Кіріспе
Леви-Чивита байланысының бірегей болуы. Риман геометриясының математикалық саласында Риман геометриясының негізгі теоремасы, кез келген Римандық (немесе псевдо-Римандық) көптүрлілікте бұрылыссыз және метрикаға үйлесімді, берілген метриканың Леви-Чивита байланысы немесе (псевдо)Римандық байланысы деп аталатын бірегей аффиндік байланыс бар екенін көрсетеді. Бұл байланыс мұндай қасиеттерімен канондық түрде анықталғандықтан, метрика берілген жағдайда көбінесе автоматты түрде қолданылады.
In the mathematical field of Riemannian geometry, the fundamental theorem of Riemannian geometry states that on any Riemannian manifold (or pseudo Riemannian manifold) there is a unique affine connection that is torsion free and metric compatible, called the Levi Civita connection or (pseudo )Riemannian connection of the given metric. Because it is canonically defined by such properties, often this connection is automatically used when given a metric.
Теореманың тұжырымдамасы
Риман геометриясының негізгі теоремасы. (M, g) Римандық көптүрлілік (немесе псевдо-Римандық көптүрлілік) болсын. Онда келесі шарттарды қанағаттандыратын бірегей байланыс ∇ бар: кез келген X, Y және Z векторлық өрістері үшін, мұнда X(g(Y, Z)) функциясының X векторлық өрісі бойымен алынған туындысын білдіреді. Кез келген X, Y векторлық өрістері үшін, мұнда [X, Y] – X және Y векторлық өрістерінің Ли жақшасы. Бірінші шарт – метрикалық сәйкестік. Оны эквивалентті түрде былай айтуға болады: M-дегі кез келген қисық бойынша ∇-параллель векторлық өрістер жұбының ішкі көбейтіндісі тұрақты. Метрикалық тензор параллель көшіру арқылы сақталады деуге де болады, яғни (0,2) тензорлық өрістерге әсер ететін ∇-ның табиғи жалғастырылысын қарастырғанда метрика параллель болады: Бұл байланыстың ортонормальдік кадр шоғырының негізгі байланысы арқылы туындыланатынын талап етуге тең. Екінші шарт кейде ∇-ның симметриясы деп аталады. Ол ∇-ның бұрылысының нөлге тең екенін көрсетеді және сондықтан бұрылыссыздық деп те аталады. Басқа сипаттамалар да бар. Негізгі теореманың жалғастырылуы псевдо-Римандық көптүрлілік үшін метрикалық тензорды сақтайтын бірегей байланыс бар екенін көрсетеді, оның бұрылысы ретінде берілген векторлық 2-форма қолданылады. Кез келген байланыс (бұрылысымен) пен сәйкес Леви-Чивита байланысы арасындағы айырмашылық – конторсия тензоры. Негізгі теорема белгілі бір байланыстың бар екенін де, бірегей екенін де көрсетеді, оны Леви-Чивита байланысы немесе (псевдо)Римандық байланыс деп атайды. Алайда, барлық нәрсе туралы мәлімдеме өте тікелей, өйткені сұрақ туындаған байланысты екінші Кристоффель теңдігі немесе төмендегі дәлелдерде алынған Козул формуласы арқылы нақты анықтауға болады. Бұл нақты анықтама Леви-Чивита байланысын метрика және оның бірінші туындылары арқылы көрсетеді. Сондықтан, егер метрика k рет үздіксіз дифференциалданатын болса, онда Леви-Чивита байланысы (k − 1) рет үздіксіз дифференциалданатын болады. Леви-Чивита байланысын Эйнштейн-Гильберт әрекетінің Палатини өзгеруі сияқты басқа да жолдармен сипаттауға болады.
for any vector fields X, Y, and Z we have where X(g(Y, Z)) denotes the derivative of the function g(Y, Z) along vector field X.
for any vector fields X, Y, where [X, Y] denotes the Lie bracket of X and Y. The first condition is called metric compatibility of ∇. It may be equivalently expressed by saying that, given any curve in M, the inner product of any two ∇–parallel vector fields along the curve is constant. It may also be equivalently phrased as saying that the metric tensor is preserved by parallel transport, which is to say that the metric is parallel when considering the natural extension of ∇ to act on (0,2) tensor fields: It is further equivalent to require that the connection is induced by a principal bundle connection on the orthonormal frame bundle. The second condition is sometimes called symmetry of ∇. It expresses the condition that the torsion of ∇ is zero, and as such is also called torsion freeness. There are alternative characterizations. An extension of the fundamental theorem states that given a pseudo Riemannian manifold there is a unique connection preserving the metric tensor, with any given vector valued 2 form as its torsion. The difference between an arbitrary connection (with torsion) and the corresponding Levi Civita connection is the contorsion tensor. The fundamental theorem asserts both existence and uniqueness of a certain connection, which is called the Levi Civita connection or (pseudo )Riemannian connection. However, the existence result is extremely direct, as the connection in question may be explicitly defined by either the second Christoffel identity or Koszul formula as obtained in the proofs below. This explicit definition expresses the Levi Civita connection in terms of the metric and its first derivatives. As such, if the metric is k times continuously differentiable, then the Levi Civita connection is (k − 1) times continuously differentiable. The Levi Civita connection can also be characterized in other ways, for instance via the Palatini variation of the Einstein–Hilbert action.
Теореманың дәлелі
Теореманың дәлелін әр түрлі тәсілдермен ұсынуға болады. Осы жерде дәлелдеу ең алдымен координаттар мен Кристоффель символдарының тілінде, содан кейін ковариантты туындылардың координатқа тәуелсіз тілінде келтіріледі. Қандай ұсынылса да, мақсат – метрикалық сәйкестілік және бұралудың болмауы шарттарын пайдаланып, метрикалық сәйкестікке және бұралусыздыққа ие кез келген байланыс үшін тікелей формула алу. Бұл негізгі теоремадағы бірегейлік туралы мәлімдемені растайды. Ал, бар екендігін дәлелдеу үшін, алынған формуланың қажетті байланысты анықтайтыны тексерілуі керек.