Введение

Кривая, порожденная проекциями фиксированной точки на касательные другой кривой.

В математике педальная кривая данной кривой получается в результате ортогональной проекции фиксированной точки на касательные к этой кривой. Более точно, для плоской кривой C и заданной фиксированной точки P, педальная кривая C является геометрическим местом точек X, таких что прямая PX перпендикулярна касательной T к кривой, проходящей через точку X. И наоборот, для любой точки R на кривой C пусть T – касательная в этой точке R; тогда существует единственная точка X на касательной T, которая вместе с точкой P образует прямую, перпендикулярную касательной T (в особом случае, когда фиксированная точка P лежит на касательной T, точки X и P совпадают). Педальная кривая – это множество таких точек X, называемых основанием перпендикуляра, опущенного из фиксированной точки P на касательную T, при изменении положения точки R вдоль кривой C.

В дополнение к педальной кривой существует единственная точка Y на нормали к C в точке R, такая что PY перпендикулярна этой нормали, и, следовательно, PXRY образует (возможно, вырожденный) прямоугольник. Геометрическое место точек Y называется контрапедальной кривой. Ортотомика кривой – это ее педальная кривая, увеличенная в 2 раза с центром подобия в точке P. Это геометрическое место отражения точки P относительно касательной T.

Педальная кривая является первой в ряду кривых C1, C2, C3 и т.д., где C1 – педальная кривая C, C2 – педальная кривая C1 и так далее. В этой схеме C1 называется первой положительной педальной кривой C, C2 – второй положительной педальной кривой C и т.д. Двигаясь в обратном направлении, C является первой отрицательной педальной кривой C1, второй отрицательной педальной кривой C2 и т.д.

Геометрические свойства

Рассмотрим прямоугольный угол, движущийся жестко так, что одна сторона остается в точке P, а другая сторона касается кривой. Тогда вершина этого угла – X и описывает педальную кривую. По мере движения угла, направление его движения в точке P параллельно PX, а направление движения в точке R параллельно касательной T = RX. Следовательно, мгновенный центр вращения – это точка пересечения прямой, перпендикулярной PX в точке P, и прямой, перпендикулярной RX в точке R, и эта точка – Y. Отсюда следует, что касательная к педали в точке X перпендикулярна XY. Построим окружность с диаметром PR, тогда она описывает прямоугольник PXRY, а XY – другой диаметр. Окружность и педаль перпендикулярны XY, поэтому они касаются в точке X. Следовательно, педаль является огибающей окружностей с диаметрами PR, где R лежит на кривой. Линия YR является нормалью к кривой, а огибающая таких нормалей – ее эволюта. Поэтому YR является касательной к эволюте, а точка Y – основание перпендикуляра, опущенного из P на эту касательную, другими словами, Y лежит на педали эволюты. Отсюда следует, что контрапедаль кривой является педалью ее эволюты. Пусть C′ – кривая, полученная путем сжатия C в 2 раза к точке P. Тогда точка R′, соответствующая R, является центром прямоугольника PXRY, а касательная к C′ в точке R′ делит этот прямоугольник пополам параллельно PY и XR. Луч света, исходящий из P и отраженный от C′ в точке R′, затем пройдет через Y. Продленный отраженный луч – это линия XY, которая перпендикулярна педали C. Огибающая линий, перпендикулярных педали, является огибающей отраженных лучей или катакаустикой C′. Это доказывает, что катакаустика кривой является эволютой ее ортотомической. Как отмечалось ранее, окружность с диаметром PR касается педали. Центр этой окружности – R′, который движется по кривой C′. Пусть D′ – кривая, конгруэнтная C′, и пусть D′ катится без проскальзывания, как в определении рулетки, по C′, так что D′ всегда является отражением C′ относительно прямой, к которой они касаются. Тогда, когда кривые соприкасаются в R′, точка, соответствующая P на движущейся плоскости, – это X, и поэтому рулетка является педальной кривой. Эквивалентно, ортотомическая кривая – это рулетка кривой на ее зеркальном отражении.