Үлкен кардинал сандары: Ашылмалы кардиналдар математикадағы маңызды ұғым. ZFC аксиомаларындағы модельдер мен элементар кіріктірулер туралы түсініктер берілген.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада, ашылмайтын кардинал – нақты бір үлкен кардинал сан. Формальды түрде, кардинал сан κ, λ ашылмайтын болып табылады, егер және тек қана егер, κ кардиналындағы ZFC-тің қуат жиынынан басқа барлық ақырлы моделі M үшін, егер κ, M-де болса және M өзінің κ-дан кіші ұзындықтағы барлық тізбектерін қамтитын болса, онда j-нің сындық нүктесі κ болатын және j(κ) ≥ λ болатын M-нен транзитивті модельге тривиальды емес элементарлық ендіру j болады. Кардинал, егер ол барлық ординалдар λ үшін λ ашылмайтын болса, ашылмайтын болып табылады. Кардинал сан κ, λ күшті ашылмайтын болып табылады, егер және тек қана егер, κ кардиналындағы ZFC-тің қуат жиынынан басқа барлық ақырлы моделі M үшін, егер κ, M-де болса және M өзінің κ-дан кіші ұзындықтағы барлық тізбектерін қамтитын болса, онда j-нің сындық нүктесі κ болатын, j(κ) ≥ λ болатын және V(λ), N жиынының ішкі жиыны болатын M-нен транзитивті модель "N"-ге тривиальды емес элементарлық ендіру j болады. Жалпылықты жоғалтпай, N өзінің λ ұзындықтағы барлық тізбектерін қамтитынын талап етуге болады. Сол сияқты, кардинал күшті ашылмайтын болып табылады, егер ол барлық λ үшін күшті λ ашылмайтын болса. Бұл қасиеттер негізінен V = L-ге сәйкес келетін күшті және суперкомпакт кардиналдардың әлсіз нұсқалары болып табылады. Бұл кардиналдарға қатысты көптеген теоремалар олардың ашылмайтын немесе күшті ашылмайтын аналогтарына жалпыланады. Мысалы, күшті ашылмайтынның болуы тиісті мәжбүрлеу аксиомасының сәл әлсіз нұсқасының тұрақтылығын білдіреді.
In mathematics, an unfoldable cardinal is a certain kind of large cardinal number. Formally, a cardinal number κ is λ unfoldable if and only if for every transitive model M of cardinality κ of ZFC minus power set such that κ is in M and M contains all its sequences of length less than κ, there is a non trivial elementary embedding j of M into a transitive model with the critical point of j being κ and j(κ) ≥ λ. A cardinal is unfoldable if and only if it is an λ unfoldable for all ordinals λ. A cardinal number κ is strongly λ unfoldable if and only if for every transitive model M of cardinality κ of ZFC minus power set such that κ is in M and M contains all its sequences of length less than κ, there is a non trivial elementary embedding j of M into a transitive model "N" with the critical point of j being κ, j(κ) ≥ λ, and V(λ) is a subset of N. Without loss of generality, we can demand also that N contains all its sequences of length λ. Likewise, a cardinal is strongly unfoldable if and only if it is strongly λ unfoldable for all λ. These properties are essentially weaker versions of strong and supercompact cardinals, consistent with V = L. Many theorems related to these cardinals have generalizations to their unfoldable or strongly unfoldable counterparts. For example, the existence of a strongly unfoldable implies the consistency of a slightly weaker version of the proper forcing axiom.
Үлкен кардинальды қасиеттер арасындағы қатынастар
V = L деп есептегенде, ең аз ашылмайтын кардинал ең аз сипатталмайтын кардиналдан үлкен. 14-бет. Рэмси кардиналы бар деп есептегенде, ол ең кіші Рэмси кардиналынан кіші. 3-бет.
Assuming V = L, the least unfoldable cardinal is greater than the least indescribable cardinal. p.14 Assuming a Ramsey cardinal exists, it is less than the least Ramsey cardinal. p.3
Рэмси кардиналы ашылмайтын және L-де күшті ашылмайтын болады. Дегенмен, V-де күшті ашылмайтын болуы мүмкін емес. L-де кез келген ашылмайтын кардинал күшті ашылмайтын болады; осылайша ашылмайтын және күшті ашылмайтын бірдей тұрақтылық күшіне ие. Кардинал k - κ күшті ашылмайтын, және κ ашылмайтын, егер ол әлсіз тығыз болса ғана. κ+ω ашылмайтын кардинал сипатталмайтын және толық сипатталмайтын кардиналдардың стационарлық жиынымен алдын алады.
A Ramsey cardinal is unfoldable and will be strongly unfoldable in L. It may fail to be strongly unfoldable in V, however. In L, any unfoldable cardinal is strongly unfoldable; thus unfoldable and strongly unfoldable have the same consistency strength. A cardinal k is κ strongly unfoldable, and κ unfoldable, if and only if it is weakly compact. A κ+ω unfoldable cardinal is indescribable and preceded by a stationary set of totally indescribable cardinals.