Пайыздың анықтамасы және есептелуі

Кіріспе

Саны немесе қатынасы 100-нің бөлшегі ретінде берілген. Математикада процент – 100-нің бөлшегі ретінде берілген сан немесе қатынас. Ол көбінесе процент белгісі (%) арқылы белгіленеді, бірақ pct, pct және кейде pc деген аббревиатуралар да қолданылады. Процент – өлшемсіз сан (таза сан), негізінен пропорцияларды көрсету үшін қолданылады, бірақ «процент» сөзі орфографиясы мен қолданылуы бойынша өлшем бірлігі болып саналады.

Мысалдар

Мысалы, 45% («қырық бес пайыз» деп оқылады) бөлшек ретінде, 45:55 қатынасы (немесе жалпы сомамен салыстырғанда 45:100), немесе 0,45-ке тең. Пайыздық көрсеткіштер көбінесе жалпы соманың пропорционалды бөлігін білдіру үшін қолданылады. (Сонымен қатар, санды 1000-ның бір бөлігі ретінде «мыңнан бір» терминімен немесе «‰» символымен көрсетуге болады.)

1-ші мысал

Егер сыныптағы барлық оқушылардың 50%-ы ұл болса, онда әр 100 оқушының 50-сі ұл. Егер 500 оқушы болса, онда олардың 250-сі ұл болады.

2-ші мысал

$2,50 бағасына 0,15 доллардың қосылуы – бұл 0,06-ға тең үлестің артуы. Пайыздық көрсетімде бұл 6% өсімді білдіреді. Көптеген пайыздық мәндер 0 мен 100 аралығында болғанымен, математикалық шектеулер жоқ және пайыздық көрсеткіштер басқа да мәндерді қабылдауы мүмкін. Мысалы, 111% немесе -35% жиі қолданылады, әсіресе пайыздық өзгерістер мен салыстыруларды көрсету үшін.

Тарих

Ежелгі Римде, ондық жүйе пайда болғанға дейін, есептеулер көбінесе бөлшектер арқылы, олардың белгілі бір еселігінде жүргізілетін. Мысалы, Август аукционда сатылған тауарларға "centesima rerum venalium" деп аталатын, тауар бағасының бірден жүзге дейінгі салық салды. Осы бөлшектермен есептеулер пайыздарды есептеумен бірдей болды. Орта ғасырларда ақшаның түрлері көбейген сайын, 100-ге бөлінетін есептеулер кеңінен қолданыла бастады, сондықтан 15-шы ғасырдың соңынан 16-шы ғасырдың басына дейін арифметикалық оқулықтарда мұндай есептеулер жиі кездеседі. Көптеген оқулықтар осы әдістерді пайда мен зиянға, пайыздық ставкаларға және "Үштік қағидаға" қолданды. 17-шы ғасырға қарай, пайыздық ставкаларды жүздік үлестермен көрсету қалыпты жағдайға айналды.

Проценттік белгі

"Пайыз" термині латын тіліндегі "per centum" сөзінен шыққан, яғни "жүз" немесе "жүзбен". "Пайыз" белгісі итальян тіліндегі "per cento" терминінің біртіндеп қысқаруынан пайда болды, ол "жүз үшін" деген мағынаны білдіреді. "Per" әріпі көбінесе "p" деп қысқартылып, кейін толығымен жойылды. "Cento" сөзі көлденең сызықпен бөлінген екі шеңберге дейін қысқартылды, содан қазіргі "%" символы пайда болды.

Есептеулер

Проценттік мән қатынастың сандық мәнін 100-ге көбейту арқылы есептеледі. Мысалы, 1250 алманың 50 алмасы қандай пайыз екенін табу үшін, алдымен қатынасты = 0,04 есептеп, содан кейін 100-ге көбейтіп 4% аламыз. Проценттік мәнді кейін емес, алдымен көбейту арқылы да табуға болады, сондықтан бұл мысалда 50-ді 100-ге көбейтіп 5000 аламыз, ал осы нәтижені 1250-ге бөліп 4% шығады. Проценттің процентін есептеу үшін екі процентті де 100-дің бөлшегіне немесе ондық санға айналдырып көбейту керек. Мысалы, 40% -тың 50% -ы:

100-ге бөліп, бірден пайыз белгісін қою дұрыс емес, себебі бұл 10000-ға бөлуді білдіреді. Мысалы, , емес , ал бұл шындығында A. Сондай-ақ, сияқты жазба да дұрыс емес, өйткені ол 1 пайыз деп оқылады, тіпті мақсаты 100% болса да. Процент туралы айтқанда, ол немен салыстырылып отырғанын (яғни 100%-ды құрайтын жалпы соманы) нақты көрсету маңызды. Келесі мысал осы мәселені көрсетеді. Бір колледжде студенттердің 60%-ы қыздар, ал 10%-ы компьютерлік ғылым мамандығында оқиды. Егер қыздардың 5%-ы компьютерлік ғылым мамандығында оқитын болса, компьютерлік ғылым мамандығында оқитын қыздардың пайыздық үлесі қанша? Бізден компьютерлік ғылым мамандығында оқитын қыздардың жалпы компьютерлік ғылым мамандығында оқитын студенттерге қатынасын есептеуді сұрайды. Біз барлық студенттердің 60%-ы қыздар екенін және олардың 5%-ы компьютерлік ғылым мамандығында оқитынын білеміз, сондықтан × = немесе барлық студенттердің 3%-ы компьютерлік ғылым мамандығында оқитын қыздар. Бұл санды барлық студенттердің 10%-ын құрайтын компьютерлік ғылым мамандығында оқитын студенттер санына бөлсек, мына жауапқа жетеміз: = немесе компьютерлік ғылым мамандығында оқитын студенттердің 30%-ы қыздар. Бұл мысал шартты ықтималдық тұжырымдамасымен тікелей байланысты. Көбейтудің орналасу қасиетіне байланысты, өрнектерді ауыстыру нәтижесін өзгертпейді; мысалы, 20-ның 50% -ы 10-ға тең, ал 50-нің 20% -ы да 10-ға тең.

Құрастырылған пайыздар

Бірінен соң бірі қолданылатын пайыздық өзгерістер әдеттегідей қосылмайды. Мысалы, егер бағаның 10%-ға өсуі (бағасы 220 долларға дейін көтерілген 200 долларлық тауар) бағаның 10%-ға төмендеуімен (22 долларға төмендеуімен) жалғаса берсе, онда түпкілікті баға 198 долларға тең болады, бұл бастапқы баға 200 доллар емес. Бұл айқын айырмашылықтың себебі екі пайыздық өзгеріс (+10% және -10%) әртүрлі бастапқы мәндерге қатысты өлшенеді (тиісінше 200 және 220 доллар), сондықтан "өнбеуі". Жалпы, егер x пайыздық өсім x пайыздық төмендеуден кейін басталатын болса, ал бастапқы сома p болса, соңғы сома ; сондықтан таза өзгеріс x пайыздық жалпы төмендеу (ондық сан ретінде көрсетілген бастапқы пайыздық өзгерістің квадраты). Осылайша, жоғарыда келтірілген мысалда, 10%-дық өсім мен 10%-дық төмендеуден кейін, 198 долларлық түпкілікті сома, 200 долларлық бастапқы сомадан 10% -дың 10%-ы немесе 1% -ға аз болды. Таза өзгеріс x пайыздық төмендеу үшін де бірдей, содан кейін x пайыздық өсім; соңғы сома: Бұл бірдей пайыздық өзгеріс болмаған жағдайда кеңейтілуі мүмкін. Егер бастапқы сома p болса, ал бірінші пайыздық өзгеріс x, ал екінші пайыздық өзгеріс y болса, онда соңғы сома: Жоғарыдағы мысалға қатысты, 10%-дық өсімнен кейін және 5%-дық төмендеуден кейін, 209 долларлық түпкілікті сома, 200 долларлық бастапқы сомадан 4,5% -қа артық. Жоғарыда көрсетілгендей, пайыздық өзгерістер кез келген тәртіппен қолданылуы мүмкін және бірдей әсерге ие. Пайыздық мөлшерлемелерді айтатын болсақ, өте кең таралған, бірақ екіұшты әдіс, мысалы, пайыздық мөлшерлеме жылдық 10% -дан 15% -ға дейін көтерілді деп айту, пайыздық мөлшерлеме 5% -қа өсті деп айту, бұл теориялық тұрғыдан жылдық 10% -дан 10,5% -ға дейін өсті дегенді білдіреді. Бұл жерде пайыздық мөлшерлеме 5 пайыздық пунктке (пп) өсті деп айту дұрыс. Процент пен пайыздық пункттер арасындағы бірдей шатасу журналистер сайлау нәтижелері туралы хабарлағанда, мысалы, жаңа нәтижелер мен бұрынғы нәтижелермен салыстырғанда, үлкен түсініспеушілікке әкелуі мүмкін. Мысалы, егер бір партия 41% дауыс алса және бұл 2,5% -ға өсім болса, бұл бұрынғы нәтиже 40% (өйткені 41 = 40 + 1) немесе 38,5% (өйткені 41 = 38,5 + 2,5) екенін білдіре ме? Қаржы нарықтарында бір пайыздық пункттің өсуін (мысалы, жылдық 3% -дан 4% -ға дейін) "100 базалық пункттің өсуі" деп атау қалыпты жағдай.

Percent changes applied sequentially do not add up in the usual way. For example, if the 10% increase in price considered earlier (on the $200 item, raising its price to $220) is followed by a 10% decrease in the price (a decrease of $22), then the final price will be $198—not the original price of $200. The reason for this apparent discrepancy is that the two percent changes (+10% and −10%) are measured relative to different initial values ($200 and $220, respectively), and thus do not "cancel out". In general, if an increase of x percent is followed by a decrease of x percent, and the initial amount was p, the final amount is ; hence the net change is an overall decrease by x percent of x percent (the square of the original percent change when expressed as a decimal number). Thus, in the above example, after an increase and decrease of , the final amount, $198, was 10% of 10%, or 1%, less than the initial amount of $200. The net change is the same for a decrease of x percent, followed by an increase of x percent; the final amount is
This can be expanded for a case where one does not have the same percent change. If the initial amount p leads to a percent change x, and the second percent change is y, then the final amount is To change the above example, after an increase of and decrease of , the final amount, $209, is 4.5% more than the initial amount of $200. As shown above, percent changes can be applied in any order and have the same effect. In the case of interest rates, a very common but ambiguous way to say that an interest rate rose from 10% per annum to 15% per annum, for example, is to say that the interest rate increased by 5%, which could theoretically mean that it increased from 10% per annum to 10.5% per annum. It is clearer to say that the interest rate increased by 5 percentage points (pp). The same confusion between the different concepts of percent(age) and percentage points can potentially cause a major misunderstanding when journalists report about election results, for example, expressing both new results and differences with earlier results as percentages. For example, if a party obtains 41% of the vote and this is said to be a 2.5% increase, does that mean the earlier result was 40% (since 41 = ) or 38.5% (since 41 = 38.5 + 2.5)? In financial markets, it is common to refer to an increase of one percentage point (e. g. from 3% per annum to 4% per annum) as an increase of "100 basis points".

Сөз және символ

Ағылшын тілінің көптеген түрлерінде пайыз әдетте екі сөзбен жазылады (процент), бірақ пайыздық көрсеткіш және пайыздық диапазон бір сөзбен жазылады. Американдық ағылшын тілінде пайыз ең көп қолданылатын нұсқа (бірақ per mille екі сөзбен жазылады). 20 ғасырдың басында "процент." деген нүктелі қысқарту түрі пайда болды, "процент" дегенге қарама-қарсы. Бұл форма әлі де коммерциялық несие шарты сияқты өте ресми құжаттарда (әсіресе, жалпы құқыққа бағынған немесе одан шабыттанған құжаттарда), сондай-ақ британдық парламент отырыстарының Хансард стенограммаларында қолданылады. Бұл термин латын тіліндегі per centum сөзімен байланыстырылады. Пайыз (%) символы итальян тіліндегі per cento сөзінің қысқартылған түрінен пайда болды. Кейбір басқа тілдерде процент немесе прозент формасы қолданылады. Кейбір тілдерде пайыз сөзімен қатар, сол тілдегі бірдей мағынаны білдіретін сөз тіркесі де қолданылады, мысалы, румын тілінде процент және la sută (сондықтан 10% он пайыз деп оқылады немесе кейде жүздің он бөлігі деп жазылады, ағылшын тіліндегі оннан бір сияқты). Басқа қысқартулар сирек кездеседі, бірақ кейде кездеседі. Грамматика және стиль нұсқаулықтары пайызды қалай жазу керектігі туралы әртүрлі ұсыныстар береді. Мысалы, пайыз (немесе процент) сөзін барлық мәтіндерде толық жазу ұсынылады, яғни "1 пайыз" деп, "1%" емес. Басқа нұсқаулықтар гуманитарлық мәтіндерде сөзді толық жазуды, ал ғылыми мәтіндерде символ қолдануды ұсынады. Көптеген нұсқаулықтар оны әрқашан санмен жазуға келіседі, мысалы "5 пайыз" және "бес пайыз" емес, тек сөйлемнің басында ғана ерекшелік бар: "Барлық жазушылардың он пайызы стильдік нұсқаулықтарды жақсы көреді". Бөлшектердің орнына ондық сандарды қолдану ұсынылады, мысалы "пайданың 3,5 пайызы" және "3 1/2 пайызы" емес. Дегенмен, үкіметтер мен басқа эмитенттер шығарған облигациялардың таңбаларында бөлшек түрі қолданылады, мысалы "3 1/2% кепілсіз облигациялар 2032 сериясы 2". (Пайыздық ставка өте төмен болған жағдайда, пайыздық ставка 1%-дан кем болса, 0 саны қосылады, мысалы "0 3/4% қазыналық облигациялар", "3/4% қазыналық облигациялар" емес). Кестелік және графикалық материалдарда пайыз белгісін (%) қолдану да кеңінен қабылданған. Ағылшын тіліндегі қалыпты практикаға сәйкес, Чикаго стильдік нұсқаулығы сияқты стильдік нұсқаулықтар, сан мен пайыз белгісі арасында кеңістік болмауы керек деп көрсетеді. Алайда, Халықаралық бірліктер жүйесі (SI) және ISO 310 стандарты кеңістік болуын талап етеді.

In most forms of English, percent is usually written as two words (per cent), although percentage and percentile are written as one word. In American English, percent is the most common variant (but per mille is written as two words). In the early 20th century, there was a dotted abbreviation form "per cent. ", as opposed to "per cent". The form "per cent." is still in use in the highly formal language found in certain documents like commercial loan agreements (particularly those subject to, or inspired by, common law), as well as in the Hansard transcripts of British Parliamentary proceedings. The term has been attributed to Latin per centum. The symbol for percent (%) evolved from a symbol abbreviating the Italian per cento. In some other languages, the form procent or prosent is used instead. Some languages use both a word derived from percent and an expression in that language meaning the same thing, e. g. Romanian procent and la sută (thus, 10% can be read or sometimes written ten for [each] hundred, similarly with the English one out of ten). Other abbreviations are rarer, but sometimes seen. Grammar and style guides often differ as to how percentages are to be written. For instance, it is commonly suggested that the word percent (or per cent) be spelled out in all texts, as in "1 percent" and not "1%". Other guides prefer the word to be written out in humanistic texts, but the symbol to be used in scientific texts. Most guides agree that they always be written with a numeral, as in "5 percent" and not "five percent", the only exception being at the beginning of a sentence: "Ten percent of all writers love style guides." Decimals are also to be used instead of fractions, as in "3.5 percent of the gain" and not "3 1/2 percent of the gain". However the titles of bonds issued by governments and other issuers use the fractional form, e. g. "3 1/2% Unsecured Loan Stock 2032 Series 2". (When interest rates are very low, the number 0 is included if the interest rate is less than 1%, e. g. "0 3/4% Treasury Stock", not "3/4% Treasury Stock".) It is also widely accepted to use the percent symbol (%) in tabular and graphic material. In line with common English practice, style guides—such as The Chicago Manual of Style—generally state that the number and percent sign are written without any space in between. However, the International System of Units and the ISO 31 0 standard require a space.

Басқа қолданыстар

"Пайыздық" сөзі спорт статистикасы контекстінде жиі дұрыс емес қолданылады, себебі көрсетілген сан пайыз емес, ондық бөлшек түрінде беріледі: "Феникс Санс" командасының Шакил О'Нил ойыншысы 2008–09 маусымында .609-дық алаңдық гол тиімділігімен (FG%) НБА-да көш бастады". (О'Нил өзінің тағайындалған лақтыруларының 60,9%-ын орындады, 0,609%-ын емес.) Сол сияқты, команданың жеңіс көрсеткіші, яғни клубтың жеңген матчтарының үлесі де көбінесе ондық бөлшек түрінде көрсетіледі; .500 жеңіс көрсеткішіне ие команда өз матчтарының 50%-ын жеңген. Бұл практика, баттинг орташасының көрсетілу тәсілімен ұқсас болуы мүмкін. "Пайыздық" сөзі көлбеуді, жолдың немесе теміржолдың тіктеп кетуін сипаттау үшін де қолданылады, оның формуласы 100 ×, оны көлбеу бұрышының тангенсінің 100-ге көбейтілген шамасы ретінде де көрсетуге болады. Бұл көлік құралының жоғары немесе төмен қозғалғанда тік және көлденең бағыттағы арақашықтықтарының қатынасы, пайызбен беріледі. Сондай-ақ, қоспаның құрамын массалық пайыз және мольдік пайыз арқылы көрсету үшін "пайыздық" сөзі қолданылады.