образом определяется этими двумя морфизмами. Во многих случаях X ×Z Y можно интуитивно представить как множество пар элементов (x, y), где x принадлежит X, а y принадлежит Y. Для общего определения используется универсальное свойство, которое по сути выражает тот факт, что откат является "наиболее общим" способом дополнения двух заданных морфизмов до коммутативного квадрата. Двойственным понятием к откату является копроизведение (pushout).

Откат и продукт

Отзыв аналогичен произведению, но не является им. Произведение можно получить, "забыв" о существовании морфизмов f и g, и о существовании объекта Z. В результате остаётся дискретная категория, содержащая только два объекта X и Y, и не имеющая стрелок между ними. Эту дискретную категорию можно использовать в качестве множества индексов для построения обычного бинарного произведения. Таким образом, отзыв можно рассматривать как обычное (декартово) произведение, но с дополнительной структурой. Вместо того, чтобы "забывать" Z, f и g, можно также "тривиализировать" их, выбрав Z равным терминальному объекту (если он существует). Тогда f и g однозначно определяются и, следовательно, не несут никакой информации, и можно увидеть, что отзыв этого коспана является произведением X и Y.

Группы и модули

По полной аналогии с примером коммутативных колец, приведенным выше, можно показать, что все произведения по волокнам существуют в категории групп и в категории модулей над фиксированным кольцом.

Графики функций

Конкретный пример обратного отображения дается графиком функции. Пусть f – функция. График f – это множество

График можно переформулировать как обратное отображение f и функции тождества на Y. По определению, это обратное отображение равно

и это равно .

Пакеты из волокон

Другой пример отступления (pullback) встречается в теории волокнистых расслоений: заданы карта расслоения π : E → B и непрерывное отображение f : X → B, отступление (образуемое в категории топологических пространств с непрерывными отображениями) X ×B E является волокнистым расслоением над X, называемым расслоением отступления. Связанная коммутативная диаграмма является морфизмом волокнистых расслоений. Это справедливо и для категории дифференцируемых многообразий. Частным случаем является отступление двух волокнистых расслоений E1, E2 → B. В этом случае E1 × E2 является волокнистым расслоением над B × B, и оттягивание вдоль диагонального отображения B → B × B дает пространство, гомеоморфное (диффеоморфное) E1 ×B E2, которое является волокнистым расслоением над B. Отступление двух гладких поперечных отображений в одно и то же дифференцируемое многообразие также является дифференцируемым многообразием, а тангенциальное пространство отступления является отступлением тангенциальных пространств вдоль дифференциалов отображений.

Наименьшее общее множество

Рассмотрим мультипликативный моноид положительных целых чисел Z+ как категорию с одним объектом. В этой категории, прообраз двух положительных целых чисел m и n – это просто пара (m, n), где числители обеих компонент равны наименьшему общему кратному m и n. Та же пара является и копроизведением.

Слабое снижение

Слабый откат коспана X → Z ← Y — это конус над этим коспаном, который является лишь слабо универсальным, то есть не требуется, чтобы посредствующий морфизм u: Q → P был единственным.