Введение
Уникальное существование соединения Леви-Чивиты.
В математической области римановой геометрии фундаментальная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) существует единственная аффинная связь, не имеющая кручения и совместимая с метрикой, называемая соединением Леви-Чивиты или (псевдо)римановым соединением заданной метрики. Поскольку она канонически определяется этими свойствами, эта связь часто автоматически подразумевается при задании метрики.
In the mathematical field of Riemannian geometry, the fundamental theorem of Riemannian geometry states that on any Riemannian manifold (or pseudo Riemannian manifold) there is a unique affine connection that is torsion free and metric compatible, called the Levi Civita connection or (pseudo )Riemannian connection of the given metric. Because it is canonically defined by such properties, often this connection is automatically used when given a metric.
Заявление теоремы
Фундаментальная теорема римановой геометрии. Пусть (M, g) является римановым многообразием (или псевдоримановым многообразием). Тогда существует единственная связь ∇, которая удовлетворяет следующим условиям:
для любых векторных полей X, Y и Z справедливо , где X(g(Y, Z)) обозначает производную функции g(Y, Z) вдоль векторного поля X.
для любых векторных полей X, Y, где [X, Y] обозначает скобку Ли полей X и Y. Первое условие называется метрической совместимостью ∇. Оно может быть эквивалентно выражено тем, что для любой кривой в M внутреннее произведение любых двух ∇-параллельных векторных полей вдоль кривой является постоянным. Это также может быть эквивалентно сформулировано как утверждение, что метрический тензор сохраняется при параллельном переносе, то есть метрика параллельна при рассмотрении естественного расширения ∇ для действия на (0,2)-тензорные поля: это также эквивалентно требованию, чтобы связь индуцировалась связностью главного расслоения на ортонормальном расслоении кадров. Второе условие иногда называют симметрией ∇. Оно выражает условие, что кручение ∇ равно нулю, и как таковое также называется отсутствием кручения. Существуют альтернативные характеризации. Расширение фундаментальной теоремы утверждает, что для любого псевдориманова многообразия существует единственная связь, сохраняющая метрический тензор, с любой заданной векторнозначной 2-формой в качестве его кручения. Различие между произвольной связностью (с кручением) и соответствующей связностью Леви-Чивиты — тензор конторсии. Фундаментальная теорема утверждает как существование, так и единственность определенной связи, которая называется связностью Леви-Чивиты или (псевдо)римановой связностью. Однако результат о существовании является чрезвычайно прямым, поскольку рассматриваемая связь может быть явно определена либо вторым тождеством Кристоффеля, либо формулой Козула, как получено в доказательствах ниже. Это явное определение выражает связь Леви-Чивиты с точки зрения метрики и ее первых производных. Следовательно, если метрика k раз непрерывно дифференцируема, то связь Леви-Чивиты (k − 1) раз непрерывно дифференцируема. Связь Леви-Чивиты также может быть охарактеризована другими способами, например, через вариацию Палатини действия Эйнштейна — Гильберта.
for any vector fields X, Y, and Z we have where X(g(Y, Z)) denotes the derivative of the function g(Y, Z) along vector field X.
for any vector fields X, Y, where [X, Y] denotes the Lie bracket of X and Y. The first condition is called metric compatibility of ∇. It may be equivalently expressed by saying that, given any curve in M, the inner product of any two ∇–parallel vector fields along the curve is constant. It may also be equivalently phrased as saying that the metric tensor is preserved by parallel transport, which is to say that the metric is parallel when considering the natural extension of ∇ to act on (0,2) tensor fields: It is further equivalent to require that the connection is induced by a principal bundle connection on the orthonormal frame bundle. The second condition is sometimes called symmetry of ∇. It expresses the condition that the torsion of ∇ is zero, and as such is also called torsion freeness. There are alternative characterizations. An extension of the fundamental theorem states that given a pseudo Riemannian manifold there is a unique connection preserving the metric tensor, with any given vector valued 2 form as its torsion. The difference between an arbitrary connection (with torsion) and the corresponding Levi Civita connection is the contorsion tensor. The fundamental theorem asserts both existence and uniqueness of a certain connection, which is called the Levi Civita connection or (pseudo )Riemannian connection. However, the existence result is extremely direct, as the connection in question may be explicitly defined by either the second Christoffel identity or Koszul formula as obtained in the proofs below. This explicit definition expresses the Levi Civita connection in terms of the metric and its first derivatives. As such, if the metric is k times continuously differentiable, then the Levi Civita connection is (k − 1) times continuously differentiable. The Levi Civita connection can also be characterized in other ways, for instance via the Palatini variation of the Einstein–Hilbert action.
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы может быть представлено различными способами. Здесь доказательство сначала приводится на языке координат и символов Кристоффеля, а затем – на языке ковариантных производных, не зависящем от выбора координат. Независимо от представления, идея заключается в использовании условий совместимости с метрикой и отсутствия кручения для получения прямой формулы для любого связного оператора, который одновременно совместим с метрикой и не имеет кручения. Это обосновывает утверждение об единственности в фундаментальной теореме. Для обоснования утверждения о существовании необходимо непосредственно проверить, что полученная формула действительно определяет связность в требуемом смысле.