Введение

В математике, разворачиваемый кардинал — это определённый вид большого кардинального числа. Формально, кардинальное число κ является λ-разворачиваемым, если и только если для каждой транзитивной модели M кардинальности κ теории ZFC без множества степеней, такой что κ принадлежит M и M содержит все свои последовательности длины меньше κ, существует нетривиальное элементарное вложение j из M в транзитивную модель с критической точкой j, равной κ, и j(κ) ≥ λ. Кардинал является разворачиваемым, если и только если он является λ-разворачиваемым для всех ординалов λ. Кардинальное число κ является сильно λ-разворачиваемым, если и только если для каждой транзитивной модели M кардинальности κ теории ZFC без множества степеней, такой что κ принадлежит M и M содержит все свои последовательности длины меньше κ, существует нетривиальное элементарное вложение j из M в транзитивную модель N с критической точкой j, равной κ, j(κ) ≥ λ, и V(λ) является подмножеством N. Без потери общности мы можем также потребовать, чтобы N содержал все свои последовательности длины λ. Аналогично, кардинал является сильно разворачиваемым, если и только если он является сильно λ-разворачиваемым для всех λ. Эти свойства по существу являются более слабыми версиями сильных и сверхкомпактных кардиналов, согласующимися с V = L. Многие теоремы, связанные с этими кардиналами, имеют обобщения для их разворачиваемых или сильно разворачиваемых аналогов. Например, существование сильно разворачиваемого кардинала влечёт согласованность немного более слабой версии аксиомы правильного принуждения.

Связь между крупными кардинальными свойствами

Предполагая, что V = L, наименьший нескладущийся кардинал больше наименьшего неописуемого кардинала. p.14 Предполагая существование кардинала Рамзи, он меньше наименьшего кардинала Рамзи. p.3

Кардинал Рамзи нескладущийся и будет сильно нескладующимся в L. Однако в V он может не быть сильно нескладующимся. В L любой нескладущийся кардинал является сильно нескладующимся; таким образом, нескладующиеся и сильно нескладующиеся кардиналы имеют одинаковую силу консистенции. Кардинал k является κ-сильно нескладующимся и κ-нескладующимся тогда и только тогда, когда он слабо компактен. Нескладующийся кардинал κ+ω неописуем и имеет стационарное множество совершенно неописуемых кардиналов в качестве предшественников.