Введение

Число или отношение, выраженное в виде дроби со знаменателем 100.

В математике процент – это число или отношение, выраженное в виде дроби со знаменателем 100. Обычно оно обозначается знаком процента (%), хотя также используются аббревиатуры pct., pct и иногда pc. Процент является безразмерной величиной (чистым числом), преимущественно используемой для выражения пропорций, однако в своей орфографии и употреблении процент всё же рассматривается как единица измерения.

Примеры

Например, 45% (читается как "сорок пять процентов") равно дроби, отношению 45:55 (или 45:100 при сравнении с общим числом, а не с другой частью), или 0,45. Проценты часто используются для выражения пропорциональной доли от целого. (Аналогично, число можно выразить как долю от 1000, используя термин "промилле" или символ "‰".)

Пример 1

Если 50% от общего числа студентов в классе составляют мужчины, это означает, что из каждых 100 студентов 50 – мужчины. Если всего 500 студентов, то 250 из них – мужчины.

Пример 2

Увеличение на 0,15 доллара от цены в 2,50 доллара составляет долю, равную 0,06. В процентах это увеличение составляет 6%. Хотя большинство процентных значений находятся между 0 и 100, математических ограничений нет, и проценты могут принимать и другие значения. Например, часто используются значения 111% или -35%, особенно при расчете и сравнении процентных изменений.

История

В Древнем Риме, задолго до появления десятичной системы, вычисления часто производились с использованием дробей, кратных числам, например, 1/12. Так, Август взимал налог в размере 1/100 (centesima rerum venalium) с товаров, продаваемых на аукционе. Вычисления с этими дробями были эквивалентны вычислению процентов. С ростом денежных единиц в Средние века вычисления со знаменателем 100 становились все более распространенными, и с конца XV до начала XVI века в арифметических учебниках стало обычным включать подобные примеры. Многие из этих учебников применяли эти методы к расчетам прибыли и убытков, процентных ставок и правилу тройного правила. К XVII веку стало общепринятым указывать процентные ставки в виде сотых долей.

Знак процента

Термин "процент" происходит от латинского выражения *per centum*, означающего "сто" или "на сто". Знак "процент" возник в результате постепенного сокращения итальянского выражения *per cento*, означающего "на сто". "Per" часто сокращали до "p" и в конечном итоге оно полностью исчезло. "Cento" сокращалось до двух кругов, разделенных горизонтальной линией, от которой и произошел современный символ "%".

Расчеты

Процентная величина вычисляется путем умножения числового значения отношения на 100. Например, чтобы найти 50 яблок в процентном соотношении к 1250 яблокам, сначала вычисляется отношение = 0,04, а затем умножается на 100 и получается 4%. Значение процента также можно найти, умножив сначала, а затем разделив, так что в этом примере 50 будет умножено на 100, что дает 5000, и этот результат будет разделен на 1250, что дает 4%. Чтобы рассчитать процент от процента, преобразуйте оба процента в дробь от 100 или в десятичные дроби и умножьте их. Например, 50% от 40% – это: Неправильно делить на 100 и одновременно использовать знак процента; это буквально подразумевает деление на 10 000. Например, , а не , который на самом деле равен . Термин также будет неверным, поскольку он будет читаться как 1 процент, даже если подразумевалось сказать 100%. При сообщении о проценте важно указать, к чему он относится (то есть, какова величина, соответствующая 100%). Следующая задача иллюстрирует это. В одном колледже 60% студентов – женщины, и 10% студентов – студенты, изучающие информатику. Если 5% студенток изучают информатику, то какой процент студентов, изучающих информатику, – женщины? Нам требуется вычислить отношение числа студенток, изучающих информатику, к общему числу студентов, изучающих информатику. Мы знаем, что 60% всех студентов – женщины, и среди них 5% изучают информатику, поэтому мы заключаем, что × = или 3% всех студентов – студентки, изучающие информатику. Разделив это на 10% всех студентов, изучающих информатику, мы получим ответ: = или 30% студентов, изучающих информатику, – женщины. Этот пример тесно связан с понятием условной вероятности. Из-за коммутативного свойства умножения изменение порядка множителей не влияет на результат; например, 50% от 20 – это 10, а 20% от 50 – это 10.

Проценты составляющих

Процентные изменения, применяемые последовательно, не складываются обычным образом. Например, если после 10%-го увеличения цены, рассмотренного ранее (на товар за 200 долларов, повышающего его цену до 220 долларов), последует 10%-е снижение цены (снижение на 22 доллара), то конечная цена составит 198 долларов, а не первоначальная цена в 200 долларов. Причина этого очевидного расхождения в том, что два процентных изменения (+10% и -10%) измеряются относительно разных начальных значений ($200 и $220 соответственно), и, таким образом, не "взаимоуничтожаются". В общем случае, если увеличение на x процентов сопровождается уменьшением на x процентов, и начальная сумма была p, то конечная сумма равна ; следовательно, чистое изменение представляет собой общее уменьшение на x процентов от x процентов (квадрат исходного процентного изменения, выраженного в виде десятичной дроби). Таким образом, в приведенном выше примере после увеличения и уменьшения на 10%, конечная сумма в 198 долларов была на 1% меньше, чем начальная сумма в 200 долларов. Чистое изменение одинаково для уменьшения на x процентов, за которым следует увеличение на x процентов; конечная сумма равна . Это можно расширить для случая, когда процентные изменения не одинаковы. Если начальная сумма p приводит к процентному изменению x, а второе процентное изменение равно y, то конечная сумма будет . В качестве примера, после увеличения на 5% и уменьшения на 4,5%, конечная сумма в 209 долларов на 4,5% больше, чем начальная сумма в 200 долларов. Как показано выше, процентные изменения могут быть применены в любом порядке и давать один и тот же эффект. В случае с процентными ставками, очень распространенный, но неоднозначный способ сказать, что процентная ставка выросла с 10% годовых до 15% годовых, например, – это сказать, что процентная ставка увеличилась на 5%, что теоретически может означать, что она выросла с 10% годовых до 10,5% годовых. Более ясно сказать, что процентная ставка увеличилась на 5 процентных пунктов (п.п.). Та же путаница между различными понятиями процента и процентных пунктов может потенциально привести к серьезному недопониманию, когда журналисты сообщают о результатах выборов, например, выражая как новые результаты, так и различия с предыдущими результатами в процентах. Например, если партия получает 41% голосов, и это заявлено как увеличение на 2,5%, означает ли это, что предыдущий результат был 40% (поскольку 41 = 40 + 2,5) или 38,5% (поскольку 41 = 38,5 + 2,5)? На финансовых рынках принято называть увеличение на один процентный пункт (например, с 3% годовых до 4% годовых) увеличением на "100 базисных пунктов".

Слово и символ

В большинстве форм английского языка процент обычно пишется как два слова (per cent), хотя percentage и percentile пишутся слитно. В американском английском языке наиболее распространенным вариантом является percent (но per mille пишется как два слова). В начале XX века существовала точечная аббревиатура "per cent.", в отличие от "per cent". Форма "per cent." до сих пор используется в официально-деловом стиле, характерном для определенных документов, таких как соглашения о коммерческих займах (особенно тех, которые регулируются или вдохновлены общим правом), а также в стенограммах британских парламентских заседаний (Hansard). Термин восходит к латинскому per centum. Символ процента (%) произошел от символа, сокращающего итальянское per cento. В некоторых других языках вместо этого используются формы procent или prosent. Некоторые языки используют как слово, заимствованное из percent, так и выражение, означающее то же самое, например, в румынском языке – procent и la sută (таким образом, 10% можно прочитать или иногда записать как «десять на сто», аналогично английскому «one out of ten»). Другие сокращения встречаются реже, но иногда используются. Руководства по грамматике и стилю часто расходятся во мнениях относительно того, как следует писать проценты. Например, часто рекомендуется писать слово percent (или per cent) полностью во всех текстах, например, «1 percent», а не «1%». Другие руководства предпочитают писать слово полностью в гуманитарных текстах, но использовать символ в научных текстах. Большинство руководств сходятся во мнении, что проценты всегда следует писать с числом, например, «5 percent», а не «пять процентов», за исключением случаев, когда число стоит в начале предложения: «Десять процентов всех писателей любят руководства по стилю». Также вместо дробей следует использовать десятичные числа, например, «3,5 percent прибыли», а не «3 1/2 percent прибыли». Однако в названиях облигаций, выпускаемых правительствами и другими эмитентами, используется дробная форма, например, «3 1/2% Unsecured Loan Stock 2032 Series 2». (Когда процентные ставки очень низкие, число 0 включается, если процентная ставка меньше 1%, например, «0 3/4% Treasury Stock», а не «3/4% Treasury Stock».) Широко принято использовать символ процента (%) в таблицах и графиках. В соответствии с общепринятой английской практикой, руководства по стилю, такие как The Chicago Manual of Style, обычно указывают, что число и знак процента пишутся без пробела между ними. Однако Международная система единиц (СИ) и стандарт ISO 310 требуют пробела.

Другие применения

Слово "процент" часто является неточным обозначением в контексте спортивной статистики, когда приводимое число выражается в виде десятичной дроби, а не процента: "Шакилл О'Нил из "Феникс Санс" возглавил НБА с показателем точности бросков в .609 (FG%) в сезоне 2008–09". (О'Нил реализовал 60,9% своих бросков, а не 0,609%.) Точно так же, процент побед команды, то есть доля выигранных матчей, обычно также выражается десятичной дробью; команда с процентом побед .500 выиграла 50% своих матчей. Эта практика, вероятно, связана с аналогичным способом указания процента успешных ударов в бейсболе. Кроме того, "процент" используется для описания уклона или крутизны дороги или железнодорожного пути, формула для которого выглядит как 100 ×, что также можно выразить как тангенс угла наклона, умноженный на 100. Это отношение вертикального и горизонтального расстояний, которые преодолевает транспортное средство при подъеме или спуске, выраженное в процентах. Процент также используется для выражения состава смеси в массовых и молярных процентах.