Кіріспе
Математикада, берілген қисықтың педаль қисығы – осы қисықтың тангенс сызықтарына белгілі бір нүктенің ортогоналды проекциясы арқылы құрылады. Нақтырақ айтқанда, C жазық қисығы және P берілген педаль нүктесі үшін, C қисығының педаль қисығы – PX сызығы X нүктесінен өтетін қисыққа T тангенсіне перпендикуляр болатын X нүктелерінің геометриялық орны. Керісінше, C қисығындағы кез келген R нүктесі үшін, T сол R нүктесіндегі тангенс сызығы болсын; онда T тангенсінде P педаль нүктесімен бірге T тангенсіне перпендикуляр сызық құрайтын бірегей X нүктесі болады (егер P нүктесі T тангенсінде жатса, X және P нүктелері беттеседі) – педаль қисығы осындай X нүктелерінің жиынтығы болып табылады, олар T тангенсіне перпендикулярдың табаны деп аталады, ал R нүктесі C қисығы бойынша өзгереді. Педаль қисығына толықтыру ретінде, R нүктесінде C қисығына нормаль болатын Y нүктесі бар, сондықтан PY нормальға перпендикуляр, ал PXRY тікбұрыш (дегенеративті болуы мүмкін). Y нүктелерінің геометриялық орны контрапедаль қисық деп аталады. Қисықтың ортотомикасы – бұл оның педалы, P нүктесі ұқсастық орталығы болатындай 2 есеге үлкейтілген. Бұл тангенс сызығы T арқылы P нүктесінің кері бейнесінің геометриялық орны.
In mathematics, a pedal curve of a given curve results from the orthogonal projection of a fixed point on the tangent lines of this curve. More precisely, for a plane curve C and a given fixed pedal point P, the pedal curve of C is the locus of points X so that the line PX is perpendicular to a tangent T to the curve passing through the point X. Conversely, at any point R on the curve C, let T be the tangent line at that point R; then there is a unique point X on the tangent T which forms with the pedal point P a line perpendicular to the tangent T (for the special case when the fixed point P lies on the tangent T, the points X and P coincide) – the pedal curve is the set of such points X, called the foot of the perpendicular to the tangent T from the fixed point P, as the variable point R ranges over the curve C.
Complementing the pedal curve, there is a unique point Y on the line normal to C at R so that PY is perpendicular to the normal, so PXRY is a (possibly degenerate) rectangle. The locus of points Y is called the contrapedal curve. The orthotomic of a curve is its pedal magnified by a factor of 2 so that the center of similarity is P. This is locus of the reflection of P through the tangent line T.
The pedal curve is the first in a series of curves C1, C2, C3, etc., where C1 is the pedal of C, C2 is the pedal of C1, and so on. In this scheme, C1 is known as the first positive pedal of C, C2 is the second positive pedal of C, and so on. Going the other direction, C is the first negative pedal of C1, the second negative pedal of C2, etc.
Педаль қисығы C1, C2, C3 және т.б. қисықтар тізбегіндегі бірінші қисық болып табылады, мұнда C1 – C қисығының педалы, C2 – C1 қисығының педалы, және т.б. Осы схема бойынша C1 – C қисығының бірінші оң педалы, C2 – C қисығының екінші оң педалы, және т.б. Кері бағытта C – C1 қисығының бірінші теріс педалы, C2 – C2 қисығының екінші теріс педалы, және т.б.
In mathematics, a pedal curve of a given curve results from the orthogonal projection of a fixed point on the tangent lines of this curve. More precisely, for a plane curve C and a given fixed pedal point P, the pedal curve of C is the locus of points X so that the line PX is perpendicular to a tangent T to the curve passing through the point X. Conversely, at any point R on the curve C, let T be the tangent line at that point R; then there is a unique point X on the tangent T which forms with the pedal point P a line perpendicular to the tangent T (for the special case when the fixed point P lies on the tangent T, the points X and P coincide) – the pedal curve is the set of such points X, called the foot of the perpendicular to the tangent T from the fixed point P, as the variable point R ranges over the curve C.
Complementing the pedal curve, there is a unique point Y on the line normal to C at R so that PY is perpendicular to the normal, so PXRY is a (possibly degenerate) rectangle. The locus of points Y is called the contrapedal curve. The orthotomic of a curve is its pedal magnified by a factor of 2 so that the center of similarity is P. This is locus of the reflection of P through the tangent line T.
The pedal curve is the first in a series of curves C1, C2, C3, etc., where C1 is the pedal of C, C2 is the pedal of C1, and so on. In this scheme, C1 is known as the first positive pedal of C, C2 is the second positive pedal of C, and so on. Going the other direction, C is the first negative pedal of C1, the second negative pedal of C2, etc.
Геометриялық қасиеттері
P нүктесінде бір қабырғасы тұрақты, екінші қабырғасы қисыққа жанасатын тік бұрышты қарастырайық. Осы бұрыштың төбесі X болады және ол педаль қисығын жасайды. Бұрыш қозғалғанда, P нүктесіндегі қозғалыс бағыты PX-қа параллель, ал R нүктесіндегі қозғалыс бағыты T = RX жанамасына параллель болады. Демек, айналудың дереу центрі P нүктесінде PX-қа перпендикуляр және R нүктесінде RX-қа перпендикуляр түзулердің қиылысы болып табылады, бұл нүкте Y болады. Осыдан X нүктесіндегі педаль қисығына жанама XY-ға перпендикуляр екендігі шығады. PR диаметрі бар шеңбер салыңыз, ол PXRY тіктөртбұрышына сырттай сыйып, XY басқа диаметр болады. Шеңбер де, педаль қисығы да XY-ға перпендикуляр болғандықтан, олар X нүктесінде жанасады. Сондықтан педаль қисығы – R нүктесі қисыққа жататын PR диаметрлі шеңберлердің қабығы. YR түзуі қисыққа нормаль болып табылады, ал мұндай нормальдардың қабығы оның эволюциясы болып табылады. Демек, YR эволюцияға жанасады, ал Y нүктесі P нүктесінен осы жанамаға түсірілген перпендикулярдың табаны болып табылады, яғни Y эволюцияның педалінде жатыр. Осыдан қисықтың контрпедалі оның эволюциясының педалі екендігі көрінеді. C′ қисығын C қисығын P нүктесіне қарай 2 есе кішіту арқылы аламыз. Содан кейін R-ге сәйкес келетін R′ нүктесі PXRY тіктөртбұрышының центрі болады, ал R′ нүктесіндегі C′ қисығына жанама бұл тіктөртбұрышты PY және XR-ға параллель екіге бөледі. P нүктесінен шыққан және R′ нүктесінде C′ қисығынан шағылысқан жарық сәулесі Y нүктесінен өтеді. Шағылысқан сәуле, созылғанда, XY түзуі болып табылады, ол C қисығының педаліне перпендикуляр. Педаль қисығына перпендикуляр түзулердің қабығы – шағылысқан сәулелердің қабығы немесе C′ катакаустикасы. Бұл қисықтың катакаустикасы оның ортотомикасының эволюциясы екенін дәлелдейді. Жоғарыда айтылғандай, PR диаметрі бар шеңбер педаль қисығына жанасады. Бұл шеңбердің центрі R′ болып табылады, ол C′ қисығын бойлай қозғалады. D′ қисығы C′ қисығына конгруэнтті болсын және D′ рулетканың анықтамасындағыдай, C′ қисығында сырғалмай, олар өзара жанасатын түзуге қатысты D′ әрқашан C′ қисығының көлеңкесі болсын. Содан кейін қисықтар R′ нүктесінде жанасқанда, қозғалатын жазықтықта P нүктесіне сәйкес келетін нүкте X болады, сондықтан рулетка педаль қисығы болып табылады. Басқаша айтқанда, қисықтың ортотомикасы – қисықтың айнадағы бейнесіндегі рулеткасы.